江西省吉安市青原区双校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省吉安市青原区双校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以.故选：B2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以其渐近线方程为.故选：C.3.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（）A.17 B.34 C.48 D.51〖答案〗D〖解析〗设公差为，则，，，，则.故选：D.4.2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则，，，故选：A.5.已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗圆圆心坐标，半径，设圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即，解得，设的中点为，点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，的轨迹方程为，因为，又，，即,即的取值范围为.故选：C6.1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量（单位：太贝克）随时间（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳的含量，已知时，碳的含量的瞬时变化率是（太贝克/年），则（）太贝克.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，所以．．所以．故选：B．7.设函数的定义域是，且满足：（1）对于任意的，；（2）对于任意的，恒有.则下列结论：①对于任意的，；②在上单调递减；③的图象关于直线对称，其中正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由题意，令，则不等式等价于，由（1）对于任意的，，则，所以，当且仅当，即时成，此时函数关于对称，所以③是正确的；令，可得，所以①不正确；又由则不等式等价与，可得，因为对于任意的，，所以，所以恒成立，所以函数是常数函数，则，此时函数在单调递减，在单调递增，所以在上不一定单调递减，所以②不正确.故选B.8.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又因为，所以，即；解法一：构造，则，当时，可得，则在上单调递增，又因为，则，所以，则，即；解法二：构造，则，令，解得，则在上单调递减，所以，即，则，可得；综上所述：.故选：B.二、多选题（每题5分，共20分）9.已知是等比数列，，，则公比（）A. B. C.2 D.〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，解得或故选：AD10.下列说法正确的是（）A.若不存在，则曲线在点处也可能有切线B.若曲线在点处有切线，则必存在C.若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D.若曲线在点处没有切线，则有可能存在〖答案〗AC〖解析〗，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.故选：AC.11.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，则如下结论正确的是（）A.，B.，，C.，使得当时，总有D.，使得当时，总有〖答案〗ABC〖解析〗因为，两式相减有：，因为，所以，所以，，故A正确；因为，所以，因为数列，是正实数数列，所以，，所以，，，故B正确；由上可知，因为为常数，为递增数列，故当时，，又，所以，使得当时，总有，故C正确；因为，又，所以，因为为常数，为递增数列，所以当时，，，故D错误.故选：ABC.12.已知方程(为常数)，下列说法正确的有（）A.为方程实根 B.C.方程在无实根 D.方程所有实根之和大于〖答案〗ACD〖解析〗方程可化为,即，令，则或，令，，令，所以在单调递增，在单调递减，且，所以，故B错误，故当时，，此时方程在无实根，A正确，令两个根为且则，又，令则，当无限接近1时，接近于，令,则,所以在上单调递减，由于，所以，故，所以，故在上单调递增，，故在上单调递减，故，即，故，即可又时所以方程所有实根之和大于.故选：ACD三、填空题（共20分）13.已知，则_________.〖答案〗-2〖解析〗因为，故.故〖答案〗为：-214.甲、乙、丙、丁4人站到共有5级的台阶上，若每级台阶最多站2人，且同一级台阶上的人不分次序，则不同的站法种数是______________．（用数字写答）〖答案〗540〖解析〗由题意可以分以下三种情形：1．没有二人在同一台阶，则有种方式；2．只有二人在同一台阶，则有种方式；3．有二人在同一台阶，另二人也同在另一个台阶上，则有，所以一共有种方式.故〖答案〗为：54015.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为________．〖答案〗〖解析〗如图，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，∴平面与平面间的距离即为点到平面的距离.根据题意，底面，，两两垂直，则以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，∵，，，，，设为平面的法向量，则，即，取可得，点到平面的距离记为d，则d＝＝＝，∴平面与平面间的距离为.故〖答案〗为：.16.任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则___.〖答案〗〖解析〗∵对任意实数a，b，定义，∴函数，由数列是公比大于0的等比数列，且，①当时，∵∴，，由等比数列通项公式可得，∴，整个数列为，∵，∴，即，由对数运算，∴化简后可得，即，∴.②当时，，此时，，∴不成立.③当时，，∴，整个数列为，∴，，∵，∴，即，由对数运算，∴化简后可得，∵当时，，∴等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解.综上所述，.故〖答案〗为：.四、解答题（共70分）17.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.解：（1）由题意得，且，所以则边上的高所在直线的方程为，化简得.（2）由题知的中点，所以，则边上的中线所在直线的方程为，化简得.18.已知等差数列的前项和为，.（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.解：（1）设等差数列的公差为，由已知得，解得，故.（2），所以.19.从0-9这10个数字取出3个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？解：（1）由题意，第一类，不含0：个；第二类，个位数字是0：个；第三类，十位数字是0：个；根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数；（2）由题意，第一类：个位数字是1时，百位不能为0，个；第二类:个位数字是3时，百位不能为0，个；第三类:个位数字是5时，百位不能为0，个；第四类:个位数字是7时，百位不能为0，个；第五类:个位数字是9时，百位不能为0，个；根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数.20.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且，将半圆沿AD翻折如图2．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．解：（1）连接，，，六边形为正六边形，则，在翻折过程中，，平面，平面，所以平面．（2）连接，分别交于，，则，，翻折过程中，平面，平面，，，，所以平面，同理平面，所以平面平面．又因为，则三棱柱为直三棱柱，，，且，，．设，所以，所以，即，，，为二面角的平面角，即平面平面．以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图，则,,，，，,2,，,3,，,2,，，设平面的一个法向量，有，令得，同理可得平面的法向量，设平面与平面的夹角为，观察图可知其为锐角，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．21.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．（1）求方程；（2）已知点、均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线、分别交椭圆于另一点、，证明直线与直线垂直．解：（1）由题意知：，，则，而，∴，即，又，∴，解得或（舍去），故，∴方程.（2）令，，则，而，∴，，联立椭圆方程，整理得，显然，若，则，得，则，即，同理，整理得，显然，若，可得，则，即.∴，又，则，所以，故，而，∴，则直线与直线垂直，得证22.已知函数.（