第03讲 集合的基本运算 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第03讲集合的基本运算1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集和并集，会求给定集合的补集；3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；4.通过Venn图描述几何的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用.1并集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.记号A⋃B(读作:A并B)符号A⋃B={x|x∈A图形表示性质(1)A∪A=A，即一个集合与其本身的并集是其本身；(2)A∪∅=A，即一个集合与空集的并集是其本身；(3)A∪B=B∪A，即集合的并集运算满足交换律；(4)A∪B=B⟺A⊆B，即一个集合与其子集的并集是其自身．2交集概念由属于集合A且属于集合B所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集.记号A⋂B(读作:A交B)符号A⋂B图形表示性质1A⋂A=A2A(3)A⋂B⊆A，4A3补集概念对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集.记号CUA(读作:符号C图形表示性质1C(2)CUU=∅3C(4)A∪(CU4运算律①交换律A⋃B=B⋃A，A⋂B=B⋂A；②结合律A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)，A⋂B③分配律A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C)，A⋃B④德摩根律∁UA⋃B5区间区间的几何表示如下表所示：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]{x|x≥a}半开半闭区间[a,+∞){x|x＞a}开区间(a,+∞){x|x≤a}半开半闭区间(－∞,a]{x|x<a}开区间(－∞,a)R开区间(－∞,+∞)【例】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥2}；(2){x|x＜0}；(3){x|−2＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1,或2≤x≤4}．解析(1)[2,+∞)；(2)(－∞,0)；(3)(−2,5]；(4)(0,1)∪[2,4]．

【题型一】求集合的并集相关知识点讲解概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.记号A⋃B(读作:A并B)符号A⋃B={x|x∈A图形表示性质(1)A∪A=A，即一个集合与其本身的并集是其本身；(2)A∪∅=A，即一个集合与空集的并集是其本身；(3)A∪B=B∪A，即集合的并集运算满足交换律；(4)A∪B=B⟺A⊆B，即一个集合与其子集的并集是其自身．解释1生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”.并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个party，要求满足A∪B(其中A={身高170cm以上}，B={长得帅})，那身高Eg：菱形∪矩形={x|1<x≤3}⋂2并集的性质，可以用venn图进行理解.【典题1】(2024·四川南充·二模)设集合M=−1,0,1，N=x∈N−1≤x≤2，则M∪N等于(A．0,1 B．0,1,2 C．x−1≤x≤2 D．【答案】D【分析】化简集合N，根据并集的定义写出M∪N.【详解】∵N=x∈∴M∪N=−1,0,1,2故选：D.【典题2】(2024·全国·模拟预测)已知集合M=yy=x2+2，N=A．1,2 B．−2,2 C．2,+∞ D．【答案】D【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解.【详解】由题，M=yy=x则M∪N=−2,+故选：D.【典题3】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈AA．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】C【分析】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案.【详解】由题意知：对于集合B，当x=−1时，y=x2−2x=3；当x=a当x=a+2时，y=(又A∪B=A，故A∪B=A，则B⊆A，若a=3，则a2−2a=3,a不满足B⊆A；若a+2=3,∴a=1，此时A=−1,1,3,B=3,−1故a=1，故选：C变式练习1.(2023·福建泉州·三模)已知集合A={x∣−5<x<2},B={x∣x<3}，则A∪B=(A．−5,3 B．−∞,3 C．−3,2 【答案】A【分析】将集合A,B化简，再由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为B={x∣x<3}=−3,3所以A∪B=−5,3.故选：A2.设集合A={x∣−2<x<0},B=x∣−1≤x≤1，则A∪B=(

