10.2二元一次方程组（解析版）

10.2二元一次方程组二元一次方程组把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解的讨论已知二元一次方程组a1、若a12、若a13、若a1整体思想的应用已知二元一次方程组a①式+②式=a①式-②式=a题型1：二元一次方程组的定义1．在方程组：①3x+2y=7xy=5，②2x+y=7x+z=2，③3x+4y=2x3-y2=1，【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可．【解答】解：方程组：③3x+4y=2x故答案为：③．【变式1-1】（1）若（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的值是﹣3；（2）若方程组y-(a-1)x=5，y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则【分析】（1）（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则x和y的系数都不为0，且指数都为1；（2）单项式（b﹣5）xy的次数是2，则要使原方程组是关于x，y的二元一次方程组，xy项的系数为0．【解答】解：（1）由二元一次方程定义，得a﹣3≠0①，且|a|﹣2＝1②，由①，得a≠3，由②，得a＝±3，综上，a＝﹣3．故答案为：﹣3；（2）由二元一次方程组的定义，得a﹣1≠0①，b﹣5＝0②，|a|＝1③，由①，得a≠1．由②，得b＝5．由③，得a＝±1．综上，a＝﹣1，b＝5，所以ab＝（﹣1）5＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式1-2】若2x+y3=x+3y5=1，将原方程组化为a【分析】把原式化为：2x+y3=1和x+3y【解答】解：原式可化为：2x+y3=1和x+3y整理得，2x+y=3x+3y=5题型2：二元一次方程组的解2.已知关于x，y的方程组ax+by=32ax-by=1的解是x=1y=-1，则a+2b的值为﹣2【分析】把x=1y=-1代入方程组，得出关于a、b【解答】解：把x=1y=-1代入ax+by=3a-②﹣①得：a+2b＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式2-1】已知方程组2x+y=14x+2y=10的解为x=my=n，则m+n的值为8【分析】把x=my=n，代入2x+y=14【解答】解：把x=my=n代入2x+y=14得：2m+n=14①①+②得：3m+3n＝24，∴m+n＝8，故答案为：8．【变式2-2】已知方程组3x+y=2x-y=6的解满足方程x+y＝k，则k＝﹣2【分析】原方程组两个方程左右两边相减即可得解．【解答】解：原方程组为：3x+y=2①①﹣②可得：2x+2y＝﹣4，∴x+y＝﹣2，即k＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式2-3】若二元一次方程组x-3y=k+2x+y=4的解满足x＝y，则k＝﹣【分析】将x＝y代入该二元一次方程组，再解关于y和k的二元一次方程组即可．【解答】解：将x＝y代入该二元一次方程组得：y-解得：k=-故答案为：﹣6．题型3：根据实际问题列二元一次方程组3.一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组5x+3=y6(x-2)=y．【分析】根据“每一间客房住5人，那么有3人无房可住；每一间客房住6人，那么就空出2间客房”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每一间客房住5人，那么有3人无房可住，∴5x+3＝y；∵每一间客房住6人，那么就空出2间客房，∴6（x﹣2）＝y．∴根据题意可列出方程组5x+3=y6(x-2)=y故答案为：5x+3=y6(x-2)=y【变式3-1】《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，根据题意，可列方程组为5x+6y=193x=4y【分析】根据“5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵5只雀、6只燕共重19两，∴5x+6y＝19；∵3只雀与4只燕一样重，∴3x＝4y．∴所列方程组为5x+6y=193x=4y故答案为：5x+6y=193x=4y【变式3-2】《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是3x+2y=19x+4y=23，类似地，图2所示的算筹图可以表述为2x+y=114x+3y=27【分析】观察图2，根据图中各行的算筹数，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：2x+y=114x+3y=27故答案为：2x+y=114x+3y=27【变式3-3】如图，宽为50cm的矩形图案由10个相同的小长方形拼成，其中设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列二元一次方程组为x+y=505y=50【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可得：大长方形的宽＝小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽＝小长方形的宽×5，列出方程中即可．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组：x+y=505y=50故答案为：x+y=505y=50一．选择题（共6小题）1．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．x+y=51x+1yC．x=32x-y=7 D．【分析】利用“二元一次方程组是指方程组中一共含有两个未知数，且最高次项是1的整式方程”求解．【解答】解：A．1xB．方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；C．此方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；D．方程x﹣1＝xy中，xy的次数不是一次，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；故选：C．2．已知关于x，y的方程组(m-3)x=2x-A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．【解答】解：由题意可得：m-解得：m＝﹣3．故选：C．3．以x=-A．x-y=13x+y=5 BC．x-y=-1【分析】将x，y的值，分别代入x﹣y，3x+y中，即可得出结论．【解答】解：∵x＝﹣1.5，y＝﹣0.5，∴x﹣y＝﹣1.5﹣（﹣0.5）＝﹣1，3x+y＝3×（﹣1.5）+（﹣0.5）＝﹣5，∴以x=-1.5y=-0.5故选：D．4．在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（）A．x+y=122x+y=16 B．x+y=12C．x+y=12x-2y=16 D．【分析】根据该队在12场比赛中得到16分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵该队共比赛12场，∴x+y＝12；∵该队共得到16分，∴2x+y＝16．∴所列方程组为x+y=122x+y=12故选：A．5．若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（）A．3x-y=603x+y=120 BC．3(x-y)=1203(x+y)=60 【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得3(x+y)=1203(x-y)=60故选：B．6．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（）A．x=y+100x100=y60C．x=y-100x100【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走x步和走路慢的人走y步用的时间相等，即可列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，x=y+100x故选：A．二．填空题（共5小题）7．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组x-y=5【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字﹣十位数字＝5，10×十位数字+个位数字+10×个位数字+十位数字＝99，根据这两个等量关系可列出方程组．【解答】解：设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，根据题意，得x-故答案为：x-8．关于x，y的方程组x+ay+1=0bx+2y+1=0有无数组解，则a+b的值为3【分析】根据题意可知方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．【解答】解：∵关于x，y的方程组x+ay+1=0bx+2y+1=0∴方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，∴a=2b=1∴a+b＝1+2＝3．故答案为：3．9．写出一个解为x=2，y=-5的二元一次方程组：x+y=【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕x=2y=-5列一组算式，如2﹣5＝﹣3，2+5＝7，然后用x，y代换，得x+y=【解答】解：先围绕绕x=2y=-5如2﹣5＝﹣3，2+5＝7，然后用x、y代换，得x+y=-故答案为：x+y=-10．关于x，y的方程组2x+y=4+3ax+3y=1-5a的解满足x﹣2y＝﹣1，则a的值为-1【分析】①﹣②得x﹣2y＝3+8a，则3+8a＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：2x+y=4+3a①①﹣②得：x﹣2y＝3+8a，∵x﹣2y＝﹣1，∴3+8a＝﹣1，解得：a=-故答案为：-111．若方程组3x+y=1+2ax+3y=-2a-3的解满足x﹣y＝﹣1，则a的值为-3【分析】将方程组中的两个方程相减可得2x﹣2y＝4a+4，进而得出x﹣y＝2a+2，再根据x﹣y＝﹣1代入计算即可．【解答】解：3x+y=1+2a①①﹣②得，2x﹣2y＝4a+4，即x﹣y＝2a+2，因为x﹣y＝﹣1，所以2a+2＝﹣1，解得a=-故答案为：-3三．解答题（共3小题）12．已知x=2y=1是方程组ax+by=5bx+ay=1的解，求a+【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：由题意得，2a+b=5∴a=3∴a+b＝3