四边形（学案含解析）

2022年中考数学一轮复习学案

20四边形

中考命题说明

考点课标要求考查角度

①探索并了解多边形内角和与外角和公

式；②通过探索平面图形的镶嵌，知道任

常以选择题、填空题的形式考查多边

1多边形意一个三角形、四边形或正六边形可以镶

形的内角和、外角和以及平面镶嵌.

嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的

镶嵌设计.

常以选择题、填空题、证明题的形式

掌握平行四边形的概念和性质以及一个四考查.

2平行四边形

边形是平行四边形的条件.平行四边形的判定和性质，有时也以

探究性试题的形式考查.

常以选择题、填空题、解答题的形式

掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质以

矩形、菱考查矩形、菱形、正方形的性质和判

3及四边形是矩形、菱形、正方形的条件，

形、正方形定，注重图形变换的考查，部分地市

了解它们之间的关系.

以探究性试题的形式考查.

常以选择题、填空题、解答题的形式

考查.

探究并了解等腰梯形的有关性质和四边形

4梯形梯形的判定和性质，注重梯形中辅助

是等腰梯形的条件.

线作法的考查，部分地市以探究性试

题的形式考查.

知识点1：多纥形

知疚点梳理

1.多边形：

(1)内角和：〃边形的内角和为(〃-2)X180。.四边形的内角和等于360。.

(2)外角和：任意多边形的外角和为360。.

(3)对角线：在多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.

①“边形共有妁二&条对角线.

2

②从一个顶点出发的对角线把〃边形分成(〃-2)个三角形.

(4)不稳定性：〃边形(〃>3)具有不稳定性.

【温馨提示】(1)多边形的外角和与边数无关；(2)多边形的内角中最多有3个锐角.

2.正多边形：

(1)边：各条边都相等.

(2)内角：各个内角都相等，且正〃边形的每个内角为-2)xl8()。

n

(3)外角：各个外角相等，且正〃边形的每个外角为三360匕°.

n

(4)对称性:①正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形.②

正〃边形有w条对称轴.

3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面(或

平面镶嵌).平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360。时,可以平面

镶嵌.

/---------------------、

爵型用题

x__________________________z

【例1】(2分)(2021•北京4/28)下列多边形中，内角和最大的是()

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据多边形的内角和公式求解即可.

【解答】解：A、三角形的内角和为180°；

B、四边形的内角和为360°；

C、五边形的内角和为：(5-2)X1800=540°；

D、六边形的内角和为：(6-2)X1800=720°；

故选：D.

【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

【例2】（5分）（2021•新疆12/23）四边形的外角和等于。.

【考点】多边形内角与外角

【分析】根据多边形的内角和定理和邻补角的关系即可求出四边形的外角和.

【解答】解：•.,四边形的内角和为（4-2）•180。=360。，

而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角，

四边形的外角和等于4X180°-360°=360°.

故答案：360.

【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理和多边形的外角和.

【例3】（3分）（2021•河北10/26）如图，点。为正六边形488£万对角线FC上一点，

8,S&CDO=2,则S正六边JMBCOEF的值是（）

C.40D.随点。位置而变化

【考点】三角形的面积；正多边形和圆.

【分析】正六边形A8COEF的面积=S则加由正六边形每个边相等，每个角相等

可得尸过E作FQ垂线，垂足为M,利用解直角三角形可得△FEZ）的高，即可求出正六

边形的面积.

【解答】解：设正六边形A88EF的边长为x,

过E作FC的垂线，垂足为M,连接AC,

VZF£D=120",FE=ED,

：.NEFD=ZFDE,

:./EDF=L(180°-/FED)=30°,

2

正六边形A8CDE尸的每个角为120°.

：.ZCDF=\20°-ZEDF=90°.

同理NAW)=NE4C=/AC£)=90°,

四边形4f7)C为矩形，

"：SMFO=-FOXAF,

2

S^CDO=-ODXCD,

2

在正六边形ABCOEF中，AF=CD,

：.SAAFO+SACDO=-FOXAF=-ODXCD

22

=-CFO+OD)XAF

2

=-FDXAF

2

=10,

：.FDXAF^20,

Z)M=cos30。DE=—x,

2

DF=2DM=y/3x,

EM=sin30°DE^-,

2

:.s尼六边形ABCDEF=S矩形AFQC+SZ\£7N)+SN\A8C

=AFXFD+2SAEFD

—+2x-\[^x.■-x

22

2

=20+10

=30,

故选：B.

