交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）

交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题（共8题，共40分）

x2y2

----=]

1、已知双曲线演X（a>0,b>0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,且两曲线的一个交点为P,

若|PF|=5,则点F到双曲线的渐进线的距离为（）

A.F

B.2

C.而

D.3

【考点】

【答案】A

【解析】解：.•・抛物线y2=8x的焦点坐标F（2,0）,p=4,抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

.'.p=2c,即c=2,

•・.设P（m,n）,由抛物线定义知：

P

|PF|=m+2=m+2=5,.'.m=3.

••.P点的坐标为（3,±2於）

a2+b2=4

（924_a=1

a?b21解得：b=串,

则渐近线方程为y=±占x,

即有点F到双曲线的渐进线的距离为

|2问

d=^TT=0,

故选：A.

2、在正四棱锥P-ABCD中，。为正方形ABCD的中心，PE=xE0（2W入W4）,且平面ABE与直线PD交

于F,PF=f（入）PD,则（）

A.f（入）J+2

2A

B.f（入）T+6

3A

C.f（入）T+7

4A

D.f（入）T+9

【考点】

【答案】A

［解析］解:由题意:P-ABCD是正四棱锥,0为正方形ABCD的中心，则OP_L平面ABCD,F£，=AF0（2<X<4）,

即E是P0上的点，在平面ABE延长BE与直线PD交于F,过F作FG垂直于P0交于G,可得：备卷舟O&法.

故选A.

【考点精析】I由抛物线y2=4x,得2P=4,p=2,

|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BBZ|=x1+x2+p,

：x1+x2=6,

/.|AB|=8.

故选：A.

X2y2

—+—=l（a>b>0）,,

4、已知点A是椭圆产''上一点，F为椭圆的一个隹点，且AFLx轴，|AF|二焦距，则

椭圆的离心率是（）

1+卢

B.PT

c.例-1

【考点】

【答案】C

=

【解析】解：设F为椭圆的右焦点，且AF，x轴，所以F(c,0),贝I]"。y？+T/T1，解得y=±—a,因为,

b2

|AF|二焦距，所以片二20，即b2=2ac,a2-c2=2ac,

.,.e2+2e-1=0,解得ed2-1或e=-(舍去)

故选C.

5、已知p：x2-4x-5>0,q：x2-2x+1-入2>0,若p是q的充分不必要条件，则正实数人的取值范围

是()

A.(0,1]

B.(0,2)

3,

C.(%]

D.(0,2]

【考点】

【答案】D

【解析】解：解x2-4x-5>0得：x£(-°°,-1)U(5,+°°),解：x2-2x+1-入2>0,得：x£(-

8,1-X)U(1+入，+8),

若P是q的充分不必要条件，

1—AN—1

[1+A<5

贝I]入>0,

解得：入£(0,2],

故选：D.

【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向

(—CO,------1[―-----1+00)

上，函数在2a上递减，在2a上递增；当a<0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在

上递减.

6、已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数，则在命题q1：

p1Vp2,q2：plAp2；q3：(-'pl)Vp2；q4：p1VC-1p2)；其中为真命题的是()

A.q1和q3

B.q2和q3

C.q1和q4

D.q2和q4

【考点】

【答案】C

【解析】Vy=2x-2-x,/.y,=ln2(2x+2-x)>0恒成立,

Ay=2x-2-x在R上为增函数，即题p1为真命题

'.'y=2x+2-x,

Ay,=ln2(2x-2-x),

由y，>0可得x>0,即y=2x+2-x在(0,+oo)上单调递增，在(-8,0)上单调递减

・・・p2：函数尸2x+2-x在R上为减函数为假命题

根据复合命题的真假关系可知，q1：p1Vp2为真命题

q2：plAp2为假命题

q3:(-p1)Vp2为假命题

q4：p1V(-'p2)为真命题

故选C【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、“且”、“非”

的真值判断：“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,

其他情况时为假；“P或q”形式复合命题当P与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题.

7、已知命题p：VxGR,x>2,那么命题-'p为()

A.VxER,x<2

B.3xER,xW2

0.VxER,xW2

D.3xER,x<2

【考点】

【答案】B

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：Vx£R,x>2,那么命题［P为：mx£R,xW2.故

选：B.

■,2

2_V__1

8、双曲线'一手"的渐近线方程为()

A.y=土技

Bx=土标

0.y=3x

D.%=Fy

【考点】

【答案】A

3/一J

【解析】解：..・双曲线。2X=i的渐近线方程为：y=±ax,二双曲线为'3一।的渐近线方程为：

显叵

y=±1x=±J3x,

故选A.

二、填空题(共4题，共20分)

X=4cos0

9、曲线0=2/sin©(0为参数)上一点P到点A(-2,0)、B(2,0)距离之和为.

【考点】

【答案】8

X—4cos6x2y2

【解析】解：曲线y=2超出e表示的椭圆标准方程为花+12=1,

可知点A(-2,0)、B(2,0)

椭圆的焦点，故|PA|+|PB|=2a=8.

所以答案是：8.

