2022年广东省深圳市中考数学二模试卷（原卷版）

2022年广东省深圳市福田区石厦学校中考数学二模试卷

一.选择题（共12小题，共30分）

1.如图是由六个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的正视图是)

D.2a—a=2

3.有一组数据：2,-2,2,4,6,7这组数据的中位数为（）

A.2B.3C.4D.6

4.如图，AB=AD,ZBAC=ZDAC^25°,ZZ)=8O°,则/8CA的度数为()

A.25°B.50°C.65°D.75°

「.34.3a+2b/、

5已知一二一,贝nIj-------=()

aba-b

17

A.-17B.-1C.—D.17

7

6.如图，在矩形A3CD中，两条对角线AC与3。相交于点。，AB=6,04=4,则A。的长为

A.4B.8C.3石D.2s

I，BC=12,则AC=(

7.如图，在AABC中，NC=90。，si〃A=)

A.3B.9C.10D.15

8.某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分

摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（

23002300.2300，2300

x+4xx+4x

23002300，2300，2300

xx-4xx-4

9.已知二次函数〉=。尤2+公+。（。知）的图象与x轴交于A（m,0）,B（n,0）两点，已知〃z+"=4,且-

4<m<-2.图象与y轴的正半轴交点在（0,3）与（0,4）之间（含端点）.给出以下结论：①£於8；②

3

对称轴是直线x=2；③当a=--时，抛物线的开口最大；④二次函数的最大值可取到6.其中正确结论

32

C.3D.4

10.如图，正方形A3CD中，E、尸分别为边A。、0c上点，且AE=EC,过P作FHLBE,交

AB于G,过H作于M，若AB=9,AE=3,则下列结论中：

①ZBGF=NCFB；②立DH=EH+FH；③"乙=。，其中结论正确的是（）

AE5

D,F,C

A

A只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

二.填空题（共5小题，共15分）

11分解因式：4%2-16=

12.若％=1是方程/一2%+。=0的根，则。=

13.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若A5,AC的长都为2.5m,当。=55。时，人字梯顶端离地

面的高度AD为m.（参考数据：sin55°«0.82,cos55°«0.57,tan55°«1.4）

14.已知实数。、b^^4^2+\b+3\=0,若关于x的一元二次方程式+融+人二。的两个实数根分别为

西、X2,则石+%-芍々的值为

15.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=®BC=2,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交

A3于点。，交AC于点C,以点B为圆心，AC长为半径画弧，交A3于点E,交BC于点尸,则图中

阴影部分的面积为.

三.解答题（共4小题，满分55分）

|jr

16.先化简，再求值：(1------)---，其中x=l—应

x+1X-1

17.如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背

(1)小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

(2)小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形

的概率.

18.某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在

点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点。，又测得点A的仰角为45°,

请根据这些数据，求这幢教学楼的高度.(最后结果精确到1米，参考数据应标1.414,百土L732)

吕

□

口

目

CDB

19.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF±AE,垂足为F,连接DE.

(1)求证：AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

BEC

20.某中学为丰富学生的校园生活，准备从友谊体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的

价格相同、每个篮球的价格相同)，若购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共

需440元.

(1)购买一个篮球、一个足球各需多少元？

(2)根据该中学的实际情况，需要从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共20个.要求购买篮球数不

少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，那么这所中学有哪几种购买方案？哪种方案所需费用最少？

21.如图1,己知抛物线y=ax2+bx+c(a/))与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点

C（0.2）,点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQLx轴，垂足为Q,交直线BC于点D.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若以P、D、0、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；

（3）如图2,当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PELBC于点E,设APDE的面积为S,

求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值.

22.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在YA6CD中，

BE±AD，垂足为E，F为CD中点，连接ER,BF，试猜想E尸与正的数量关系，并加以证

明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YA5CD沿着正（产为CD的中点）所在直线折叠，如

图②，点。的对应点为C',连接。。并延长交A5于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证

明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YABCD沿过点8的直线折叠，如图③，点A的对应点为A',使

A'B上CD于点、H,折痕交A。于点M,连接A'M,交CD于点、N.该小组提出一个问题：若此

YABCD的面积为20,边长A3=5,BC=25求图中阴影部分（四边形3HMW）的面积.请你思

考此问题，直接写出结果.