【点评】本题考查正多边形和三角形的面积，解本题关键掌握正六边形的性质和解直角三角形.

【例4】(3分)(2021•江西12/23)如图，在边长为的正六边形ABCDE/中，连接BE,C凡

其中点M,N分别为BE和CF上的动点.若以M,N,。为顶点的三角形是等边三角形，且边长为

整数，则该等边三角形的边长为.

A

【考点】等边三角形的判定与性质；正多边形和圆.

【分析】连接。尸，DB,8尸.则△08尸是等边三角形.解直角三角形求出。F,可得结论.当点N在

0C上，点M在0E上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论.

【解答】解：连接OF,DB,BF.则△08尸是等边三角形.

设BE交DF于1/.

:六边形ABCQEF是正六边形，

.•.由对称性可知，DFLBE,//£下=60",EF=ED=6』,

：.FJ=DJ=EF'sm60°=6x73x—=9,

2

.,.DF=18,

...当点M与B重合，点N与尸重合时，满足条件，

的边长为18,

如图，当点N在。C上，点M在0E上时，

等边的边长的最大值为66-10.39,最小值为9,

...△DWV的边长为整数时，边长为10或9,

综上所述，等边△OWN的边长为9或10或18.

故答案为：9或10或18.

【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是判

断出△8〃尸是等边三角形，属于中考常考题型.

知识就2：平行四边形

知识点梳理

1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

(1)平行四边形的邻角互补，对角相等.

(2)平行四边形的对边平行且相等.

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

(3)平行四边形的对角线互相平分.

(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为

中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.

3.平行四边形的判定：

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4.面积：S=ah(a表示一条边长，〃表示此边上的高).

5.相关结论：

(1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个三角形.

(2)同底等高的平行四边形的面积相等.

(3)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积.

/--------------------------\

要型例题

【例5】(3分)(2021•江西11/23)如图，将沿对角线AC翻折，点8落在点E处，CE交

AD于点F,若NB=80°,ZACE=2ZECD,FC=a,FD=b,则SBC。的周长为.

【考点】平行四边形的性质；翻折变换(折叠问题).

【分析】由NB=80°,四边形A8C。为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形.所以

AF=FC=a.设则N4CE=2x,在△AOC中，由三角形内角和定理可知，2x+2r+x+80°

=180°,解得x=20°,由外角定理可证明△。尸C为等腰三角形.所以。C=FC=G故平行四边形

ABCZ)的周长为2(OC+AD)=2(a+a+b)=2=4a+2b.

【解答】解：•••NB=80°,四边形ABCD为平行四边形.

.,.ZD=80".

由折叠可知NACB=NACE,

y.AD//BC,

：.ZDAC^ZACB,

：.ZACE=ZDAC,

...△AFC为等腰三角形.

.MF=FC=G

设NECO=x,则N4CE=2x,

：.ZDAC=2x,

在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°,

解得：x=20°.

...由三角形外角定理可得/。/。=以=80°,

故△DFC为等腰三角形.

：.DC=FC=a.

.,.AD=AF+FD=a+b,

故平行四边形ABC。的周长为2(OC+AD)=2(a+a+b)=2=4。+2江

故答案为：4a+2b.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC

和△OFC为等腰三角形是解题关键.

【例6】(2分)(2021•青海18/25)如图，在&4BCZ)中，对角线8C=8cm,AE1.BD,垂足为E,

且AE=3cm,BC=4cm,则4。与8c之间的距离为.

【考点】平行四边形的性质.

【分析】设A3与CO之间的距离为人由条件可知28。的面积是△A8O的面积的2倍，可求得

。48co的面积，再S四边形A8C0=6C・/b可求得/?的长.

【解答】解：,・•四边形ABC。为平行四边形，

:・AB=CD,AD=BC,

在△A3。和△3CO中

AB=CD

BD=DB

[AD=BC

：./\ABD^/\BCD(SSS),

VAE1BD,AE=3cm,BD=8cm,

11八

•••S/\ABD=—BD。AE=—X8X3=12(cm")，

22

:・S四边版A8CO=2SziAB£>=24cm2,

设A£>与5c之间的距离为〃，

VBC=4cm,

AS西边町ABCD=BC・h=4h,

A4/?=24,

解得力=6cm,

故答案为：6cm.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，由条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍

是解题的关键，再借助等枳法求解使解题事半功倍.

