平面向量的数量积及运算律(一)教案

FSθ●（一）、新课引入——FSθ在物理学中学过功的概念，一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=FScosθ。思考：W是什么量？F和S是什么量？和向量有什么关系？W是标量（实数），F和S是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。我们学过的向量运算结果都是向量。因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。●（二）、新课学习★新课学习阶梯一——怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义，有什么几何意义？ABABOθ1．两个非零向量夹角的概念ABOθ已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角（右图的夹角分别是什么）ABOθ2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0思考：功怎么用数量积表示：数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。★新课学习阶梯二——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。1几何意义：“投影”的概念：作图定义：||cos叫做向量在方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量与，=0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量与，当与同向时，=||||；当与反向时，=||||（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos=（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）=||2，，（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）||≤||||（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba√（结合律）(ab)c=a(bc)×（分配律）a(b+c)=ab+ac√√思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。从性质的分析知道，数量积是应用非常广泛和灵活的，涉及代数和几何甚至跨学科的知识，因此学习数量积是为了能够应用它解决问题。★新课学习阶梯三——怎样用定义、性质解决问题（范例讲解）例1．（巩固概念）判断下列各题正确与否：（1）若=，则对任一向量，有=0(√)（2）若，则对任一非零向量，有0(×)（3）若，=0，则=(×)（4）若=0，则、至少有一个为零(×)（5）若，=，则=(×)（6）若=，则=当且仅当时成立(×)（7）对任意向量、、，有()()(×)（8）对任意向量，有2=||2(√)例2．（课本P118）已知=5，=4，向量与夹角是1200，求（课本资源升华）学生回答：=－10（以下变形向量与均为非零向量）变形1：已知=5，=4，向量与夹角是1200，求思考：求长度，怎样将长度和数量积建立起关系？2==25+16－10=21，所以=。变形2：已知三角形ABC的边AB=5，BC=4，∠ABC=1200，求边AC。启发：这个问题看似和向量无关，要想运用向量的知识，必须构造向量，突破点是如何构造向量。提问学生或老师讲解：，=25+16+2×5×4×cos600=61,AC=思考：已知三角形两边一夹角一定可求第三边吗？变形3：已知三角形ABC的边AB=5，BC=4，sin∠ABC=,求边AC。思考：已知正弦值，如何求余弦值，几解？变形4：已知=5，=4，=，求向量与的夹角。思考：建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能，先求。变形5：已知=5，=4，在上的投影是－2，求及与的夹角。变形6：已知=5，=4，求。思考：求数量积，怎样将长度和数量积建立起关系？2==25，2==16，两式相减得：4=9，=点评：解决该问题，不仅局限于长度和数量积的关系，还运用了方程这一代数味很浓的思想。变形7：已知==4，求；能求向量与的夹角吗？能求吗？若不能求，你能补充一个合适的条件求出吗？启发：除了用数量积的运算性质求出，你还能从向量加减法运算的几何意义给出解释吗？变形8：已知=5，=4，向量与夹角是1200，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围。思考：夹角是锐角如何用数量积体现？（）（）>0变形9：向量与都是非零向量，且与垂直，与垂直，求向量与的夹角解：由(+3)(75)=072+16152=0①(4)(72)=07230+82=0②两式相减：2=2代入①或②得：2=2设、的夹角为，则cos=∴=60通过以上问题的变式探究：问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角）、数量积三个量的关系。这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁。★新课学习阶梯四——课堂练习1||=3,||=4,向量+与-的位置关系为（）A平行B垂直C夹角为D不平行也不垂直2已知||=2,||=5,·=-3,则|+|=______,|-|=3设||=3,||=5,且+λ与－λ垂直，则λ＝★新课学习阶梯五——学会小结学生自我归纳。★新课学习阶梯六——创造性学习（备用）如图P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PFAE是矩形，猜猜：不论P点位置如何，PC和EF是否总相等且垂直？提示：这是一个平几问题，没有向量的踪迹，怎样构造向量、创造性地运用数量积运算解决？思考：如何建立基向量；将PC和EF看成向量，用基向量表示；计算是否相等；计算是否为零。解析：设=，=，则=+，设=λ（+），=－+λ（+）=λ+（λ－1），显然=λ=λ，，则=++=（λ－1）－λ（+）+λ=（λ－1）－λ则2=（λ+（λ－1））2=λ22+（λ－1）22，2=（（λ－1）－λ）2=（λ－1）22+λ22，又ABCD是正方形，2=2，所以2=2，=（（λ－1）－λ）（λ+（λ－1））=（λ－1）λ2－λ（λ－1）2=0，所以PC和EF总是相等且垂直。◆六、课后反思和巩固（assignment）对数量积的运算律的证明思考和阅读（课本P119~P120）优化设计第一课时、课本P121习题5.6第1.2.3.4.5《平面向量的数量积及运算律》一课设计思路平面向量的数量积及运算律共两个课时，本课时为第一课时。围绕数量积的定义、性质和运输律及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用数量积的性质和运算律解决问题奠定基础。例题的选取紧紧扣住课本P118的例1，并通过例1展开变式研究和培养学生的发散性思维，并将课本其余几个例题都整和到例1的变式研究中。变式研究不仅是本节课的一大特点，同时也是本人多年坚持探究的问题——怎样用好课本，将课本的例题资源最大化，将课本的习题资源最大化，将课本的阅读材料充分利用。一句话，把课本作为第一课程资源用足、用到位。本节是全章的重点内容之一，定义是基础，性质是工具，运算律及应用是难点。因此本节课分层次将教学过程分解为两个步骤：为什么定义平面向量的数量积；怎样认识平面向量的数量积。新课学习分为六个阶梯：怎么定义平面向量的数量积；怎么全方位认识定义；怎样用定义、性质解决问题；课堂演练；怎样小结；怎样创造性地应用平面向量的数量积。突出学习数学知识的一般过程——为什么学、学什么、怎么用。在新课引入上突出课改的理念，从学生的认知结构和体现数学的实用出发，请教了物理教师，功、磁通量均与向量运算有关，但学生目前只学过功。所以采取课本的引入方法。引导学生结合具体情景设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。学生在各个阶梯过程中，渗透数学概念的学习策略：抓关键字、抓定义前题。渗透数学思想方法的学习：类比的思想、数形结合的思想、对称的思想、构造法。