A．x∣−1≤x≤1 B．{x∣−2<x<1}C．{x∣−1≤x<0} D．{x∣−2<x≤1}【答案】D【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】由A={x∣−2<x<0},B=x∣−1≤x≤1，可知，A∪B=故选：D3.已知集合A=1,3,n，B=n2,1，且A∪B=A，则实数A．0 B．1 C．0或±3 D．【答案】C【分析】由题意得B⊆A，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.【详解】由题意A∪B=A，所以B⊆A，而n2≠1，即所以n2=3或n2=n，解得故选：C.4.(2024·全国·模拟预测)设集合A=2,3,4,5,6,B=1,a+2,2a+1．若A∪B=x∈NA．−1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据2≤a+2≤6，2≤2a+1≤6以及集合中元素的互异性即可求解.【详解】因为A∪B=1,2,3,4,5,6，所以a+2,2a+1⊆2,3,4,5,6由2≤a+2≤6，2≤2a+1≤6得a=1或2；由a+2≠2a+1得a≠1，所以a=2．此时B=1,4,5故选：B．5.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合A=1,a，B=2,a2，若A∪B中恰有三个元素，则由A．0 B．−1,2 C．0,2 D．【答案】D【分析】A∪B中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.【详解】因为A∪B中恰有三个元素，所以a=2或a=a2或结合集合中元素的互异性，解得a=2或a=0或a=1(舍去)或a=−1.故选：D．6.(2024·安徽阜阳·一模)设集合S=xx<−1或x>5，集合T=xa<x<a+8，且S∪T=RA．−∞,−3∪C．−∞,−3∪【答案】B【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为S=xx<−1或x>5，T=x所以a<−1a+8>5，解得−3<a<−1即实数a的取值范围为−3,−1.故选：B．【题型二】求集合的交集相关知识点讲解概念由属于集合A且属于集合B所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集.记号A⋂B(读作:A交B)符号A⋂B图形表示性质1A⋂A=A2A(3)A⋂B⊆A，4A解释1交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞party，要求满足A⋂B(其中A={身高170cm以上}，B={长得帅2当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A,B没有交集，而是A⋂Eg：菱形⋂矩形={x|1<x≤3}⋂3交集的性质，可以用venn图进行理解.【典题1】(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知集合A=2a2,1−2a,−2,B={1−a,2−a,−5}A．A={−5,−2,18} B．B={−5,−2,−1}C．a=4或a=3 D．A∪B={−7,−5,−3,−2,32}【答案】D【分析】由题意可知−2∈B，分1−a=−2和2−a=−2两种情况，解得a=4，进而可得集合A,B,A∪B.【详解】因为A∩B={−2}，可知−2∈B，若1−a=−2，则a=3，此时A=18,−5,−2,B={−2,−1,−5}，若2−a=−2，则a=4，此时A=32,−7,−2,B={−3,−2,−5}，综上所述：a=4，A=32,−7,−2,B={−3,−2,−5}，则故ABC错误，D正确.故选：D.【典题2】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合A={x∣1≤x<a}.B=x∣x≤3.若A∩B=x∣1≤x≤3，则a的取值范围为(A．1<a<3 B．a≤3C．a>3 D．a≥3【答案】C【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.【详解】集合A={x∣1≤x<a}.B=x∣x≤3∵A∩B=x∣1≤x≤3∴a>3.故选：C【典题3】已知集合A=xa−2≤x≤a+3，B=x1≤x<5，若A∩B=B，则实数A．a2<a≤3 B．a2≤a≤3 C．a2≤a<3【答案】B【分析】根据交集结果得到B⊆A，从而得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】由A∩B=B可得B⊆A，所以a−2≤1且a+3≥5，解得a2≤a≤3故选：B．变式练习1.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知集合A=−1,0,1,2，B=x|x3=xA．−1 B．−1,1 C．0,1 D．−1,0,1【答案】D【分析】化简集合B，由集合的交集定义计算即可.【详解】因为B=x|所以A∩B=−1,0,1故选：D2.若集合A=x|−4<x<12，B=x|x<−1，则A．x|−1<x<4 B．x|−1<x<−1C．x|−1<x<12 【答案】D【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为A=x|−4<x<12所以A∩B={x|−4<x<−1}.