2024年广东省东莞市松山湖实验学校中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年广东省东莞市松山湖实验学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如果a与﹣3互为相反数，则a等于（）A． B．3 C．﹣ D．﹣32．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm（纳米）﹣9m，将14nm用科学记数法可表示（）m．A．14×10﹣9 B．1.4×10﹣9 C．1.4×10﹣10 D．1.4×10﹣84．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣2a2＝1 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a3÷a3＝a5．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠3的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°6．（3分）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x（x+2）＝15（）A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想7．（3分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．﹣3≤x＜2 C．﹣3＜x≤2 D．x≤29．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个10．（3分）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣＝．12．（3分）若a﹣b＝2，则代数式5+2a﹣2b的值是．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，分别交AB，AD于点M，N，N为圆心，以大于，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°°．14．（3分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，分别以点A，B，C，D为圆心，，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）三、解答题（一）（本大题共9小题，共75分.）16．（5分）计算：17．（5分）解方程组：18．（7分）2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元19．（7分）2023年10月13日是第34个国际减灾日，主题是“共同打造有韧性的未来”．如图，云梯消防车在某小区工作时，此时云梯臂AC长为40米，它与水平面的夹角为68°，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）20．（9分）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，91，79，70，89乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，80，73，74，75【整理数据】班级70≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲班631乙班451【分析数据】班级平均数中位数众数甲班80bc乙班a8080，85【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？21．（9分）【综合与实践】主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，（1）现在需要制作一个r＝10cm，l＝30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；（2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形（0，4），B（6，0），若反比例函数的图象经过线段OC的中点A，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求△OEF的面积．23．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，若点B是线段OA上一动点，连接BC，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．24．（12分）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，N，连接MN，可得△CMN．【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，求的值．

2024年广东省东莞市松山湖实验学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如果a与﹣3互为相反数，则a等于（）A． B．3 C．﹣ D．﹣3【解答】解：由题意，得a＝3，故选：B．2．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形；B．不是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．是中心对称图形．故选：D．3．（3分）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm（纳米）﹣9m，将14nm用科学记数法可表示（）m．A．14×10﹣9 B．1.4×10﹣9 C．1.4×10﹣10 D．1.4×10﹣8【解答】解：14nm＝14×1×10﹣9m＝2.4×10﹣8m．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣2a2＝1 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a3÷a3＝a【解答】解：A．a2⋅a3＝a5≠a6，故此选项不符合题意；B．3a3﹣2a2＝a4≠1，故此选项不符合题意；C．（﹣2a）5＝﹣8a3，故此选项符合题意；D．a5÷a3＝1≠a，故此选项不符合题意．故选：C．5．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠3的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°【解答】解：如图，∵∠1＝55°，∠2＝90°，∴∠7＝180°﹣∠1﹣∠2＝35°，∵a∥b，∴∠6＝∠4＝35°．故选：A．6．（3分）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x（x+2）＝15（）A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想【解答】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想．故选：D．7．（3分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是，故选：B．8．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．﹣3≤x＜2 C．﹣3＜x≤2 D．x≤2【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故选：C．9．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．10．（3分）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5【解答】解：令x＝0，得：y＝b．∴C（0，b）．令y＝8，得：ax2+b＝0，∴x＝±，∴A（﹣，3），0），∴AB＝2，BC＝＝．要使平行四边形AC2A1C是矩形，必须满足AB＝BC，∴2＝．∴4×（﹣）＝b2﹣，∴ab＝﹣5．∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣＝x+1．【解答】解：原式＝．故答案为x+1．12．（3分）若a﹣b＝2，则代数式5+2a﹣2b的值是9．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴原式＝5+6（a﹣b）＝5+4＝6，故答案为：913．（3分）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，分别交AB，AD于点M，N，N为圆心，以大于，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°30°．【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD＝30°．故答案为：30．14．（3分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为400Pa．【解答】解：设p＝，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝8.25m2时，物体所受的压强p＝，故答案为：400．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，分别以点A，B，C，D为圆心，，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣25π．（结果保留π）【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，∴，∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，∴四个扇形的面积，是一个以，∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×56＝96﹣25π，故答案为：96﹣25π．三、解答题（一）（本大题共9小题，共75分.）16．（5分）计算：【解答】解：原式＝＝﹣5+1+1＝6．17．（5分）解方程组：【解答】解：，由②得，y＝2x﹣8③，③代入①得，3x+2（8x﹣1）＝12，解得x＝2，把x＝3代入③得，y＝2×2﹣7＝3，所以，方程组的解是．18．（7分）2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元【解答】解：设第一批花每束的进价是x元/束，依题意得：×1.5＝，解得x＝20．经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是20元/束．19．（7分）2023年10月13日是第34个国际减灾日，主题是“共同打造有韧性的未来”．如图，云梯消防车在某小区工作时，此时云梯臂AC长为40米，它与水平面的夹角为68°，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【解答】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图，则∠ADE＝90°，又由题意可知∠ABE＝∠BED＝90°，∴四边形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝3.8（米）．在Rt△ACD中，∵AC＝40米，∠CAD＝68°，∴CD＝AC•sin68°≈40×2.93＝37.2（米），∴CE＝CD+DE＝37.2+2.8＝41（米）．∵2.6×（15﹣1）＝39.2＜41，∴家住15楼的求救者能被顺利施救．20．（9分）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，91，79，70，89乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，80，73，74，75【整理数据】班级70≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲班631乙班451【分析数据】班级平均数中位数众数甲班80bc乙班a8080，85【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝80，b＝79，c＝79；（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？【解答】解：（1）甲班成绩从低到高排列为：70、71、78、79、86、91；众数c＝79，乙班的平均数为：，故答案为：80，79；（2）乙班成绩比较好，理由如下：两个班的平均数相同，中位数，代表乙班成绩比甲班好；（3）（人），答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．21．（9分）【综合与实践】主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，（1）现在需要制作一个r＝10cm，l＝30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；（2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．【解答】解：（1）∵r＝10cm，l＝30cm，∵，∴，∴扇形纸板的圆心角度数为120°；（2）如图所示．连接AA′，线段AA′就是彩带长度的最小值，由（1）得PA＝PA′＝30cm，∠APA′＝120°，∴∠APH＝∠A′PH＝60°，AH＝A′H，∴，∴，∴彩带长度的最小值为．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形（0，4），B（6，0），若反比例函数的图象经过线段OC的中点A，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求△OEF的面积．【解答】解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，B（6，∴C点坐标为（6，4），∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为（3，2），∴k1＝3×5＝6，∴反比例函数解析式为；把x＝2代入得y＝1，8）；把y＝4代入得，则E点坐标为，把F、E的坐标代入y＝k2x+b得，解得，∴直线EF的解析式为；（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF＝＝．23．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，若点B是线段OA上一动点，连接BC，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x8+bx+c与x轴交于O（0，0），8）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图4，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是，y＝x8﹣2x＝（x﹣2）2﹣6，∴C（2，﹣2），∴OC＝4，∴当CD⊥OA时，CD最小，，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝6，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝5，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BF＝2﹣2＝1，如图2，连接AA'，延长CB交AA'于H，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，tan∠BCF＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG8+A'G2＝A'B2，∴a8+（2a﹣1）6＝12，∴a4＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣7＝﹣6＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（5，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，4x2﹣4x﹣24＝2，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝5，设BD＝t，则CD＝2t，∴A'D＝8﹣2tA'D＝8﹣7t，∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝6，∴8﹣8t+t＝8，∴t＝，∴A'D＝5﹣＝，∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D＝，∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝，∴M（，﹣），易得BM的解析式为：