图①图②图③

2022年广东省深圳市福田区石厦学校中考数学二模试卷

一.选择题（共12小题，共30分）

1.如图是由六个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的正视图是（）

z

TF面

【答案】A

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】解：从正面看易得左边一列有2个正方形，右边一列有一个正方形.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

2.下列计算正确的是（）

236

A."LB.（2a）=6aC.D.

2a—a=2

【答案】C

【解析】

【分析】由同底数哥乘法、积乘方、塞的乘方、合并同类项，分别进行判断，即可得到

答案.

235

【详解】解：A.a-a=a,故A错误；

B.（2a2）3-8a6,故B错误；

C.（a?1=/,故c正确；

D.2a—a=a,故D错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数幕乘法、积的乘方、幕的乘方、合并同类项，解题的关键是熟

练掌握运算法则分别进行判断.

3.有一组数据：2,-2,2,4,6,7这组数据的中位数为（）

A.2B.3C,4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平

均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

【详解】解：将这组数据排序得：-2,2,2,4,6,7,

处在第3、4位两个数的平均数为（4+2）+2=3,

故选：B.

【点睛】考查中位数的意义和求法，找一组数据的中位数需要将这组数据从小到大排列

后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数.

4.如图，AB=AD,NBAC=/ZMC=25。，"=80°,则NBCA的度数为（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根据S4S证明△ABC丝△ADC,可得ND=N3=80°,根据三角形内角和定理

即可求得N3C4的度数.

【详解】解：在ABC与△ADC中，

AB=AD

<ABAC=DAC,

ZAC=AC

AABC咨AADC,

ZD=ZB=80°,

ZBCA=180°-25°—80°=75°.

故选D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角

形的性质与判定是解题的关键.

343a+2b

5.已知一二一,则

a-b

A.-17

【答案】A

【解析】

【分析】根据比例的性质，由3=3,得巴=2,则设@=2=左，得到。=3左,

ab3434

aIoit

b=4k,然后把a=3左，b=4k,代入“，中进行分式的运算即可.

34

【详解】解：・・・一=:

a_b

3~4

设巴=）=k,得到。=3左，b=4k,

34

3a+2b3x3左+2x4左

二_______=______________=_17,

a-b3k-4k

故选：A.

【点睛】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比

性质；合分比性质；等比性质.

6.如图，在矩形A3CD中，两条对角线AC与5。相交于点。，AB=6,04=4,贝U

AD的长为（）

队-----------------

c.3#D.277

【答案】D

【解析】

【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且NA5c=90°,再利用勾股定理求解即

可.

【详解】解：在矩形A3CD中，

Q4=OC=4

:.AC=8

AB=6,ZABC=90°

BC=VAC2-AB2=幅-6=277

AD=3C=2s

故选D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边

是解决本题的关键.

,4

7.如图,在AABC中，ZC=90°,sinA.——,BC=12,则AC=()

5

A.3B.9C.10D.15

【答案】B

【解析】

【详解】sinA=,

AB

BC12

.'.AB=sinA4=15,

5

在直角△ABC中,AC=7AB2-BC2=V152-122=9-

故选B.

8.某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加

的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程

（）

23002300,2300,2300

A.-------=-------+4B.-------+4=

x+4xx+4-----------x

23002300，2300，2300

C.-------=--------+4D.-------+4=-------

xx-4xx-4

【答案】D

【解析】

【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加

的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，列出方程即可解答.

