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文档简介
四川省内江市威远中学2023-2024学年高考考前模拟数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.2.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就,哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数),在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,则的概率是()A. B. C. D.3.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数的值判断拟合效果,越小,模型的拟合效果越好;③若数据的方差为1,则的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”的充要条件;其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.14.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个5.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.6.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.函数的图象大致为A. B. C. D.8.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.9.已知命题p:若,,则;命题q:,使得”,则以下命题为真命题的是()A. B. C. D.10.给出下列四个命题:①若“且”为假命题,则﹑均为假命题;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③若命题,,则命题,;④设集合,,则“”是“”的必要条件;其中正确命题的个数是()A. B. C. D.11.波罗尼斯(古希腊数学家,的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点M满足=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.12.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为______.14.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.15.设数列的前项和为,且对任意正整数,都有,则___16.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线与抛物线交于点,以线段为直径的圆上存在点,使得以为直径的圆过点,则实数的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试计算小张该笔贷款的总利息;(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:.18.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.19.(12分)记数列的前项和为,已知成等差数列.(1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(2)记数列的前项和为,求.20.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.21.(12分)如图1,在等腰中,,,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且。将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且。(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数,可得,时,,单调递增,∵,故不等式的解集等价于不等式的解集..∴.故选:B.【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.2、B【解析】
先列举出不超过的素数,并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,满足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有:、、、、、,在不超过的素数中,随机选取个不同的素数,所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共种情况,其中,事件“在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,且”包含的基本事件有:、、、,共种情况,因此,所求事件的概率为.故选:B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算,一般利用列举法列举出基本事件,考查计算能力,属于基础题.3、C【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当,时,点必满足线性回归方程;因此“满足线性回归方程”是“,”必要不充分条件.故④错误;
所以正确的命题有①③.
故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.4、A【解析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.5、C【解析】
根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.6、C【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.7、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.8、A【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.9、B【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】,,因为,,所以,所以,即命题p为真命题;画出函数和图象,知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.10、B【解析】
①利用真假表来判断,②考虑内角为,③利用特称命题的否定是全称命题判断,④利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题,则﹑中至少有一个是假命题,故①错误;当内角为时,不是象限角,故②错误;由特称命题的否定是全称命题知③正确;因为,所以,所以“”是“”的必要条件,故④正确.故选:B.【点睛】本题考查命题真假的问题,涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识,是一道基础题.11、D【解析】
求得定点M的轨迹方程可得,解得a,b即可.【详解】设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵动点M满足=2,则=2,化简得.∵△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴,解得,∴椭圆的离心率为.故选D.【点睛】本题考查了椭圆离心率,动点轨迹,属于中档题.12、A【解析】
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x,可求得,代入圆柱的表面积公式,即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x,则由,得,∴.故答案为:【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.14、【解析】
设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.【详解】由题意,如图所示,设,则,又由,,所以为的中点,为的三等分点,则,,所以.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.15、【解析】
利用行列式定义,得到与的关系,赋值,即可求出结果。【详解】由,令,得,解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。16、【解析】
由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E外,即圆E上存在点,使得,则当与圆E相切时,此时,由此列出不等式,即可求解。【详解】由题意可得,直线的方程为,联立方程组,可得,设,则,,设,则,,又,所以圆是以为圆心,4为半径的圆,所以点恒在圆外.圆上存在点,使得以为直径的圆过点,即圆上存在点,使得,设过点的两直线分别切圆于点,要满足题意,则,所以,整理得,解得,故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用,以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中准确求得圆E的方程,把圆上存在点,使得以为直径的圆过点,转化为圆上存在点,使得是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)289200元;(2)能够获批;(3)应选择等额本金还款方式【解析】
(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即为还款的利息;(2)根据题意,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一等比数列,设小张每月还款额为元,由等比数列求和公式及参考数据,即可求得其还款额,与收入的一半比较即可判断;(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息,两个利息比较即可判断.【详解】(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为,表示数列的前项和,则,,则,故小张该笔贷款的总利息为元.(2)设小张每月还款额为元,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一等比数列,则,所以,即,因为,所以小张该笔贷款能够获批.(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为:,因为,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用,数列在实际问题中的应用,理解题意是解决问题的关键,属于中档题.18、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求得的导函数,对分成两种情况,讨论的单调性.(2)由(1)判断出的取值范围,根据韦达定理求得的关系式,利用差比较法,计算,通过构造函数,利用导数证得,由此证得,进而证得不等式成立.【详解】(1).当时,,此时在上单调递减;当时,由解得或,∵是增函数,∴此时在和单调递减,在单调递增.(2)由(1)知.,,,不妨设,∴,,令,∴,∴在上是减函数,,∴,即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19、(1)证明见解析,;(2)【解析】
(1)由成等差数列,可得到,再结合公式,消去,得到,再给等式两边同时加1,整理可证明结果;(2)将(1)得到的代入中化简后再裂项,然后求其前项和.【详解】(1)由成等差数列,则,即,①当时,,又,②由①②可得:,即,时,.所以是以3为首项,3为公比的等比数列,,所以.(2),所以.【点睛】此题考查了数列递推式,等比数列的证明,裂列相消求和,考查了学生分析问题和解决问题的能力,属于中档题.20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:(Ⅰ)取中点,连结、,∵,,∴四边形是平行四边形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵为的中点,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,,设面的法向量,则,取,得,同理,得平面的法向量,设二面角的平面角为,则,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理
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