故选：D.3.(2024·重庆·模拟预测)设集合A=1,−2−a,−2−2a，B=0,a，若A∩B=B，则a=(A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】B【分析】借助集合交集的定义计算即可得.【详解】当−2−a=0时，a=−2，则−2−2a=−2+4=2，即此时A=1,0,2，B=当−2−2a=0时，a=−1，则−2−a=−1，即此时A=1,0,−1，B=故a=−1.故选：B.4.已知集合A={x∣−1<x+1<2},B=xxx+x−2A．{x∣−1<x<0} B．{x∣−2<x<0} C．{x∣0<x<1} D．{x∣0<x<2}【答案】C【分析】先求出集合A,B，再由交集的定义求解即可.【详解】因为A={x∣−1<x+1<2}={x∣−2<x<1},B=x所以A∩B={x∣0<x<1}.故选：C.5.设集合A=x−3≤x<0，B=xx<a．若A∩B≠∅，则实数A．a−3<a≤0 B．C．aa≥−3 D．【答案】D【分析】根据A∩B≠∅直接得到a的取值范围.【详解】因为A=x−3≤x<0，B=x所以a>−3，即实数a的取值范围是aa>−3故选：D6.已知集合A=1,2,3,4,5，B={x∈N|66−x∈A．A∪B=A B．A∩B=AC．A−B=1,2 D．【答案】C【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合B,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义A−B和B−A的元素要求，分别求出集合判断即得.【详解】由66−x∈N可得6−x可能的取值有1,2,3,6，即x=5,4,3,0，均满足x∈对于A项，A∪B={0,1,2,3,4,5}≠A，故A项错误；对于B项，A∩B={3,4,5}≠A，故B项错误；对于C项，因A−B=xx∈A,且对于D项，依题有，B−A=xx∈B,且故选：C.【题型三】求集合的补集相关知识点讲解概念对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集.记号CUA(读作:符号C图形表示性质1C(2)CUU=∅3C(4)A∪(CU解释1求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．Eg：U={1,2,3,4,5}，S={1,2,3,4}，A={1,2,3}，则CUA={4,5}，B={x|x>2}，则CR【典题1】(2024·北京海淀·一模)已知全集U={x|−2≤x≤2}，集合A=x−1≤x<2，则∁UA．(−2,−1) B．[−2,−1] C．(−2,−1)∪{2} D．[−2,−1)∪{2}【答案】D【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集U={x|−2≤x≤2}，集合A=x所以∁U故选：D【典题2】设全集U=1,2,m2，集合A=2,m−1,A．3 B．−2 C．4 D．2【答案】D【分析】由全集与补集的概念可得.【详解】已知A=2,m−1,∁由集合中元素的互异性知，m−1≠2，又全集U=1,2,m2，因为所以4∈U，m−1∈U则m2=4,m−1=1,故选：D.变式练习1.设集合U={2,4,5,6,7,9},A∩B={4,5,6,7}，则∁UA∪A．{3,5,6,8} B．{2,3,8,9} C．{2,9} D．{5,6}【答案】C【分析】由集合的交集、并集和补集运算即可得解.【详解】由题意可知∁U故选：C．2.(2024·四川攀枝花·三模)已知全集U=x1<x<6,x∈N,A=2,3,B=A．4,5 B．2,3,4,5 C．2 D．2,4,5【答案】D【分析】由并集和补集的定义求解即可.【详解】因为U=x故∁UA=4,5，所以∁UA故选：D.3.(2024·四川成都·三模)设全集U=1,2,3,4,5，若集合M满足1,4⊆∁A．4∈M B．1∉MC．2∈M D．3∉M【答案】B【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.【详解】全集U=1,2,3,4,5，由1,4⊆∁UM不能判断2∈M，也不能判断3∉M，CD错误.故选：B4.设全集U=−2,−1,0,1,2,3，集合A=−1,2,−2，B=xx2A．1,3 B．0,3 C．−2,1 D．−2,0【答案】B【分析】根据并集、补集的定义求解即可【详解】B=x又A=−1,2,−2，所以A∪B=1,−1,2,−2，又∁故选：B5.已知集合A=2,3,4,6,8，集合B=1,3,4,5,9，集合M=xx∈N,1≤x≤10A．7,10 B．3,4 C．1,2,5,6 D．8,9【答案】A【分析】由并集和补集的运算得出即可.【详解】由A∪B={1,2,3,4,5,6,8,9}，所以∁M故选：A．6.(2023·河南驻马店·一模)已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a}，若∁UA={x|2≤x≤5}，则a=(A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由集合U={x|1≤x≤5}，A={x|1≤x<a}，因为∁UA={x|2≤x≤5}，可得故选：C.【题型四】根据Venn图求集合的运算【典题1】(2024高三·全国·专题练习)已知全集U=xx>0，集合A=x3<x<8，

