人教版数学九年级上册24切线的性质与判定

切线的性质与判定

M@知识集结

9切纹长根必

知识元

＜一二『

切线性质及其应用

M@知识讲解

根据切线的性质可知，切线与过切点的半径垂直.该性质可以为角度的计算提供90°的条件.

H例题精讲

切线性质及其应用

例L

如图，A、B是OO上的两点，AC是OO的切线，ZB=7O°,则乙BAC等于（)

A.70°B.35°C.20°D.10°

【答案】C

【解析】

题干解析：

略

例2.

把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，ZCAB=6O°,若量出AD=6cm,则圆形

A.12cmB.24cmC.68cmD.126cm

【答案】D

【解析】

题干解析：

解：设圆形螺母的圆心为O,与AB切于E,连接OD,OE,OA,如图所示：

•.AD,AB分别为圆O的切线，

.••AO为4DAB的平分线，OD1AC,OD1AC,又4cAB=6()。,

.-.ZOAE=ZOAD=-z.DAB=60°,

2

在RsAOD中，ZOAD=60°,AD=6cm,

ODOD尻

tanZ.OAD=tan60°=-----,即nrl----=，3，

AD6

.,.OD=66cm,

则圆形螺母的直径为12Gem.故选D.

切线的判定

道知识讲解

判定一条直线是圆的切线的三种方法:

(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

(3)根据切线的判定定理来判定.

例题精讲

切线的判定

例L

如图，在矩形ABCD中，点0是对角线AC上一点，以0C为半径的。0与CD交于点M,且

NBAC=/DAM,请判断AM与。0的位置关系，并说明理由.

【答案】

证明：连接OM.在矩形ABCD中，ABHDC,zD=90°,.-.zBAC=zDCA,

•••OM=OC,.-.zOMC=zOCM.•NBAC=4DAM,

••.ZDAM=ZOMC..-.zOMC+zDMA=zDAM+zDMA.在^DAM中，zD=90°,

••.zDAM+zDMA=180°-90o=90°..•.zOMC+zDMA=9()°..­.zAMO=90°,

••.AMJ_MO.点M在。0上，OM是。0的半径，•••AM与。0相

【解析】

题干解析:连接0E,由四边形ABCD是矩形，ZBAC=ZDAM,可证得

zOMC+zDMA=9()°,即可得4AMO=90。，则可证得AM与。0相切.

例2.

如图，在RtZkADC中，NADC=90。，以CD为直径的。。交AC于点E,点G是AD的中

点.求证：GE是0O的切线.

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:证明：连接OE,

.-.zCED=90°,.-.zAED=90°,又G为AD的中点，••.EG=-AD=DG，

2

,z.GED=z.GDE,vOE=OD,.'.Z-OED=Z.ODE,AZ.GED+Z.OED=ZGDE+Z.ODE,即

zOEG=zODG,vzODG=90°,・・・NOEG=90。,・・・GE为。0的切线.

例3.

如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D,且AC

平分NDAB.求证：DC为0O的切线.

D

C

【答案】

见解析

【解析】

题干解析：(1)证明：连接OC.如图所示；AC平分/DAB,.•2DAC=ZOAC,

•••OA=OC,.-.zOCA=zOAC,.-.zDAC=zOCA,.-.DAIIOC,vADlDC,

.-.zADC=9()°,.-.zOCD=90°,即OC_LDC,・••OC为半径，.'DC为。0的切

切线判定和性质的综合应用

避知识讲解

证明切线的关键是证明垂直，而证明垂直的关键就是倒角，所以倒角的知识和技巧是重点内

容，较综合的题目会对倒角的技巧要求较高.

例题精讲

切线判定和性质的综合应用

例L

如图，PA为OO的切线，A为切点.直线PO与。O交于B、C两点，NP=30。，连接AO、

AB、AC.求证：AACB=AAPO.

【答案】

证明：［PA为。0的切线，.zPAOgO度.又•••NP=30°,••ZAOP=60°,•••OA=OC,

.-.zC=zOAC,­.ZAOP=ZC+ZOAC,.-.zC=-zAOP=30°,.-.zC=zP,•••AC=AP.又

2

BC为。0直径，••.ZCAB=4PAO=90°,.•.△ACB三AAPO(ASA).

【解析】

题干解析:由NP=30。可得出NAOP=60。，则ZC=30O=4P,那么AC=AP；根据已知条

件我们不难得出NCAB=4PAO=90。，这样就凑齐了角边角，那么两三角形就全等

了.

例2.