【详解】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，

2300，2300

根据题意得,-------+4=-------

xx-4

故选：D.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

9.已知二次函数y=or2+bx+c（。刈）的图象与x轴交于A（m,0）,B（w,0）两点，已知

m+n—4,且-4SwW-2.图象与y轴的正半轴交点在（0,3）与（0,4）之间（含端

3

点）.给出以下结论：①6刍W8；②对称轴是直线x=2；③当a=--时，抛物线的开口最

32

大；④二次函数的最大值可取到6.其中正确结论的个数为（）个

【答案】C

【解析】

【分析】先根据帆+"=4可得〃=4-加，再根据2即可判断①；根据二次函

m+n1

数的对称轴是直线x==—即可判断②；先求出——的取值范围，再根据二次函数的图

2mn

象与y轴的交点位置可得c的取值范围，从而可得£的取值范围，然后根据二次函数与

mn

一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系可得加〃=£,从而可得。的取值

a

范围，最后根据抛物线的开口大小与〃的值的关系即可判断③；先求出当％=2时，二次函

数取得最大值，最大值为Ta+c,再根据区。的取值范围求出=k+c的取值范围，由此

即可判断④.

【详解】解：由根+几=4得：n=4-m,

-4<m<—2,

2<—m<4,

.\6<4—m<8,

/.6<zi<8,结论①正确；

,二次函数y=法+aiwo）的图象与九轴交于A（祖,0）,5（〃0）两点，且

=4,

「•此二次函数的对称轴是直线x=------=2,结论②正确；

2

2<—m<4,6<n<8,

:A2<—mn<32,

——1<--1----<——1，

32mn12

；二次函数y^ax2+bx+c（a^0）的图象与丁轴的正半轴交点在（。,3）与（0,4）之间（含

端点），

.-.3<c<4,

32mn3

1c3

<—<—<----,

3mn32

又「二次函数y=a?+"+。0）的图象与犬轴交于A（m,0）,5（凡0）两点，

〃是关于龙的一元二次方程a/+6％+c=0（aw0）的两个实数根，

/.mn=—,

a

a——,

mn

13

——<a<----,

332

由二次函数图象的开口向下得：a<0,

则。的值越大，抛物线的开口越大，

所以当。=时，抛物线的开口最小；当。=一盘时，抛物线的开口最大，结论③正确;

此二次函数的对称轴是直线龙=2,

b

二当尤=2时，y=4a+2b+c为最大值，且----=2,

2a

最大值4a+2〃+c=4a-8a+c=Ta+c,

由—」得:12,4

—<-4a<—

332323

又・3<c<4,

3—«—4a+c«5一,

323

则二次函数的最大值-4〃+c不可取到6,结论④错误;

综上，正确结论的个数为3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次

方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

10.如图，正方形A3CD中，E、尸分别为边A。、0c上点，且AE=EC,过歹作

FHLBE,交AB于G,过H作A3于若AB=9,AE=3,则下列结论中：

①ZBGF=NCFB；②肥DH=EH+FH；③”4=?,其中结论正确的是()

AE5

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】①根据NA8E的余角是/8GF和/4防，得至！根据SAS证明

△ABE”xCBF,得至IJ/AE2=NCF2,即可得到②将△。尸H绕点。顺时针

旋转90。，得到ADEN,证明N,E,X三点共线，根据夜次/=HN即可得到答案；③连接

EF,证明EF=42DE=672，BE=BF=3M，根据FH~=EF2-EH2=BF~—BH2求

出BH=亚~，根据sinNA8E=〃0=4£求出即可得到答案.

