四川省南充市2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

四川省南充市2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共60分）1．（4分）已知A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[﹣4，4] D．[2，4]2．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）3．（4分）若a＞0，b＞0，则函数f（x）（）A．2π B．2abπ C． D．4．（4分）不等式|2x﹣3|＜5的解集为（）A．{x|x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}5．（4分）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）与直线2x+3y+1＝0平行且过点（0，1）的直线方程是（）A．2x+3y﹣3＝0 B．3x+2y﹣2＝0 C．2x﹣3y+3＝0 D．3x﹣2y+2＝07．（4分）已知向量，则＝（）A．（2，6） B．（1，8） C．（1，6） D．（2，8）8．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y＝ B．y＝x C．y＝x D．y＝x9．（4分）已知，那么n＝（）A．5 B．6 C．7 D．810．（4分）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（）A．16 B．48 C．75 D．9611．（4分）小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（）A．6 B．12 C．24 D．3612．（4分）从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（）A．8种 B．16种 C．6种 D．12种13．（4分）（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是（）A． B． C． D．14．（4分）在二项式的展开式中，常数项等于（）A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣1415．（4分）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失．为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分。下列题目均用数字作答。）16．（4分）在△ABC中，a＝3，b＝4，则S△ABC＝．17．（4分）设函数，则f[f（﹣1）]＝．18．（4分）二项式（2x﹣3）5的展开式中，x3的系数是．19．（4分）6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有种.20．（4分）已知，则a0+a1+a2......+a7＝．三、解答题（本题共6个小题，共70分。）21．（10分）计算：（1）；（2）．22．（12分）等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．（1）求数列{an}的通项公式；（2）99是否为数列{an}中的项，说明理由；（3）求数列{an}的前20项的和．23．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求三棱锥A﹣PBD的体积．24．（12分）从0、1、2、3、4这5个数字中随机抽取2个不同的数字，求：（1）这两个数字都是偶数的概率；（2）这两个数字之和是偶数的概率．25．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线的右焦点重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求点P的坐标．26．（12分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，y（x+2y）＝f（x）+2f（y）（1）若f（1）＝﹣2，求的值．（2）若x＞0时恒有f（x）＜0，试判断函数f（x），并说明理由．

答案与试题解析一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共60分）1．（4分）已知A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[﹣4，4] D．[2，4]【正确答案】D【分析】根据交集的定义即可求解．解：∵A＝{x|x≤﹣4或x≥2}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}＝[2，4]．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，难度不大．2．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【正确答案】A【分析】根据即可求解．解：∵，∴x＜1且x≠﹣5，∴函数的定义域为（﹣∞，1）．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域，难度不大．3．（4分）若a＞0，b＞0，则函数f（x）（）A．2π B．2abπ C． D．【正确答案】C【分析】根据题干信息计算求解正弦函数的周期即可．解：∵a＞0，b＞0，∴函数f（x）＝asinbx的最小正周期是，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的周期，解题的关键在于数值运算，为基础题．4．（4分）不等式|2x﹣3|＜5的解集为（）A．{x|x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}【正确答案】B【分析】将|2x﹣3|＜5转化为求解即可。解：∵|2x﹣3|＜3，∴﹣5＜2x﹣3＜5，∴﹣1＜x＜2，故选：B。【点评】本题主要考查不等式的求解，解题的关键在于数值运算，为基础题。5．（4分）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分必要条件即可求解．解：“两条直线没有公共点”推不出“两条直线平行”，比如这两条直线异面，∴“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．6．（4分）与直线2x+3y+1＝0平行且过点（0，1）的直线方程是（）A．2x+3y﹣3＝0 B．3x+2y﹣2＝0 C．2x﹣3y+3＝0 D．3x﹣2y+2＝0【正确答案】A【分析】设所求直线方程为2x+3y+C＝0，代入点的坐标求得C，即可得出答案．解：设所求直线方程为2x+3y+C＝5，又过点（0，1），则3+C＝0，解得C＝﹣3，则所求直线方程为5x+3y﹣3＝7．故选：A．【点评】本题考查直线方程，属于基础题．7．（4分）已知向量，则＝（）A．（2，6） B．（1，8） C．（1，6） D．（2，8）【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算计算即可．解：∵向量，∴＝（﹣3，4）＝（1．故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算，是基础题．8．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y＝ B．y＝x C．y＝x D．y＝x【正确答案】C【分析】根据双曲线方程直接得出渐近线方程．解：双曲线中a2＝7，b2＝16，则渐近线方程为，故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．9．（4分）已知，那么n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【正确答案】D【分析】根据排列数的计算即可求解．解：∵，∴n（n﹣1）＝56，∴n＝4或n＝﹣7（舍去）．故选：D．【点评】本题考查排列数的计算以及一元二次方程的解，难度不大．10．（4分）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（）A．16 B．48 C．75 D．96【正确答案】B【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．解：∵从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，数字3只出现第二次的取法有4×4的16种，∴从6，2，3，3，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，故选：B．