如图，MP切OO于点M,直线PO交OO于点A、B,弦ACIIMP,求证：MO||BC.

【答案】

证明：TAB是。0的直径，NACB是直径所对的圆周角，.zACBugO。.rMP为

OO的切线，必PMO=90°.rMPIIAC,.ZPMZCAB..•.ZMOP=4B.故MO||BC.

【解析】

题干解析:证MOIIBC,只需证明同位角NMOP=4B即可.

例3.

如图，。0的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是NACB的平分线与。0,AB的交

点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.

(1)求AC、AD的长；

(2)试判断直线PC与OO的位置关系，并说明理由.

c

【答案】

解：(1)连接BD,•••AB是G)o的直径，.•ZACB=NADB=9()5,rCD平分NACB,

.-.ZACD=ZDCB=45°,.-.zABD=zACD=45°,zDAB=zDCB=45°,.•.△ADB是等腰直

角三角形，•.•AB=10,••.AD=BD=半=50,在RsACB中，AB=1(),BC=5,

V2

••.AC=V102-52=5V3,答：AC=56,AD=5夜；(2)直线PC与。0相切,

理由是：连接OC,在RtZkACB中，AB=10,BC=5,.-.zBAC=30°,•.OA=OC,

.­.zOCA=zOAC=3()°,...NCOB=6()°,7ZACD=450,•••NOCD=45°-30°=15°,

.-.zCEP=zCOB+zOCD=15°+6()o=75°,TPC=PE,.-.ZPCE=ZCEP=75°,

.­.ZOCP=ZOCD+ZECP=15°+75°=90°,二直线PC与OO相

【解析】

题干解析：（1）连接BD,利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由

角平分线得：zACD=zDCB=45°,由同弧所对的圆周角相等可知：AADB是等腰

直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5血，AC的长也是利用勾股定

理列式求得；（2）连接半径OC,证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是

斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为3（）。，依次求得4coB、ZCEP.4PCE的

度数，最后求得zOCP=90。，结论得出.

利用切线的性质求线段长度

知识讲解

圆中求线段的长度问题是非常典型的计算问题，常用的方法包括：利用勾股定理求线段长度、

利用面积公式求线段长度等.

例题精讲

利用切线的性质求线段长度

例1.

已知等边三角形ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF1AC,

垂足为F,过点F作FGJ_AB,垂足为G,连接GD,

(1)求证：DF与OO的位置关系并证明；

(2)求FG的长.

【答案】

(1)证明：连接0D,••,以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点

D,..4B=NC=NODB=60°,.'.ODIIAC,vDFlAC,.•.zCFD=zODF=90°,BP

0D1DF,rOD是以边AB为直径的半圆的半径，.•.DF是圆O的切线；(2)

•••OB=OD=-AB=6,且NB=60。，.-.BD=OB=OD=6,.-.CD=BC-BD=AB-BD=12-6=6,

2

•.•在RSCFD中，4c=60°,.-.zCDF=30°,.-.CF=-CD=-x6=3,.•.AF=AC-CF=12-

22

3=9,VFGIAB,•••NFGA=90°,•叱FAG=60°,•••FG=AFsin60°

【解析】

题干解析：(1)连接0D,证")DF=90。即可.(2)利用ZkADF是30。的直角三角

形可求得AF长，同理可利用AFHC中的6()。的三角函数值可求得FG长.

例2.

如图，已知以4ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A,B两点，且与BC边交于点E,

D为弧BE的中点，连接AD交OE于点F,若AC=FC,

(I)求证：AC是的切线；

(II)若BF=5,DF=V17，求OO的半径.

【答案】

(1)证明：连接OA、OD,「D为弧BE的中点，••.ODJ_BC,zDOF=90°,

.-.zD+zOFD=9()°,•••AC=FC,OA=OD,.-.zCAF=zCFA,zOAD=zD,

vzCFA=zOFD,.-.zOAD+zCAF=90o,.••OA_LAC,「OA为半径，.••AC是。0切

线；(2)解：•••0O半径是r,••.OD=r,0F=5-r,在RsDOF中,r2+(5-r)2=

(J万)2,解得r=4,r=l(舍)，即。0的半径r为

4.

【解析】

题干解析：(1)连接OA、OD,求出ND+NOFD=90。，推出NCAF=NCFA,

ZOAD=ZD,求出NOAD+NCAF=90。，根据切线的判定推出即可；(2)OD=r,

OF=8-r,在RQDOF中根据勾股定理得出方程/+(8-r)2=(Vl7)2,求出即可.

