辽宁省大连市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省大连市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，，则角的终边位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角的终边位于第四象限.故选：D.2.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由复数，所以复数虚部为.故选：C.3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为在直观图中，，所以，所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，故原图形的面积为．故选：A.4.1988年3月14日，LanyShaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）.历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照这种方法，的近似值的表达式是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗单位圆的内接正边形的边长为，则其内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的边长为，则其外切正边形的周长为，则有.故选：B.5.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（）A. B.8 C. D.6〖答案〗B〖解析〗设圆锥的底面半径为，则，解得，设圆锥的轴截面三角形顶角为，则，又因为，所以，，所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为，所以最大值为.故选：B.6.某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，，，且，则旗杆的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设旗杆的高度，由，可得，在中，因为，所以，可得，即，解得，所以旗杆的高度为.故选：C.7.菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，设菱形十二面体内切球的球心为，其中一个面为菱形，过作平面的垂线，以为垂心，连接，可得四棱锥，如下图所示：由棱形十二面体的性质，可知为菱形的中心，即，易知棱形十二面体体积等于十二个四棱锥的体积，故四棱锥的体积，由题意，可得，，在菱形中，易知，，由，且，则，，故菱形的面积，在四棱锥中，，由内切球的性质，可得其半径为，其体积.故选：C.8.已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，在区间单调，，，，，，，，，，，，，，，，.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，根据平行的传递公理，可得A正确；对于B，由题意，作长方体，连接，如下图所示：设为平面，为平面，，，显然，，，但与不垂直，故B错误；对于C，由题意，作长方体，连接，如下图所示：设为平面，，，显然，，但与为异面直线，不平行，故C错误；对于D，根据面面平行的性质定理，可得，D正确.故选：AD.10.在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则角的值可能为（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗由正弦定理，得，又因为，所以，因为，所以或.故选：AB.11.如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为1，.若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点，分别位于两侧，连接，则（）A.平面B.C.多面体的体积为原多面体的体积的2倍D.点旋转运动的轨迹长相等〖答案〗BC〖解析〗正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为1，，可得，则三棱锥的侧棱互相垂直，正三棱锥的侧棱互相垂直，于是旋转前后的正三棱锥和可以放在正方体中，四边形为该正方体的一个侧面，如图所示，对于A中，，而平面，则不平行于平面，所以A错误；对于B中，如图所示，连接，因为，则，所以B正确；对于C中，多面体的体积为，原多面体的体积为，所以多面体的体积为原多面体的体积的2倍，所以C正确；对于D中，根据题意，点的旋转角度相同，但旋转半径不同，则运动的轨迹不相等，所以D错误.故选：BC.12.在中，，，，为中点，在上，且，延长线交于点，则下列结论正确的有（）A. B.C.的面积为 D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，所以，又为AC中点，所以，，又，所以，，故A错；对于B，，故B正确；对于D，令，因为B，C，F三点共线，所以，解得，故D正确；对于C，由D可得，即，则，，则，故C正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数，满足，为虚数单位，则________.〖答案〗〖解析〗，是实数，且，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为函数（其中）在上的值域为，所以，解得.故〖答案〗为：.15.下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则________.〖答案〗〖解析〗由题意，可作图如下：设为正四面体的外接球球心，为底面正三角形的外接圆的圆心，平面，平面平面，，，在正四面体中，由为外接圆的圆心，则平面，由题意，设图①中的三角形为，图②中的三角形为，设正四面体的棱长为，在正中，由为外接圆的圆心，则，且，易知，同理可得，因为平面，且平面，所以，在中，，设正四面体的外接球的半径为，在中，，则，解得，则，因为平面平面，所以，则，易知，且其相似比为，则，则，故，，.故〖答案〗为：.16.如图，在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球，为的中点，为棱上的动点，当直线、与平面成角相等时，______，此时四面体的外接球表面积为______.〖答案〗1〖解析〗因为直三棱柱的内切球的体积为，所以，所以内切球的半径为，所以内切圆半径为1，则，因为为的中点，为棱上的动点，当直线直线、与平面成角相等时，，又，所以∽，所以，设，则，解得，所以，，从而，，，所以，即有，所以四点共圆，且圆心为的中点，其半径为，因为，，，平面，所以平面，如图，将直三棱柱补成长方体，设为的中点，连接，取的中点，连接，则中点即为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径为，此时四面体的外接球表面积为.故〖答案〗为：1.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在直三棱柱中，，且，点是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.解：（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面，底面，所以，在中，，为线段的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）设与的交点为，连接，如图所示：因为是的中点，是的中点，在中有，因为平面，平面，所以平面.18.已知函数，.（1）求的最小正周期：（2）求在区间上的最大值与最小值.解：（1），所以的最小正周期为.（2）因为，所以，所以，所以，当时，，当时，，所以在区间上的最大值为，最小值为.19.在中，角所对的边分别为，向量，，.（1）求角的大小；（2）若，，点在边上，为的平分线，求长.解：（1）因为，所以，即，由正弦定理得：，，即，因为，所以.（2）因为，所以，得.20.在正三棱台中，，，为中点，在上，.（1）请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）①作图步骤：延长，使其相交于，连接，则可得；作图如下：作图理由：在平面中，显然与不平行，延长相交于，由，则平面，由平面，则平面，由，，则平面，可得，故平面.②连接，如下图所示：在正三棱台中，，即，易知，则，由，且，则，显然，由分别为的中点，则，且，易知，故.（2）由题意，过作平面的垂线，垂足为，并连接，如下图所示：由（1）可知：且，则，由，，在侧面中，过分别作的垂线，垂足分别为，如下图所示：易知,，所以，在中，，则，棱台的高，由图可知直线与平面所成角为，因为平面，且平面，所以，所以.21.已知函数（，）图像的一个对称中心为，当时，，将函数图像向左平移个单位长度，再将所得图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图像.（1）求函数与的〖解析〗式；（2）求满足在内恰有2023个零点的实数与正整数的值.解：（1）由的最大值为，最小值为，因为，可得，所以，可得，所以，将代入得，可得，解得，因为，所以，所以，函数图像向左平移个单位长度得，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得.（2）由，函数的零点即为方程的根，设，讨论方程的根，显然，若方程的根，则在内可对应两个，若方程的根，则在内可对应两个，此时函数在内只能有偶数个零点，不符合题意，故必有，当时，可得，，此时在内有1个零点，内有2个零点，因为，所以，当时，可得，，此时内有2个零点，一个周期内有3个零点，此时在内有2022个零点，在内有2个零点，不符合题意，综上所述，，.22.如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：（3）当平面平面时，求四面体体积的最大值.解：（1）四边形为平行四边形，，平面，平面，平