【例7】(5分)(2020•陕西18/25)如图，在四边形A3CQ中，AD//BC,/B=/C.七是边3c上一

【考点】平行四边形的判定与性质

【分析】根据等边对等角的性质求出NOEONC再由N3=NC得所以A3〃6E,得出

四边形A8ED是平行四边形，进而得出结论.

【解答】证明：・・・。七二OC,

:.ZDEC=ZC.

VZB=ZC,

/.ZB=ZDEC,

：.AB//BE,

U：AD//BC,

・•・四边形ABED是平行四边形.

1・AD=BE.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质.解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和

性质定理的运用.

知识氤3：矩形、菱形、正方形、梯形

知识京确理

<___________________________/

1.矩形：

(1)矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质.

②矩形的四个角都是直角.

③矩形的对角线相等.

④矩形既是轴对称图形,它有两条对称轴；又是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交方

(3)矩形的判定：

①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

(4)矩形的有关计算：

①周长C矩柩=2(a+b)(其中a为长，b为宽).

②面积Sm彩=长*宽=ab(其中a为长，6为宽).

2.菱形：

(1)菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质：

①具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边相等.

③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是对角

线的交点.

（3）菱形的判定：

①定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

②定理1：四边都相等的四边形是菱形.

③定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（4）菱形的有关计算：

①周长C变柩=4a（其中a为边长）.

②面积5.=勘=两条对角线乘积的一半（其中。为边长，万为此边上的高）.

3.正方形：

（1）正方形的概念：四条边都相等,四个角都是.直角的四边形是正方形.有一组邻边相等

并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质：

①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

②正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.

④正方形是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

⑤正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全

等的小等腰直角三角形.

⑥正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等.

（3）正方形的判定：

①判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等.

先证它是菱形，再证有一个角是直角.

②判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形(或菱形).

h-

(4)正方形的面积：设正方形边长为“，对角线长为江S正方彩=a'=—.

2

4.总结：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理：

5.梯形：

(1)梯形的概念：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形

叫做等腰梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

(2)等腰梯形的性质：

①等腰梯形的两腰相等，两底平行.

②等腰梯形的两条对角线相等.

③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线.

(3)等腰梯形的判定：

①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形.

②定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

③对角线相等的梯形是等腰梯形.

(4)梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

♦、

爵球/勉

【例8】(3分)(2021•西藏7/27)如图，在矩形A5C。中，对角线AC与3。相交于点O.点、E、F

A.2B.4C.6D.8

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质

【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=8,B0=D0=1BD=4,再根据三角形中位线定理可得

2

EF=-BO=2.

2

【解答】解：•••四边形ABC。是矩形，

：.AC=BD=8,BO=DO^-BD,

2

：.BO=DO=-BD=4,

2

；点E、F是A8,AO的中点，

...EF是△AO8的中位线，

EF=-BO=2,

2

故选：A.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平

分.

Ar

【例9】（3分）（2021•陕西5/26）在菱形A8C。中，ZABC=60°,连接AC、BD,则一的值为

BD

（）

【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质.

【分析】由菱形的性质可得AO=CO,BO=DO,AC1BD,ZABD=-,由锐角三角函

2

数可求解.

【解答】解：设AC与交于点O,

A----------------------7D

BC

•・•四边形A8CD是菱形,

：.AO=COBO=DO,ACLBD,ZABD=-ZABC=30Q,

f2

VtanZi4BD=,

BO3

.ACy/3

••---------，

BD3

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质是解题的关键.

【例10）（3分）（2021•西藏9/27）已知一元二次方程/-10户24=0的两个根是菱形的两条对角线长，

则这个菱形的面积为（）

A.6B.10C.12D.24

【考点】解一元二次方程一因式分解法；菱形的性质

【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可.

【解答】解：方程WT（k+24=0,

分解得：（x-4）（jr-6）=0,

可得%-4=0或r6=0,

解得：%=4或%=6,

菱形两对角线长为4和6,

则这个菱形的面积为！x4x6=12.

2

故选：C.

【点评】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握因式分解法是解本题

的关键.

【例11］（2分）（2021•北京14/28）如图，在矩形ABCD中，点£尸分别在BC,AD±,AF=

EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

【考点】全等三角形的判定与性质：菱形的判定；矩形的性质.

【分析】根据矩形的性质得到AO〃BC,^AF//CE,推出四边形A8CZ）是平行四边形，根据菱形的

判定定理即可得到结论.