例3.

如图，在AABC中，BA=BC,以AB为直径的0O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点

F,连接AF,使/ABC=2zCAF.

(1)求证：AF是OO的切线；

(2)若AC=4,CE：EB=1：3,求CE的长.

【答案】

见解析

【解析】

题干解析：(1)证明：连接BD,如图1所示：:AB是。0的直径，.zADBugO。，

•••BA=BC,.'BD平分4ABC,gPzABC=2zABDvzABC=2zCAF,.-.zABD=zCAF,

vzABD+zCAB=90°,.-.zCAF+zCAB=90°,B|JBA1FA,IAF是00的切线；

(2)解：连接AE,如图2所示：:AB是OO的直径.•ZAEB=9()。，即ZkAEB为直

角三角形，rCE：EB=1：3,设CE长为x,则EB长为3x,BC长为4x.则AB长

为4x,在RtZkAEB中由勾股定理可得AE=缶，在RSAEC中，AC=4,AE=

s/lx,CE=x,由勾股定理得：42=(77)2+X2,解得：x=£i,•：x>O：.x=e，

即CE长为图1图？

'利用切线性质求角度

知识讲解

圆中求角度问题与直线型图形中计算角度问题所用的知识相近,多出的知识就是圆中新学习的

圆心角定理、圆周角定理等.

由例题精讲

1-0利用切线性质求角度

例1.

如图，AB与。0相切于点A,B0与。。相交于点C,点D是优弧AC上一点，ZCDA=27°,

则NB的大小是（）

BA

A.27°B.34°C.36°D.54°

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：TAB与OO相切于点A,

.,.0A1BA..,.rOAB=90o.

•••ZCDA=27°,.-.ZBOA=54O.

.­.zB=90o-54o=36°.故选：C.

例2.

如图，AB、AC是OO的两条弦，NA=25。，过点C的切线与OB的延长线交于点D,则ND的

度数（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：连接OC,

••,CD是切线，.ZOCD=9()。，

•.2A=25°,...NCOD=2NA=50°,

.­.zD=90°-50°=40°.故选C.

例3.

如图，在OO中，AB,CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD,BC,BD.

(1)求证：AABDSACDB；

(2)若ZDBE=37°,求4ADC的度数.

【答案】

(1)证明：•••AB,CD是直径，.-.zADB=zCBD=90°,在RsABD和RtZkCDB

ABCD

中，\-t.-.RtAABD=RtACDB(HL)；(2)解：TBE是切线，

BD=DB

•••AB1BE,.-.zABE=90°,­••zDBE=37°,.­•ZABD=53°,•.OA=OD,

.-.ZBAD=zODA=90°-53°=37°,AZADC的度数为37°.

【解析】

题干解析：(1)根据AB,CD是直径，可得出NADB=NCBD=90°,再根据HL定理

得出R3ABD三RSCDB；(2)由BE是切线，得ABLBE,根据4DBE=37°,得

ZBAD,由OA=OD,得出NADC的度数.

利用切线长定理求边

知识讲解

利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的.在利用切线长计算长

度相关的问题时，这一等量关系尤其重要.

'例题精讲

利用切线长定理求边

例L

如图，PA,PB切00于A、B两点，CD切OO于点E,交PA,PB于C,D.若APCD的周

长等于3,则PA的值是（）

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：rPA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,交PA,PB于C,D,

•••AC=EC,DE=DB,PA=PB

•••△PCD的周长等于3,

3

；.PA+PB=3,.•.PA=—.故选：A.

2

例2.

如图，直线AB、CD、BC分别与。。相切于E、F、G,且ABIICD,若0B=6cm,0C=8cm,

则BE+CG的长等于（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】D

【解析】

题干解析：

解：TABIICD,

•••NABC+NBCD=I80°,

•••CD、BC,AB分别与0O相切于G、F、E,

11

.-.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZBCD,BE=BF,CG=CF,

22

••ZOBC+NOCB=90°,

••ZBOC=90°,

•••BC=^OB2+OC2=10,

.­•BE+CG=10(cm).故选D.

例3.