A．x3<x≤6 B．x3<x<6 C．x6≤x<8【答案】A【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为A∩∁【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为A∩∁因为U=xx>0，A=x所以∁UB=x故选：A．变式练习1.(2024·北京东城·一模)如图所示，U是全集，A,B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(

)

A．A∩B B．A∪B C．∁UA∩B 【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是∁U故选：D.2.(2024·陕西西安·二模)已知全集U=R，集合A=x−2≤x≤3，B=

A．3,4 B．−C．0,4 D．x【答案】A【分析】分析Venn图，图中的阴影部分为属于集合B且不属于集合A中的元素构成的集合B∩∁【详解】由题意，分析Venn图，可知阴影部分为B∩∁∁UA=−故选：A.【题型五】集合运算的综合问题【典题1】已知集合A=x−2<x<8，(1)当m=−2时，求A∪B；(2)若A∩B=xa<x<b且b−a=3，求实数【答案】(1)x(2)−2或1【分析】(1)根据集合的并集定义求解即可；(2)由集合A∩B对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得.【详解】(1)当m=−2时，B=x−5<x<1，则(2)因为A=x−2<x<8，8−−2=10，①当A∩B=B时，则m+3−2m−1=3，解得此时B=x1<x<4，此时②当A∩B=x2m−1<x<8时，有8−2m−1则B=x5<x<6，此时③当A∩B=x−2<x<m+3时，有m+3−−2此时B=x−5<x<1，综上，实数m的值为−2或1．变式练习1.已知集合A=xx≤5，(1)当m=4时，求∁RB和(2)若B⊆A，求实数m的取值范围.【答案】(1)∁RB=xx<4(2)m≤3【分析】(1)根据补集和并集概念计算出答案；(2)分B=∅与B≠∅两种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围.【详解】(1)m=4时，B=x4≤x≤7，∁RA∪B=x(2)B⊆A，当B=∅时，m>2m−1，解得m<1，当B≠∅时，m≤2m−12m−1≤5，解得1≤m≤3故实数m的取值范围是m≤3.2.设集合A=xx2−ax+a(1)若A∩B=A∪B，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅且A∩C=∅，求实数a的值.【答案】(1)5(2)−3【分析】(1)由题意得出A=B，再利用韦达定理求得参数值；(2)由题意得出2∈A，求得a值后，再代入检验．【详解】(1)由题可得B=xx2−5x+6=0=从而2，3是方程x2−ax+a2−19=0(2)因为B=2,3，C=因为A∩B≠∅，又A∩C=∅，所以2∈A，即4−2a+a2−19=0，a2−2a−15=0当a=5时，A=2,3，则A∩C≠∅当a=−3时，A=−5,2，则A∩B=2且A∩C=∅，故综上，实数a的值为−3.3.集合A=a1,a2,a3,a4,a5，B=a【答案】A=1,3,4,9,10【分析】本题首先可根据A∩B=a1,a4和a1+a4=10得出a1=1、a4=9以及a2和a3中有一个等于【详解】因为A∩B=a1,a4，a所以a1=1，a4=9，a2因为A∪B中所有元素和是224，a1所以a2若a5≥11，此时a5因为a5>a4，所以若a2=3，则a3若a3=3，则a2综上所述，a1=1，a2=3，a3=4，【A组基础题】1.(2024·天津红桥·一模)已知全集U={−2,−1,0,1,2,3,4}，集合A={−2,0,1,2}，B={−1,0,2,3}，则A∪∁UB=A．{4} B．{−2,0,1,2,4} C．{0,2} D．{−2,1}【答案】B【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.【详解】因为B={−1,0,2,3}，所以∁U又A={−2,0,1,2}，所以A∪∁故选：B.2.已知集合A=xx−1<2，B=yy≤2A．∅ B．−1,2 C．−1,3 D．−【答案】D【分析】根据不等式的运算，分别求得集合A,B，结合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式x−1<2，解得−1<x<3，所以集合A=又由集合B=yy≤2，所以故选：D.3.(2023·河南信阳·三模)设集合A=xy=30x,x∈N,y∈N，集合A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求出集合A,B的元素，即可求得A∩B，从而求得答案.【详解】由题意得A=xB={xx为20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}故A∩B={2,3,5)，即A∩B的元素个数是3，故选：B4.设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，集合A=2,4,5,7,B=

