新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件

8.4.1

平面课标定位素养阐释1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解三个基本事实(基本事实1、2、3)和三个推论,并能运用事实及推论进行逻辑推理.3.通过直观感知,用数学语言抽象地刻画空间点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习

自主预习·新知导学一、平面【问题思考】1.生活中的平面有大小之分吗?几何中的“平面”是怎样的?提示:生活中的平面有大小之分;从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.2.填空:(1)几何中的平面是向四周无限延展的.(2)平面通常画成一个平行四边形,图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.(3)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.3.做一做:(1)在下列各种面中,不能认为是平面一部分的应该为(

)A.黑板面

B.乒乓球桌面C.篮球的表面

D.平静的水面答案:C(2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:①A∈α,B∉α;②l⊂α,m∩α=A,A∉l;③P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.解:①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①;②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②;③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.二、平面的基本性质【问题思考】1.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系?为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车?两张纸面相交有几条交线?提示:直尺的边缘上的其余点在桌面上.撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上.两张纸面相交有一条交线.2.填空:3.做一做:如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.证明:∵EF∩GH=P,∴P∈EF,且P∈GH.又EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,由基本事实3可得P∈BD.∴点P在直线BD上.三、基本事实的推论【问题思考】1.三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,也是我们进一步研究立体几何的基础.下面每一个条件能否确定一个平面?(1)直线与直线外一点;(2)两条相交直线;(3)两条平行直线.提示:都能.2.填空:(1)平面基本事实推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.做一做:(1)下列说法正确的是(

)①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A.①②

B.②③C.②④

D.③④(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(

)A.相交

B.重合C.相交或重合

D.以上都不对解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平行线的定义知,两条平行直线可确定一个平面,故④正确.(2)若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一条直线上,则这两个平面重合.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(

√

)(2)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.(

×

)(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(

√

)(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】

根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.解:(1)点P∈直线AB;(2)点C∉直线AB;(3)点M∈平面AC;(4)点A1∉平面AC;(5)AB∩BC=B;(6)AB⊂平面AC;(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.三种语言的转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示;根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【变式训练1】

画图表示下列由集合符号给出的关系:(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解:如图.(1)(2)探究二

点、线共面问题【例2】

求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明:如图,直线a,b,c,d两两相交,交点分别为A,B,C,D,E,F.∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,b⊂α.∵B,C∈a,E,F∈b,∴B,C,E,F∈α.而B,F∈c,C,E∈d,∴c,d⊂α,即a,b,c,d在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾.【变式训练2】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面.证明:延长D1F,设D1F∩DA=O,延长CE,设CE∩DA=O1.∵F为AA1的中点,∴OA=AD.同理O1A=AD,∴O与O1重合,∴D1F∩CE=O,∴E,C,D1,F四点共面.探究三

共线问题【例3】

已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.本例换为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,如何说明B,Q,D1三点共线?证明:如图所示,连接A1B,CD1.显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.∵A1C∩平面ABC1D1=Q,∴Q∈平面ABC1D1.又A1C⊂平面A1BCD1,∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1,即B,Q,D1三点共线.证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.易

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辨

析没判别两直线共点致误【典例】

如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.错解:因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,从而FH∥GE且GE≠FH.故E,F,H,G四点共面.记GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交于一点.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:虽已证明E,F,H,G四点共面,但未说明GH和EF能否交于一点,它们也可能平行.如何说明GH和EF交于一点,往往解题中被忽视.正解:因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,从而FH∥GE且GE≠FH.故E,F,H,G四点共面.又因为

所以四边形EFHG是一个梯形,设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交于一点.在论证两条直线交于一点过程中,一般先证明两条直线共面,它们处在同一平面中,再说明它们交于一点,常用梯形两腰交于一点来说明两直线能交于一点.随

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练

习1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作(

)A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂β

D.Q⊂b∈β答案:B2.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(

)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