如图，四边形ABCD中，AD平行BC,zABC=90°,AD=2,AB=6,以AB为直径的半。0切

CD于点E,F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半OO的切线，MN交BC于M,交

CD于N,则AMCN的周长为（）

A.9B.10C.3VTTD.2V23

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：作DH1BC于H,如图，

•••西边形ABCD中，AD平行BC,zABC=90°,

•••AB1AD,AB1BC,

••AB为直径，

••・AD和BC为00切线，

•••CD和MN为0O切线，

；.DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,

•••四边形ABHD为矩形，

；.BH=AD=2,DH=AB=6,

设BC=x,则CH=x-2,CD=x+2,

在RtADCH中，•.-CH2+DH2=DC2,

9

(x-2)2+62=(x+2)2,解得x=一,

2

9

ACB=CE=-，

2

••.△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9.

故选A.

避知识讲解

利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的，再根据切线的性质可

以得到直角三角形，再利用圆周角定理即可计算多个角的度数，实现倒角的计算.

例题精讲

利用切线长定理求角

例1.

如图，P为。0外一点，PA,PB分别切。0于A,B,CD切。0于点E,分别交PA,PB于

点CD.若PA=5,则APCD的周长和NCOD分别为（)

D

A.5,-(90°+zP)B.1,90°+-

22

C.10,90°--ZPD.10,90°+-ZP

22

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：TPA、PB切。O于A、B,CD切OO于E,

••.PA=PB=10,ED=AD,CE=BC；

••.△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即APCD的周长=2PA=10,；

如图，连接OA、OE、OB.

由切线性质得，OA1PA,OB1PB,OE1CD,DB=DE,AC=CE,

•.AO=OE=OB,

易证AAOC三AEOC(SAS),AEOD=ABOD(SAS),

.,.zAOC=zEOC,z.EOD=z.BOD,

1

AZ.COD=—zAOB,

2

/.ZAOB=180°-ZP,

例2.

如图，AB、AC是OO的切线，B、C为切点，NA=50。，点P是圆上异于B、C,且在ABC上

A.65°B.115°

C.115。或65°D.130°或65°

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：如图，连接OB、OC,

•；AB、AC是OO的切线，

.­.ZOBA=ZOCA=90°,

•••ZA=5O°,

.­.ZBOC=130°,

•・,Z_BOC=2NP,

.-.ZBPC=65°；

故选A.

例3.

如图，AB是的直径，点C为OO外一点，CA、CD是00的切线，A、D为切点，连接

BD、AD.若4ACD=48。，贝IJNDBA的大小是()

A.48°B.60°C.66°D.32°

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：,••CA、CD是的切线，.・.CA=CD,

•••zC=48°,■•.zCAD=zCDA=66°,

•••CAIAB,AB是直径，.•.ZADB=ZCAB=9O°,

••2DBA+NDAB=90°,NCAD+ZDAB=90°,.•ZDBA=NCAD=66°,故选C.

由三角形内切圆及其相关计算

避知识讲解

三角形的内切圆是指三角形的三条边都与圆相切，则三角形的任意两条相邻的边与圆都能构成

一组切线长定理模型，则可以用切线长定理来处理，其中内切圆的圆心叫三角形的内心.

尸^例题精讲

三角形内切圆及其相关计算

例1.

如图，4ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm,OO是它的内切圆，小明准备

用剪刀在O0的右侧沿着与。0相切的任意一条直线MN剪下AAMN,则剪下的三角形的周长

为（）

Bn：

0*

A.12cmB.7cm

C.6cmD.随直线MN的变化而变化

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：设E、F分别是。。的切点,

•••△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm,是它的内切圆，点D是其中的一个切

点，BC=5cm,

；.BD+CE=BC=5cm,则AD+AE=7cm,故DM=MF,FN=EN,AD=AE,

••.AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).故选：B.

例2.

如图，OO是AABC的内切圆，点D,E,F为切点，AD=13,AC=25,BC=35,则BD的长度

A.23B.22C.21D.无法确定

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：丫。。是AABC的内切圆，点D,E,F为切点，

.-.AF=AD=13,CF=CE,BD=BE,

•••AC=25,

••.CF=ACAF=2543=12,

：BC=35,

.•.BF=BC-CE=35-12=23,

.•.BD=BE=23.故选A.

例3.

如图，在AABC中，AB=AC,。0是AABC的内切圆，它与AB,BC,CA分别相切于点D、

E、F.

（1）求证：BE=CE；

(2)若NA=90。，AB=AC=2,求O0的半径.

