山东省枣庄市2023-2024学年高二年级下册4月质量检测考试数学模拟试题（含答案）

山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期4月质量检测考试数学

模拟试题

本试卷分和两部分，满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字

笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.

第I卷（共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，有且只有一

个选项符合题目要求.

1.己知集合"={1'-2,3},"={-4,5,6,-7},若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐

标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（）

A.18B.16C.14D.10

2.下列结论中正确的是（）

71,1.兀

y=cos—y=—sm—

A.若.3,则,33

B.若尸sin（2x）,则V=2cos（2x）

,=_L

C.若尸所⑴），则—5x

D,若^=廿",则V=/

3.要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则

不同的排法种数是（）

A,人力；B,A5AS

C.AgA：D.AgA：

4.曲线V=e2、在点（4,e?）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

%

A.2B.4e-c.2e-D.e~

„、x2+2x

J（zx）=

5.若函数e的极大值点与极小值点分别为a,b,则（）

A.a<b<a+bB.a<a+b<b

C.b<a+b<aD.a+b<b<a

于（x）=—x+X—

6.若函数33在区间（°-1,。+5）内存在最小值，则实数。的取值范围是

（）

A.[-5,1）B.（-5,1）

C.[-2,1）D.（-2,1）

、x2-2ax+2a,x„1,

=J।

7.已知。©氏，设函数[x-alnx,x>1,若关于》的不等式/（幻...°在五上恒成立,

则。的取值范围为

A.I。」]B.@2]C.[°遂]D.[1同

f(x}-x2-mg(x)=ln--x,xe

8.已知函数/⑺-x加与函数x的图象上恰有两对关于x轴对称的

点，则实数机的取值范围是（）

I0,--+ln2

A.（。，2-历2]B.I4J

|In2,一--+ln2

[--+In2,2-ln2）D.I4

C.4

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动，

每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法

正确的有（）

A.所有可能的方法有乎种

B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种

D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

10.若函数,（X）的图象上存在两个不同的点A、B,使得曲线在这两点处的切线重

合，称函数/G）具有T性质.下列函数中具有T性质的有（）

y=ex-xgy=x4-x2Qy=x3y=x+sinx

11.已知/（x）=ax_e;xeR,则（）

A./（X）的值域为R

B.。7°时，/（X）恒有极值点

k

g（x）=/（x）-—g0）

C.x恒有零点

D.对于xeRJ（x）4（l_e）"恒成立

第n卷（共92分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上）

f（x}=—ex（sinx4-cosx）「八-i

12.函数,2在区间卜"」上的值域为.

13.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i个数为=若囚"，名大3,

«,<«3<«5,则不同的排列方法有一种（用数字作答）.

14.若直线y=+b是曲线V=lnx+2的切线，也是曲线>=，的切线，则6=

四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

f（x）=a\nx+—

15.已知函数%.

（1）若/（X）在（1J。））处的切线与直线3x—y+l=0平行，求a；

（2）当a=l时，求函数/（X）的极值.

16.设函数/3=&-4X+4过点尸（3,1）

（1）求函数/（X）的单调区间和极值；

（2）求函数“X）在［-13上的最大值和最小值

17.已知函数/。）=^+3#+云+/在尸_1时有极值0.

⑴求函数/（X）的解析式；

（2）记”x）=/G）-m+l,若函数“X）有三个零点，求实数m的取值范围.

18.设函数"x）=e-“r_l,aeR

（1）。=°时，求/（X）的最小值；

⑵若/（x）N°在［°，+8）恒成立，求。的取值范围.

19.已知〃x)=x2-2x+"nx

(1)若函数/(X)在x=2处取得极值，求实数a的值；

(2)若g(x)=/(x)-ax,求函数g(x)的单调递增区间；

⑶若”2,存在正实数兄使得/a)+/(X2)=%+"成立，求再+Z的取值范围.

1.c

【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐

标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.

【详解】分两类情况讨论：

第一类，从河中取的元素作为横坐标，从N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点

共有3x2=6（个）；

第二类，从河中取的元素作为纵坐标，从N中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点

共有2x4=8（个），

由分类加法计数原理，所以所求个数为6+8=14.

故选：C

2.B

【分析】运用求导法则求函数的导数.

7T1

COS_=一ff\

【详解】A：32是常数，所以V=0,不正确；

B：了=cos（2x＞（2x）'=2cos2x,正确；

y'=--（5xy=-

C：5x无，不正确；

D：广e[2x）,=2之不正确.

故选：B

3.C

【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果.

【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有人；种排法，

将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有人：种排法,

根据乘法原理，共有种不同的排法.

故选：C

4.D

1，

尸y=—1er2

【详解】因为曲线）=",所以2切线过点（4,e?）

.,.f(x)k=4=2e2,

;切线方程为：y-e2=2e2(x-4),

令y=0,得x=2,与x轴的交点为：(2,0),

令x=0,y=-e2,与y轴的交点为：(0,-e2),

L1

曲线了=«2在点(%e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=5x2xH2|=e2.