【解答】解：这个条件可以是

理由：•.•四边形A8CO是矩形,

.'.AD//BC,

B|JAF//CE,

'：AF=EC,

...四边形ABCD是平行四边形,

\'AE=AF,

，四边形F是菱形，

故答案为：AE^AF.

【点评】本题考查J'矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理

是解题的关键.

【例12］（2分）（2021•青海19/25）如图，正方形A8CD的边长为8,点”在。C上且0M=2,

N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是.

【考点】勾股定理：正方形的性质；轴对称-最短路线问题.

【分析】要求CW+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化CW,的值,

从而找出其最小值求解.

【解答】解：•••正方形是轴对称图形，点8与点。是关于宜线AC为对称轴的对称点，

连接

：.BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

连接交AC于点P,

•.•点N为4c上的动点，

由三角形两边和大于第三边,

知当点N运动到点P时，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度,

；四边形ABC。为正方形,

：.BC=CD=S,CM=8-2=6,BCM=90°,

BM=五+82=10,

...DN+MN的最小值是10.

故答案为：10.

【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

[例13]（3分）（2021•云南14/23）已知AABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，NABC的平

分线与线段AC交于点。.若△A8C的一条边长为6,则点。到直线AB的距离为.

【考点】正方形的性质；角平分线的性质

【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过。作于从由和△8”。是等腰直角

三角形可得AH=DH=BH,故£>〃=工8C,若4c=6,则=拽，即点Z）到直线AB的距离为—；

222

若AB=8C=6,则点Q到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过。作8c于”，由4

CZW是等腰直角三角形，得AQ=CH=C",证明△”£>丝△H8Z）（AAS）,有AB=BH,若A8=AC=6

时，则此时点D到直线AB的距离为672-6；若BC=6,则此时点D到直线AB的距离为6-372.

【解答】解：①当8为直角顶点时，过。作于”，如图：

•••△A8C的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ZABC的平分线与线段AC交于点D,

.二△ABC是等腰直角三角形，NABD=NADH=45°,AD=CD=-AC,

2

二和△84。是等腰直角三角形，

:.AH=DH=BH,

：.DH=LBC,

2

若AC=6,则8C=AC-cos45o=3「，此时OH=述，即点。到直线4B的距离为述;

22

若AB=BC=6,则£＞，=，6C=3,即点。到直线AB的距离为3；

2

②当8不是直角顶点时，过。作DH-LBC于H,如图：

VABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ZABC的平分线与线段AC交于点D,

...△CO"是等腰直角三角，AgDH=CH,

在△A3。和△”8。中，

ZBD=NHBD

■Z4=NDHB,

BD=BD

：./\ABD^/\HBD（AAS）,

：.AB=BH,

若AB=AC=6时，BH=6,BC=yjAB2+AC2=6y/2,

：.CH=BC-BH=60-6,

AD=60-6,即此时点D到直线A3的距离为6起-6；

若BC=6,则AB=BCcos45。=3尤，

BH=3近,

CH=6-3y/2,

AD=6-30,即此时点。到直线A8的距离为6-3夜；

综上所述，点D到直线AB的距离为逑或3或6百-6或6-3庭.

2

故答案为：述或3或6＞反-6或6—3声.

2

【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等

知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形.

【例14】（8分）（2021•吉林24/26）如图①，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD是斜边AB

上的中线，点E为射线BC上一点，将△BOE沿。E折叠，点B的对应点为点F.

(2)若DFLBC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如②，判断四边形ADFC的

形状，并说明理由；

(3)若直接写出N8Z圮的度数.

【考点】四边形综合题

【分析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得8=,A8=La；

22

(2)由题意可得DF//AC,DF=-AB,由“直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半”,

2

得AC=，A8,#DF^AC,则四边形AOFC是平行四边形，再由折叠得D尸于是判断四边

2

形AOFC是菱形；

(3)题中条件是“点£是射线8C上一点”，因此。FLA8又分两种情况，即点F与点。在直线CE

的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果.

【解答】解：(1)如图①，

图①

在RtZvWC中，ZACB=90°,

。8是斜边AB上的中线,AB=a,

CD=-AB=-a.

22

(2)四边形4OFC是菱形.

理由如下：

如图②:

图②

•:DFLBC于点、G,

：.N/)G8=NAC8=90°,

.,.DF//AC；

由折叠得，DF=DB,

•・,DB=-AB,

2

：.DF=-AB；

2

VZACB=90°,ZA=60°,

・・・ZB=90°-60°=30°,

・・・AC=-AB,

2

：.DF=AC,

・・・四边形AOPC是平行四边形；

VAD=-AB,

2

:・AD=DF,

・・・四边形AOFC是菱形.