【答案】

解法一：(1)证明：T。。是4ABC的内切圆，切点为D、E、F.--AD=AF,

BD=BE,CE=CF,••AB=AC,.­•AB-AD=AC-AF,即BD=CF,•••BE=CE；解法二:

(1)证明：连结OB、OC、OE：00是△ABC的内切圆，.•.OB,OC分别平分

Z.ABC,Z.ACB,AZOBC=—zABC,zOCB=—Z.ACB,vAB=AC,

22

••ZABC=NACB,••.NOBC=NOCB,••.OB=OC,又丁。。是AABC的内切圆，切点为

E,••.OE_LBC,；.BE=CE；(2)解：连结OD、OE,是aABC的内切圆，切

点为D、E、F,.-.zODA=zOFA=zA=90°,又・•・OD=OF,••.四边形ODAF是正方

形，设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r,在^ABC中，ZA=9O°,

•••BC=^AB2+AC2=25/2,又•••BC=BE+CE,(2.r)+(2-r)=20,得：r=

2—近，二©。的半径是2-应.

【解析】

题干解析：（1）利用切线长定理得出AD=AF,BD=BE,CE=CF,进而得出

BD=CF,即可得出答案；（2）首先连结OD、0E,进而利用切线的性质得出

ZODA=ZOFA=ZA=90°,进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出

00的半径.

酒当堂练习

单选题

练习1.

如图，A、B是。0上的两点，AC是。。的切线，NB=70。，则/BAC等于（）

练习2.

如图，在RSABC中，Z.A=90°,BC=26，以BC的中点0为圆心。0分别与AB,AC相切

于D,E两点，则的长为（）

练习3.

如图，AB、AC是OO的两条弦，ZA=25°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则/D的

度数（）

D

A.25°B.30°C.40°D.50°

练习4.

如图，PA,PB切OO于A、B两点，CD切OO于点E,交PA,PB于C,D.若APCD的周

长等于3,则PA的值是（）

练习5.

如图，直线AB、CD、BC分别与0O相切于E、F、G,且AB||CD,若OB=6cm,OC=8cm,

则BE+CG的长等于（）

A.13B.12C.11D.10

练习6.

如图，P为OO外一点，PA,PB分别切00于A,B,CD切0O于点E,分别交PA,PB于

点C,D.若PA=5,则APCD的周长和zCOD分别为（）

A.5,-(90°+zP)B.7,90°+-

22

C.10,90°--ZPD.10,90°+-ZP

22

练习7.

如图，OO是AABC的内切圆，点D,E,F为切点，AD=13,AC=25,BC=35,则BD的长度

A.23B.22C.21D.无法确定

练习8.

如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若

A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定

练习9.

如图，OO为^ABC的内切圆，AC=1(),AB=8,BC=9,点D,E分别为BC,AC上的点，且

DE为。O的切线，则ACDE的周长为()

A.9B.7C.11D.8

练习10.

如图，AB是OO的直径，点C为。0外一点，CA、CD是。O的切线，A、D为切点，连接

BD、AD.若NACD=48。，则々DBA的大小是（）

A.48°B.60°C.66°D,32°

解答题

练习1.

如图，在AABC中，BA=BC,以AB为直径的0O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点

F,连接AF,使/ABC=2NCAF.求证：AF是的切线.

练习2.

如图，在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以0A的长为半径的圆O与AD交于点E,且

NACB=NDCE,求证：CE是的切线.

练习3.

如图，在AABC中，NC=90。，点O在AC上，以OA为半径的00交AB于点D,BD的垂直

平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

(1)判断直线DE与0O的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=6,BC=8,0A=2,求线段DE的长.

练习4.

如图，AABC内接于。0,AD平分NBAC交OO于点D,过点D作DE||BC交AC的延长线于

点E.

(1)试判断DE与OO的位置关系，并证明你的结论；

(2)若Z_E=6()。，OO的半径为5,求AB的长.

练习5.

如图，AB为OO的直径，PQ切OO于T,AC1PQ于C,交OO于D.

(1)求证：AT平分4BAC；

(2)若AD=2,TC=6求OO的半径.

CQ

单选题：CBCADCABCC

解答题

练习1：【答案】

见解析

【解析】

题干解析:证明：连接BD,如图1所示：YAB是。0的直径.ZADB=9()。，

•••BA=BC,...BD平分ZABC,BPzABC=2zABDvzABC=2zCAF,.-.zABD=zCAF,

-.•zABD+zCAB=90°,.-.ZCAF+ZCAB=90°,即BALFA,.「AF是。0的切

线图1

练习2：【答案】

见解析

【解析】

题干解析:证明：连接OE,「OAMOE,••.NCAD=NOEA,♦.•四边形ABCD是矩形，

.-.zD=90o,BCHAD,.-.zBCA=zCAD,vzACB=zDCE,.'.zCAE=zDCE,

•••