A．3,6 B．4,7C．1,2,4,5,7,8 D．1,2,3,5,6,8【答案】C【分析】由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解.【详解】由题意A=2,4,5,7,B=1,4,7,8故选：C.5.(2024·河北邢台·二模)下列集合关系不成立的是(

)A．A∪A=A B．A∩∅=∅C．∁UA∩【答案】D【分析】由集合的交并补运算，空集的概念可判断ABD，由韦恩图可判断C.【详解】A：因为A∪A=A∩A=A，故A正确；B：由空集的定义可知A∩∅=∅，故B正确；C：由图可知C正确；

D：因为空集中不包含任何元素，故D错误；故选：D.6.(2023·河南驻马店·一模)设全集U={x∈N∗|x≤4}，集合A=1,4【答案】{1,2,3}【分析】根据题意，求得U={1,2,3,4}，结合集合的交集和补集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U={x∈N因为A=1,4,B=2,4，可得A∩B=故答案为：{1,2,3}.7.(23-24高一上·湖南长沙·期末)已知集合A=xm<x<2m,B=(1)当m=3时，求A∪∁(2)若A⊆∁RB【答案】(1)A∪(2)−【分析】(1)由补集、并集的概念即可求解.(2)由包含关系分类讨论即可求解.【详解】(1)当m=3时，A=x3<x<6，B=x所以∁RB=x(2)当A=∅时，则m≥2m时，即当m≤0时，A⊆∁当A≠∅时，即当m<2m时，即当m>0时，由A⊆∁RB，可得m≥−52m≤4，解得综上，m≤2，即实数m的取值范围是−∞8.已知全集U=R，集合A=x−1<x<3，B=x(1)求A∪B，∁U(2)若A∩C=∅，求实数a的取值范围.【答案】(1)A∪B=x−1<x≤6，∁(2)a【分析】(1)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.(2)根据C是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围.【详解】(1)∵集合A=x−1<x<3，B=x2<x≤6∁UA=xx≤−1或x≥3，∴∁UA∩(2)C=x当10−2a≥3a时，即a≤2时，C=∅，此时A∩C=∅，满足题意；当10−2a<3a时，即a>2时，C=x若A∩C=∅，则10−2a≥3或3a≤−1，即a≤72或a≤−13综上，实数a的取值范围为aa≤9.设集合A={x∣a+1<x<2a−1},B={x∣−2<x<5}，(1)若a=3，求∁R(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围.【答案】(1){x|x≤−2或x≥5}；(2)a≤3.【分析】(1)把a=3代入，利用并集、补集的定义求解即得.(2)利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得.【详解】(1)当a=3时，A={x|4<x<5}，而B={x|−2<x<5}，因此A∪B={x|−2<x<5}，所以∁R(A∪B)={x|x≤−2或(2)由A∩B=A，得A⊆B，当A=∅时，则a+1≥2a−1，解得a≤2，满足A⊆B，因此a≤2；当A≠∅时，由A⊆B，得−2≤a+1<2a−1≤5，解得2<a≤3，所以实数a的取值范围是a≤3.【B