(3)如图③，点F与点。在直线CE异侧,

U：DFLAB,

：.ZBDF=90°；

由折叠得，/BDE=NFDE,

・•・ZBDE=ZFDE=-/BDF=-x90°=45°；

22

如图④，点尸与点。在直线CE同侧,

VDF1/1B,

:・NBDF=90。,

・•.ZBD£+ZFDE=360°-90o=270°,

由折叠得，/BDE=/FDE,

：.ZBDE+ZFDE=210°,

：.ZBDE=\35°.

综上所述，/5。£>45。或N5QE=135。.

【点评】此题重点考查直角三角形的性质、轴对称的特征、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知

识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解.

知疚点4：中点皿舷形

知疚点椀理

X_________________________/

1.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.中点四边形形状的

判定依据主要是三角形的中位线定理.

2.常见结论如下：

原四边形的形状中点四边形的形状

任意四边形平行四边形

平行四边形平行四边形

矩形菱形

菱形矩形

正方形正方形

要型例题

【例15]（3分）（2019•娄底3/26）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

【答案】C.

【解答】如下图，顺次连接任意四边形的四边中点，得到的四边形一定是平行四边形；如果原四边形

的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得

中点四边形的邻边垂直，即是矩形.菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接它的中点得到的四边形是

巩固别练

\__________________________/

1.（4分）（2021•云南3/23）一个10边形的内角和等于（）

A.1800°B.1660°C.1440°D.1200°

2.（3分）（2021•陕西10/26）正九边形一个内角的度数为140°.

3.（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟4/26）一个正多边形的中心角为30。，这个正多边形的边数是（）

A.3B.6C.8D.12

4.（3分）（2021•赤峰17/26）如图，在拧开一个边长为。的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=20〃“〃,

5.（4分）（2021•上海17/25）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边

为1,求中间正六边形的面积—.

—2-

6.（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟9/26）如图，D4BCD中，AC、BD交于点、O,分别以点A和

点。为圆心，大于‘AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交AB于点E,

2

交CD于点F,连接CE,若AO=6,aBCE的周长为14,则8的长为（）

A_______EXn

£c

A.3耳B.6C.8D.10

7.（3分）（2021•鄂尔多斯7/24）已知：DAOCD的顶点0（0,0）,点。在x轴的正半轴上，按以下步

骤作图：

①以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交on于点M,交OC于点N.

②分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在ZAOC内相交于点E.

③画射线OE,交于点尸（2,3）,则点A的坐标为（)

of庙cT

A.（--,3）B.（3-V13,3）C.（--,3)D.(2-V13,3)

45

8.（3分）（2021•天津8/25）如图，D4BCO的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),

则顶点D的坐标是（）

A.«1)B.(4,-2)C.(4,1)D.(2,1)

9.（10分）（2021•重庆A卷21/26）如图，在。4BCD中，AB>AD.

（1）用尺规完成以下基本作图：在A6上截取AE,使他=AD；作NBCD的平分线交A8于点

/.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接。£交。"于点尸，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结

论.

10.（10分）（2021•重庆B卷21/26）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC,且AC=2M.请

用尺规完成基本作图：作出的C的角平分线与3c交于点E.连接5。交A石于点尸，交AC于

点O,猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

11.（3分）（2021•河北7/26）如图1,D48CO中，AD>AB,N4BC为锐角.要在对角线8。上找

点N,M,使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

取8。中点。，作作于N，作4YUW分别平分

BN=NO,OM=MDCA/_L5Z）于M：ZBAD.ZBCD

|__________________________________________

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

12.（8分）（2021•福建21/25）如图，在RtZ\ABC中，Z4CB=90°.线段EF是由线段43平移得到

的，点尸在边3c上，是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点ZT恰好在AC的延长线上.

（1）求证：ZADE=ADFC；

（2）求证：CD=BF.

13.（7分）（2021•吉林19/26）图①、图2均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点,

小正方形的边长为1,点A,点8均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格

点上.

（1）在图①中，以点A,B,C为顶点画一个等腰三角形；

（2）在图②中，以点A,B,D,£为顶点画一个面积为3的平行四边形.