5BHBE5

【详解】①：正方形ABC。中，AB^BC=9,ZA=ZC=90°,且AE=CF=3,

/XABE经△CBF(SAS),

：.NCFB=/AEB,

\'FG±BE,

：.ZBHG=9Q°,

：.ZBGH+ZABE=90°,

ZAEB+ZABE=90°,

：.ZBGH=ZAEB,

:.ZBGF=NCFB,正确；

@"：AD=CD,AE=CF,

：.DE=DF,

将△DFH绕点D顺时针旋转90°,得到△OEM点F的对应点为点E,

则/H£W=90°,ZDFH=ZDEN,DH=DN,FH=EN,

,：ZEDF+ZEHF=ISQ°,

:./DEH+/DFH==180°,

：./DEH+NDEN=180。,

：.N,E,"三点在同一条直线上，

AZN=ZDHN=^(180°-ZHDN)=45°,

72DH=HN=EH+EN=EH+FH,

:•①DH=EH+FH，正确；

③连接EF,

'：AD=CD=9,AE=CF=3,,

：.DE=DF=6,

:.EF=®DE=6

'•*BF=A/BC2+CF2=A/92+32=3&5，

•••BE=3而，

设BH=x,则EH=BE-BH=3回-x，

FH2=EF2-EH2=BF2-BH2，

/.(672)2-(3710-x)2=(3710)2-x2,

.9AB即叫9V10

••x=----，即BH------，

55

VHMXAB,

HMAE

sinZABE=

IBH~BE

HM3

二9函一3M，

5

9

HM=-,

5

9

~AE~1~5

HM3

故=g正确.

~AE

...正确的结论为①②③，

故选D.

【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方

形的边角性质，三角形全等的判定定理和性质定理，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函

数定义.

二.填空题（共5小题，共15分）

11.分解因式：4%2-16=.

【答案】4（尤+2）（尤-2）

【解析】

【分析】先提公因式4,然后使用平方差公式因式分解即可.

【详解】解：原式=4（x2-4）

=4（x+2）（x-2）.

【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式。2/2=Q+b）（a-b）是解

题的关键.

12.若x=l是方程无2—2x+a=0的根，则。=.

【答案】1

【解析】

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把X=1代入方程得到a的值.

【详解】把x=l代入方程必—2x+a=0，得l-2+a=O,

解得a-1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元

二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.

13.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2.5m,当。=55。时，

人字梯顶端离地面的高度A。为m.(参考数据：sin55°~0.82,

cos55°«0.57,tan55°«1.4)

【答案】2.05

【解析】

【分析】RtZXAOC中，求出A。即可.

【详解】解：'：AB=AC=2.5m,AD±BC,

：.ZADC=9QQ,

.*.AO=AC.sin55°=2.5X0.82^2.05(m),

故答案为2.05.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

14.已知实数b满足>/^1+忸+3|=0,若关于x的一元二次方程为2+公+人=0的两个

实数根分别为占、X],则%%-石多的值为一

【答案】1

【解析】

【分析】根据非负数的性质得出4=2,6=-3,根据根与系数的关系可得%+%=-2,

西・=-3,整体代入即可求得.

【详解】解：\Ja-2+|i>+3|=0,

2=0,Z?+3=0,

，a=2,b=—3,

・关于X的一元二次方程％2+女+6=()的两个实数根分别为玉、%，

\+x2=—a=—2,xl-X2=b=—3,

芯+w-=-2-(—3)=-2+3—1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程q2+乐+c=0(aw0)的根与系数

的关系，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.

15.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=®BC=2,以点A为圆心，AC长

为半径画弧，交A3于点。，交AC于点C,以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB

于点E,交于点孔则图中阴影部分面积为.

【答案】1----##-------H1

44

【解析】

【分析】设N8=废，则NA=90。—〃。，先利用勾股定理求出AC=1,再求出

=1，最后根据§阴影=S”8c-S扇形A。一S扇形的进行求解即可・

【详解】解：设N5=〃。，则NA=90。一〃。，

在中，由勾股定理得AC={AB?—5c2=i,

S.ABC=—AC-BC=1,

由题意得，BF=BE=AC=AD=1,

S阴影=SAABC-S扇形AC»―S扇形BEF

_1H7TXl2(9O-H)^X12

—360360

=1--,

4

77

故答案为：1-丁

【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，勾股定理，熟知扇形面积公式是解题的关

键.

三.解答题(共4小题，满分55分)

1jr

16.先化简，再求值：(1-----)+——，其中x=l—J5

x+1x~-\

【答案】X-l,-y/2

【解析】

【分析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算即可.

【详解】解：原式=--——-A_L

V-X+lx+1Jx

x(x+l)(x—1)

=----•----------

x+1X

=x-l

当％=1—y/2,时,原式=1—y/2—1=—A/2.

