3.2.1 单调性与最大（小）值-单调性第1课时导学案-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页3.2.1单调性与最大（小）值——单调性(第1课时）导学案【学习目标】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）．3.掌握求函数单调区间的方法(重点).4.会用函数的单调性解答有关问题.【自主学习】一．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时都有都有结论那么就称函数f(x)在区间D上是函数那么就称函数f(x)在区间D上是函数图示【答案】f(x1)＜f(x2)；增；f(x1)＞f(x2)；减二．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.【答案】增函数或减函数；单调区间解读：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数,0，x是奇数))，它的定义域是N，但不具有单调性．三．基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0)k＞0R无k＜0无R反比例函数(y＝eq\f(k,x)，k≠0)k＞0无(－∞，0)和(0，＋∞)k＜0(－∞，0)和(0，＋∞)无二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)a＞0[－eq\f(b,2a)，＋∞)(－∞，－eq\f(b,2a)]a＜0(－∞，－eq\f(b,2a)][－eq\f(b,2a)，＋∞)【当堂达标基础练】1.根据定义，研究函数的单调性。①当k>0时，于是②当k<0时，于是2.物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是，所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.3.根据定义证明函数在区间上单调递增。解：所以，函数在区间上单调递增。4.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数.当工人数为零时，产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而降低.5.根据定义，证明函数f(x)=3x+2是增函数.6.证明函数f(x)=-2x在区间7.画出反比例函数y=k（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.【当堂达标提升练】1．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上()A．增函数 B．减函数C．不增不减函数 D．既增又减函数B解析∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2<0，,fx1－fx2>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2>0，,fx1－fx2<0.))即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．2．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数 B．必是减函数C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性D解析函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．3．（多选）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．故选:AD．4．设函数，其中，.若在上不单调，则实数的一个可能的值为______.【答案】内的任意一个数.【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设在上单调，即可求出的取值范围，其补集即为在上不单调时实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，由对勾函数的性质可得函数在和上是单调递增，在和上是单调递减，若在上单调，则或，解得或，则在上不单调，实数的范围是,故答案为：内的任意一个数.5．函数的单调减区间为__________.【答案】【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.【详解】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．故答案为：.6．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．解y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3x≥0,－x2－2x＋3x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4x≥0,－x＋12＋4x<0)).函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．7．证明函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2).∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．【当堂达标素养练】8．（多选）下列命题，其中正确的命题是（

）A．函数在上是增函数B．函数在上是减函数C．函数的单调区间是D．已知在上是增函数，若，则有【答案】AD【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，故A正确；对于B选项，因为当时，，当时，，所以函数在上不是减函数，故B错误；对于C选项，解不等式得，函数的定义域为，故C错误；对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.故选：AD9．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________．[1，eq\f(3,2))解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x<eq\f(3,2)，故满足条件的x的取值范围是1≤x<eq\f(3,2).11．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2)))))解析由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，解得x<－eq\f(3,2).故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2))))).12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，．因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增．13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.【详解】证明：任取、，且，则．因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数．14．（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．15.已知a>0，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq\r(a)]上是减函数，在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(a,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x2)))＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－a)．当0<x1<x2≤eq\r(a)时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，eq\r(a)]上是减函数；当eq\r(a)≤x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数．16.讨论函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠\f(1,2)))在(－2，＋∞)上的单调性．解f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1－2a,x1＋2)－eq\f(1－2a,x2＋2)＝(1－2a)eq\f(x2－x1,x