图①图②

14.（3分）（2021•通辽9/26）如图，己知AO〃8C,ABA.BC,AB=3,点E为射线3c上一个动点，

连接小，将△ABE沿短折叠，点3落在点用处，过点夕作AZ）的垂线，分别交4D,BC于M,

N两点，当£为线段的三等分点时，8E的长为（）

MD

□__-VI

BENC

A.—B.—"72C.—-,72D.—-72或3百

222225

15.（4分）（2021•福建16/25）如图，在矩形AfiCD中，AB=4,4）=5,点E,尸分别是边45,

3c上的动点，点E不与A,3重合，且=,G是五边形AEFCD内满足GE=G尸且

NEGF=90°的点.现给出以下结论：

①ZGEB与NGFB一定互补；

②点G到边回，8c的距离一定相等；

③点G到边4）,0c的距离可能相等;

④点G到边AB的距离的最大值为2应.

其中正确的是①②④.（写出所有正确结论的序号）

16.（10分）（2021•新疆18/23）如图，在矩形43co中，点E在边BC上，点尸在BC的延长线上,

S.BE=CF.

求证：（1）AABE色ADCF；

（2）四边形AEfD是平行四边形.

17.（10分）（2021•吉林25/26）如图，在矩形A5CD中，AB=3cm,AD=&m.动点P从点A出

发沿折线AB-BC向终点C运动，在边至上以la”/s的速度运动；在边8C上以Gaw/s的速度运

动，过点P作线段P。与射线"C相交于点Q,且NPQO=60。，连接PD,BD.设点P的运动时间

为x（s）,/XOP。与△OBC重合部分图形的面积为y（c〃r）.

（1）当点P与点A重合时，直接写出。。的长；

（2）当点尸在边8c上运动时，直接写出的长（用含x的代数式表示）；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

18.（3分）（2021•呼和浩特15/24）已知菱形438的面积为2石，点E是一边BC上的中点，点P

是对角线上的动点.连接他，若M平分N54C,则线段PE与PC的和的最小值为_G_,

最大值为一.

19.（8分）（2021•呼和浩特18/24）如图，四边形A88是平行四边形，〃。厂且分别交对角线AC

于点E,F.

（1）求证：AABEZACDF；

（2）当四边形A8CD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状.（无需说明理由）

20.（3分）（2021•河南6/23）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

21.（3分）（2021•海南11/22）如图，在菱形ABCD中，点E、尸分别是边3C、CD的中点，连接

AE.AF.EF.若菱形488的面积为8,则△4£下的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

22.（3分）（2021•山西13/23）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,应）相交于点O,BD=8,AC=6,

OE//AB,交BC于点、E,则OE的长为-.

-2—

23.（8分）（2021•云南20/23）如图，四边形是矩形，E、尸分别是线段"＞、3c上的点,

点O是所与的交点.若将△BE。沿直线折叠，则点E与点尸重合.

（1）求证：四边形的）厂是菱形；

（2）^ED=2AE,ABAD=3y/3,求防出。的值.

ED

24.（10分）（2021•青海22/25）如图，是DWCD的对角线.

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段8。的垂直平分线EF,交AB,DB,DC分别于E,O,F,

连接力E,B尸（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）试判断四边形QEBF的形状并说明理由.

25.（3分）（2021•包头19/26）如图，应）是正方形ABCD的一条对角线，E是BD匕一点，F是CB

延长线上一点，连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则NS4下的度数为_22.5。

26.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟20/26）如图，4）是AABC的角平分线，DE1AB,DFA.AC,

垂足分别是E、F,连接EF,EF与4）相交于点

（1）求证：AD±EF；

（2）Z\ABC满足什么条件时，四边形板邛'是正方形？说明理由.

27.（4分）（2021•重庆A卷9/26）如图，正方形43co的对角线AC,BD交于点O,〃是边4）

上一点，连接OM,过点。作交CD于点、N.若四边形MOND的面积是1,则A3的长

为（）

A.1B.夜C.2D.2夜

28.（4分）（2021•重庆B卷9/26）如图，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，

NPMN=30。,直角顶点尸在正方形ABCD的对角线皿上，点M,N分别在45和C。边上，MN

与皿交于点O,且点。为MV的中点，则N4MP的度数为（）

29.（3分）（2021•天津17/25）如图，正方形ABCD的边长为4,对角线AC,或）相交于点。，点E,

尸分别在BC,8的延长线上，且CE=2,DF=\,G为所的中点,连接。E,交CD于点H,连

接G”，则G”的长为—.

一2一

二

BCE

z、

巩固训殊解析

J/

1.（4分）（2021•云南3/23）一个