【点睛】本题考查了分式化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.

17.如图，有四张背面相同的纸牌AB、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形,

将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上.

正三角形圆H第四正五边形

(I)小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

(2)小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是

中心对称图形的概率.

【答案】(1)!

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)先根据中心对称图形的定义判断四个图形是否是中心对称图形，再根据概率计

算公式求解即可；

(2)先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计

算公式求解即可.

【小问1详解】

解：正三角形不是中心对称图形；圆是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；正五

边形不是中心对称图形；

...四个图形中有两个图形是中心对称图形，

21

，小红从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为一=—；

42

【小问2详解】

解：列表如下：

ABCD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(.A,B)(C,B)CD,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)QB,D)(C,D)

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的

结果数有2种，

.•.摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率为工=工.

126

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形的

识别，灵活运用所学知识是解题的关键.

18.某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度,

如图，他们先在点C测得教学楼A3的顶点A的仰角为30。，然后向教学楼前进20米到达

点。，又测得点A的仰角为45°,请根据这些数据，求这幢教学楼的高度.（最后结果精确

到1米，参考数据正。1.414,石。1.732）

吕

口

□

□

□

□

CDB

【答案】27米

【解析】

【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边A3及

CD=3C-a>=60构造方程关系式，进而可解，即可求出答案.

【详解】解：由已知，可得：ZACB=30°,ZADB=45°,

..在中，BD=AB-

又在中,

AB

tan30°=

BC-T

----=——，即BC-y[?>AB-

BC3

BC=CD+BD,

栏AB=CD+AB，

即(6-l)AB=20,

AB=10(豆+1卜27米.

答：教学楼的高度为27米.

【点睛】本题考查了仰角与俯角一解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三

角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

19.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF±AE,垂足为F,连接

DE.

（1）求证：AB=DF：

（2）若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

ra

BEC

【答案】（1）详见解析；（2）-

3

【解析】

【分析】（1）由矩形性质得到/B=NDFA,AE=BC,AD=BC,证得△AEB丝ZvDAF；

（2）由（1）可知：DF=AB=6,AE=AD=10.在RSAFD中,求出AF和EF.

【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,ZB=90°.

•「AD〃BC,

:・ZBEA=ZFAD

VDF±AE,

AZDFA=90°

・•・NB=NDFA

VAE=BC,AD=BC,

AAE=AD

AAAEB^ADAF

AAB=DF

(2)解：由(1)可知：AB=DF=6,AE=AD=10.

在RtAAFD中，ZDFA=90°，

AF=VAD2-DF2=A/102-62=8

.*.EF=AE-AF=10-8=2

在RtADFE中,ZDFE=90°

EF21

tanZEDF=-----=—=—

DF63

【点睛】矩形性质，求正切.

20.某中学为丰富学生的校园生活，准备从友谊体育用品商店一次性购买若干个足球和篮

球（每个足球的价格相同、每个篮球的价格相同），若购买3个篮球和2个足球共需420

元；购买2个篮球和4个足球共需440元.

（1）购买一个篮球、一个足球各需多少元？

（2）根据该中学的实际情况，需要从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共20个.要

求购买篮球数不少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，那么这所中学有哪几种购买方

案？哪种方案所需费用最少？

【答案】（1）：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元；（2）有三种方案，其中购买

篮球14个，足球6个所需费用最少.

【解析】

【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买3个篮球和2个足球共需420

元；购买2个篮球和4个足球共需440元，可得出方程组，解出即可；

（2）设购买篮球y个，则购买足球（20-y）个，由购买篮球数不少于足球数的2倍，总

费用不超过1840元，可得出不等式组，解出即可.

3x+2y=420

【详解】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：｛./，，八，解得：

2x+4y=440

卜=100

[y=60,

答：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元.

（2）设购买篮球y个，则购买足球（20-y）个，由题意,

y>2（20-y）

得.（

100y+60（20-y）<1840

A，40

解得：—

,・》为整数，，有3种方案:

①购买篮球14个，足球6个；

②购买篮球15个，足球5个；

③购买篮球16个，足球4个.