【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的概念的相关知识，掌握平面内与两个定点骂，鸟的距

离之和等于常数(大于Ml)的点的轨迹称为椭圆，这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的

焦距，以及对椭圆的参数方程的理解，了解椭圆炉纣(a>b>0)的参数方程可表示为

j=0sm^).

x2y2x2y2

10、已知双曲线-ay-—72=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则椭圆-aT?+7/7=1的离心率

【考点】

0

【答案】2

22

XV力11

【解析】解：：双曲线-a2--b22=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,「.a-=-2,即b互-a

...在椭盛+/1中,0乒菽玄

C

二・e二。二.

所以答案是：.

11、已知双曲线的两个焦点F1(-廓，0),F2(,0),P是此双曲线上的一点，且PF1.PF2R,II-

||=2,则该双曲线的方程是.

【考点】

X2

【答案】豆-y2=1

【解析】解：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PFT+PF?=4C2=40所以(PF1-PF2)2+2PF1-PF2=40,

由双曲线定义得(2a)2+4=40,即a2=9,故b2=1,

所以双曲线方程为-y2=1.

所以答案是：-y2=1.

12、设平面a的一个法向量为“1=(1,2,-2),平面。的一个法向量为“2=(-2,-4,。，若。〃0,

则k=.

【考点】

【答案】4

【解析】解：a〃B,.J"的，.•.存在实数人使得nl=An2.

1=-2A

[2=-44

-2=M,解得k=4.

所以答案是：4.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面的法向量的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若

向量]所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面，记作如果，那么向量叫做平面的法向量.

三、解答题(共5题，共25分)

13、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过Q点的直线I交抛物线于A,B两

点.

T—♦

(1)若直线I的斜率为至，求证：FAFB=O.

(2)设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.

【考点】

【答案】

(1)证明：由题意可得=冬*+”,

V=¥(x+7)p2

联立y2=2Px,得「3px+了=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),

p2

Xi+%2=3p,X/2=T.

一pTp

则”=(%1-予力)/8=(%2-阴2)

——PP3p3o

.PA-FB=(%1-2)(^2-2)+y,2=2X1X2-4(%1+%2)+请=0

(2)解：设直线"与抛物线联立得y2-2pky+p2=0.

2

.y1+y2=2p,y1y2=P.

>>Vl)'2…J2：；A

12「「

nl■+_x_£+x_P_kyp+ky2-p~(fcyi-p)(fcy2-P)"(kyP)Gy2-P)・0

则222

【解析】(1)由点斜式写出直线I的方程，和抛物线方程联立后化为关于X的一元二次方程，利用根与系

数关系求出A,B两点的横坐标的和与积，写出向量F4FB的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答

案；(2)设直线I的方程为，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两

点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案.

14、已知椭圆的长轴长为10,两焦点F1,F2的坐标分别为(3,0)和(-3,0)

(1)求椭圆的标准方程.

(2)若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积.

【考点】

【答案】

x2y2

(1)解：设椭圆标准方程为b2,

2Q=10

由题意可得｛c=3

所以"5,b=4

x2y2

因此椭圆标准方程为方“访=1

1

XFFxb

(2)解：设P(0,4)为短轴的一个端点，SF1PF2=212^2.

所以

【解析】(1)设椭圆标准方程为，由题意可得；(2)设P(0,4)为短轴的一个端点，SF1PF2-12.

产=cos(p

15、己知圆C1的参数方程为=sin。(。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

n

坐标系，圆C2的极坐标方程为p=2低cos(0-4).(I)将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2

的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)圆C1,C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.

【考点】

x=co$[

(>=向4,消去参数。可得：x2+y2=1.

由圆C2的极坐标方程p=2&cos(6-

P,

：.x2+y2=2x+2y.即(x-1)2+(y-1)2=2.

(II)由x2+y2=1,x2+y2=2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1.

P+0TI在

圆心(0,0)到此直线的距离d二6+2,=7-

・•.弦长IABJU孚

产=COStf)

【解析】(I)利用sin2(p+cos2。=1即可把圆C1的参数方程1y=sin0,化为直角坐标方程.(||)由

x2+y2=1,x2+y2=2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1.利用点到直线的距离公式可得圆心

(0,0)到此直线的距离d,即可得出弦长|AB|二2尸.

r+b=l(a>b>0)

16、已知直线I与椭圆卜交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆上的点到

__—>

下焦点距离的最大值、最小值分别为2+展，2—押，向量(ax1,by1),n=(ax2,by2),且J_,

0为坐标原点.(I)求椭圆的方程；

(ID判断^AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

【考点】

a+c=2+fa=22

“oRL一行—4-x2=1

【答案】解：(I)由题意可知1a-c=2-W,...[c=W,.•.b2=a2-c2=1椭圆的方程为4；

(II)AAOB的面积为定值面

—

•.•加_L”，，a2x1x2+b2yly2=0,.-.4x1x2+y1y2=0

始户

①若直线I斜率不存在，设直线I的方Ir2-4-4+P+r2=0

.'.2r2=4+k2,.」2》2

.'.△=16(k2-r2+4)>0

1lxH

设原点0到直线I的距离为d,则SZ\AOB=2，|AB|=2a+1X

______2P_

+与)'-4%上=后｝1

综上可知，AAOB的面积为定值1.

【解析】(I)利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为2+、瓦2一圆，确定椭圆的几何量,

即可求得椭圆的方程；(ID先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0,再分类讨论，求出面积，即可求得结

论.

【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：

W+%=l(a>3>0)^-=-+^-r=l(a>b>0)

a3讨'