【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．11．（4分）小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（）A．6 B．12 C．24 D．36【正确答案】B【分析】相邻问题运用捆绑法，先将小明与爷爷当成一个元素，再进行全排列即可。解：将小明与爷爷进行捆绑，再与剩余的2人进行全排列，共有A22•A33＝12种方法，故选：B。【点评】本题考查了简单的排列问题，属于基础题。12．（4分）从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法也有（）A．8种 B．16种 C．6种 D．12种【正确答案】C【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．解：从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有，故选：C．【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．13．（4分）（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是（）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据第6项的二项式系数即可求解．解：（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数是．故选：C．【点评】本题考查二项式定理，难度不大．14．（4分）在二项式的展开式中，常数项等于（）A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14【正确答案】C【分析】先求出通项，再令x的指数为0，即可求得常数项.解：二项式的展开式的通项为，令，解得r＝6.故选：C。【点评】本题考查二项式定理的运用，属于基础题。15．（4分）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失．为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式计算求解即可．解：省政府决定让我市抽派3名志愿者去支援抗火．目前6名志愿者中有男性4名，至少抽派到1名女性的方法数是+，故选：C．【点评】本题主要考查排列组合的计算公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．二、填空题（本题共5个小题，每空题4分，共20分。下列题目均用数字作答。）16．（4分）在△ABC中，a＝3，b＝4，则S△ABC＝3．【正确答案】3．【分析】根据三角形的面积公式求解即可．解：∵△ABC中，a＝3，C＝30°，∴S△ABC＝absinC＝＝3．故8．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，解题的关键在于掌握三角形的面积公式和数值运算，为基础题．17．（4分）设函数，则f[f（﹣1）]＝20．【正确答案】20．【分析】根据函数求解即可．解：∵函数，∴f[f（﹣5）]＝f（5）＝20，故20．【点评】本题主要考查函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题．18．（4分）二项式（2x﹣3）5的展开式中，x3的系数是720．【正确答案】720．【分析】根据二项式（2x﹣3）5展开式的通项即可求解．解：∵二项式（2x﹣3）7展开式的通项公式为Tr+1＝（6x）5﹣r（﹣3）r＝25﹣r（﹣4）rx5﹣r，0≤r≤3，且r为整数，∴当5﹣r＝3时，r＝4，∴x3的系数是•23•（﹣7）2＝720．故720．【点评】本题考查二项式定理，难度不大．19．（4分）6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有480种.【正确答案】480.【分析】先排除甲乙外的4名同学，再将甲乙插入这4名同学所形成的5个空挡中，最后由分步计数原理得解.解：先排除甲乙外的4名同学，有种排法，再将甲乙插入这4名同学所形成的5个空挡中，有种排法，故符合题意的排法共有24×20＝480种.故480.【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.20．（4分）已知，则a0+a1+a2+...+a7＝﹣1．【正确答案】﹣1．【分析】将x＝1代入二项式即可求解．解：∵，∴（2﹣2）7＝a2+a1+a2+...+a7，∴a0+a1+a7+...+a7＝﹣1．故﹣3．【点评】本题考查二项式定理，难度不大．三、解答题（本题共6个小题，共70分。）21．（10分）计算：（1）；（2）．【正确答案】（1）396；（2）4974．【分析】（1）根据排列数的计算即可求解；（2）根据组合数以及排列数的计算即可求解．解：（1）＝4×4×3×2+5×8×4×3＝396；（2）＝+2．【点评】本题考查排列数的计算以及组合数的计算，难度不大．22．（12分）等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．（1）求数列{an}的通项公式；（2）99是否为数列{an}中的项，说明理由；（3）求数列{an}的前20项的和．【正确答案】（1）an＝4n；（2）99不是数列{an}中的项，理由见解析；（3）840．【分析】（1）根据等差数列的性质求解即可；（2）直接代入求n即可；（3）直接代入前n项和公式即可求解．解：（1）设等差数列的公差为d，∵等差数列{an}中，a1＝4，a15＝60．∴d＝＝＝4，∴an＝a1+（n﹣1）d＝6+4（n﹣1）＝6n；（2）令4n＝99，解得n＝，故99不是数列{an}中的项；（3）数列{an}的前20项的和S＝20a5+d＝20×4+20×19×7＝840．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．23．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求三棱锥A﹣PBD的体积．【正确答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）设AB的中点为E，连接DE，根据PD⊥底面ABCD可知PD⊥BD，再根据题意可证△ABD为直角三角形，从而可知AD⊥BD，即BD⊥平面PAD，从而可证PA⊥BD；（2）根据三棱锥的体积公式可求出VP﹣ABD，再根据等体积法即可求解．（1）证明：如图，设AB的中点为E，∵AB＝2AD，∴AD＝AE，∵∠DAB＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴，∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴PD⊥BD，∵AD∩PD＝D，∴BD⊥平面PAD，又∵PA⊆平面PAD，∴PA⊥BD；（2）解：∵AB＝2AD＝2，∴，∴VP﹣ABD＝××1＝，∴VA﹣PBD＝VP﹣ABD＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质以及三棱锥的体积，难度中等．24．（12分）从0、1、2、3、4这5个数字中随机抽取2个不同的数字，求：（1）这两个数字都是偶数的概率；（2）这两个数字之和是偶数的概率．【正确答案】（1）；（2）．【分析】用列举法求出从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个数字的情况数目，分析其中（1）两个数字都是偶数的情况数目（2）2个数字之和为偶数的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：从0，1，5，3，4这7个数字中任取2个数字、1，3、2，0、3，0、4，2、2，1、8，1、4，7、3，2、6，3、4，共10种情况；（1）两个数字都是偶数的情况有3、2，0、7，2、4，共2种情况，故两个数字都是偶数的概率为；（2）2个数字之和为偶数的情况有3、2，0、3，1、3，2、4，共4种情况，故8个数字之和为偶数的概率为．【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．25．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线的右焦点重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求点P的坐标．【正确答案】（1）y2＝8x．（2）（4，4）或（4，﹣4）．【分析】（1）根据题意可得a2＝3，b2＝1，又c2＝a2+b2＝4，解得c，可得抛物线C的焦点坐标，解得p，即可得出答案．（2）由抛物线的准线方程为x＝﹣＝﹣2，结合抛物线的定义可得xP+2＝