•••篮球较贵一些，...方案①所需费用最低.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用知识点.

21.如图1,已知抛物线y=ax?+bx+c(a^O)与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与

y轴交于点C(0,2),点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ_Lx轴，垂足为Q,交直

线BC于点D.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)若以P、D、0、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；

(3)如图2,当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PELBC于点E,设APDE

的面积为S,求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值.

【答案】(1)y=-1x2+-x+2；(2)Q点坐标为(2,0)或(2+2上，0)或(2-20,0)；

z2

4

(3)当P为(2,3)时，S有最大值，最大值为=1.

【解析】

【分析】(1)把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式;

(2)可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出

PD的长，由条件可得PD=OC=2,可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；

(3)可设出P的坐标，由PQ〃OC可表示出DQ、BD,由APEDS^BQD可表示出PE和

DE,则可表示出S,再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标.

【详解】(1),••二次函数与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点

C(0,2),

1

a=——

〃—b+c=02

・・3

•代入二次函数解析式可得(16〃+46+。=。，得b7=—

2

c=2

c=2

2

，二次函数表达式为y=-1x+-x+2;

~2

(2)设直线BC解析式为y=kx+b,

VB(4,0),C(0,2),

4k+b=0

代入可得《

b=2

解得,女——5,

b=2

直线BC解析式为y=-1x+2,

设Q坐标为（m,0）,则可知D点坐标为（m,-《m+2）,

又二,P点在抛物线上，

3

；.P点坐标为（m,-^-m2+—m+2）,

22

当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2,

3

即|」m2+—m+2-（-m+2）|=2,iP|-7rm2+2m|=2,

2222

当-lm2+2m=2时，解得m=2,则Q坐标为（2,0）,

当-gin2+2m=-2时，解得m=2±2行，则Q坐标为（2+后，0）或（2-72-0）,

综上可知Q点坐标为（2,0）或（2+2&,0）或（2-20）；

（3）设Q点坐标为（n,0）,由（2）可知D为（n,-；n+2）,P点坐标为（n,-；n2+—

222

n+2）,

PD=-\n2+2n=yn（4-n）,DQ=-；n+2,

又：OB=4,

；.BQ=4-n,

在R3OBC中，OC=2,OB=4,由勾股定理可求得BC=2J?,

VOQ/7OC,

.BDBQBD4-n出(4—n)

即寸==，解得BD=4——

"BC~OB2V542

VPE1BC,PQXQB,

.•.ZPED=ZBQD=90°,且/PDE=/BDQ,

.,.△PEDS/XBQD,

PEDEPD5"（4—〃）

•____________-_n_

"BQ^DQ~BD~&4-n1~小，

2

PEDEn

即4f」〃+2&

2

n（4-n）〃/1八、

解得PE=下,DE=-^（--«+2）,

iin（4-n）n1-、1

z22

.*.S=^PE«DE=^x——点一x-（=（——n+2）=——（-n+4n）,

22非非220

令t=-n2+4n=-（n-2）2+4,

：P在直线BC上方，

.•.0<n<4,

.'.0<t<4,且当n=2时，t有最大值4,

此时P点坐标为（2,3）,

14

当t=4时，Smax=——X42=—，

205

4

综上可知当P为（2,3）时，S有最大值，最大值为=二.

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比

例和相似三角形的判定和性质.在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在

（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）

中用Q点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键.本题知识点多，计算量大，难度较

大.

22.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在YABCD

中，BE±AD，垂足为E,F为CD中点，连接EF,BF，试猜想石尸与正的数

量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YABCD沿着正（尸为CD的中点）所

在直线折叠，如图②，点。的对应点为C',连接。。并延长交A5于点G,请判断AG

与8G的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对

应点为4,使45LCD于点H,折痕交A。于点连接A'〃，交CD于点N.该

小组提出一个问题：若此YABCD的面积为20,边长A3=5,BC=2日求图中阴影

部分（