故选D.

5.C

利用导数求函数的极值点，再比较选项.

,2-x2

【详解】当一五,仪x)>0；

当尤<-啦或x>夜时，/'(x)<°.

x2+2x

故J”一/的极大值点与极小值点分别为亚，-V2,

贝ljq=0,b=-V2,所以6<a+6<a.

故选：C

6.C

【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(。-1,。+5)内存在最小值，只需极小值点在该

区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值.

［详解］由/'(尤)=/+2壬令/■'(x)=0,可得工=_2或x=0,

由八对>0得："-2或无>0,由/'。)<0得：一2<x<0,

所以函数/⑴在(-00,-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,+«0上单调递增，

2

〃0)=一

所以函数在x=°处取得极小值3,

f(尤)=—X3+x2——=――

令333,解得x=0或无=-3,

若函数,㈤在(。-1,。+5)内存在最小值，则-3。-1<0<〃+5,得-24a<l.

故选：C

7.C

先判断时，--2ax+2aN0在上恒成立；若x-alnx20在(L+8)上恒成立，转

a<---

化为Inx在（1，+s）上恒成立.

【详解】即/0,

（］）当时，/W=_2ax+2a=（x-a）2+2a-a2>2a-a2=Q（2-a）>0

当a>l时，/⑴=1>。,

故当aZO时，/一2以+2。20在（-00,1］上恒成立；

a<-^—

若x-alnxNO在（l,+8）上恒成立，即Inx在（1,+«0上恒成立，

x，/、lnx-1

g（X）=---g（%）=-\2

令Inx,则（Mx）?,

当x>e,函数单增，当°<x<e,函数单减，

故g（x）"”"=g（e）=e,所以aWe.当心0时,x?-2ax+2a20在S」］上恒成立；

综上可知，。的取值范围是［.幻，

故选C.

本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析.

8.B

XG—,2

【分析】由题意可得/（、）=一g（x）对于L2」恰有两个不等式的实根，等价于方程

x2-m+\n--x=0/2(%)=x2+ln--x

工对于恰有两个不等式的实根，令%,可转化为

h(x}=x2+ln——xXG-,2

、=冽与''

x两个函数图象在L2」有两个不同的交点，对求导判断单

调性，作出其函数图象,数形结合即可求解.

‘3’4的图象上恰有两对关于，轴对

【详解】若函数/（“）=与函数

XG—,2

称的点，则"x）=-g（x）对于L2」恰有两个不等式的实根,

1

x9-m+\n—x=0xw

即x对于恰有两个不等式的实根,

别恰有两个不等式的实根,

w=x2+ln--xxe

可得》对于

h(x}=x1+ln--x

令x

;'"有两个不同的交点,

h（x\=x1+In--xXE

则丁"冽与'"x两个函数图象在

2x2-x-1_(2x+l)(x-l)

〃(x)=2x---1=

XX

\_

由/(x)>0可得1Vx<2,由可得2V1

2

h(x^=x+ln--x单调递减，在）单调递增,

所以/在0"

当x=l时，〃0)=1+如1-1=。

11IC11IC

x=—=—+In2——=——+ln2

当2时,424

h（x\=x1+In—x不2

若>=机与X两个函数图象在L2」有两个不同的交点，

0<m<--+ln2

由图知4,

0,--+ln2

所以实数加的取值范围是I4」，

故选：B

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出

函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9.BC

【分析】根据分步乘法原理判断A、C,根据间接法判断B,根据分类加法原理和乘法原理

判断D.

【详解】对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会

实践活动，

每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，

故有5x5x5=53种选择方案，错误；

对于选项B,如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有炉-d=61（种），正确；

对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有5?=25（种），正确；

对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有

5+5'4=25（种），

错误.

故选：BC

10.BD

【分析】根据题意可知性质7指函数V=的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析

各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利

用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】由题意可得，性质T指函数'=/（"）的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两

个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.

对于A选项，＞=则）'=卢-1,导函数为增函数，不存在不同的两个工使得导数值相

等，所以A不符合；

32

对于B选项，函数＞-'为偶函数，y=4x-2x=2x（2x-l）；

，nnT

令丁=°,可得x=0或2,如下图所示：

由图象可知，函数了=尤-X在2和2处的切线重合，所以B选项符合；

对于C选项，设两切点分别为G'X：)和(七，考)，则两切点处的导数值相等有：

解得：尤1=一工2,令Xi=a,则工2=一°,

两切点处的导数V=3/,两切点连线的斜率为“一(一°),贝°3a2=力，得。=°,两

切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；

对于D选项，V=l+cosx,设两切点得横坐标分别为不和又2,

两切点处的导数值为y=i,两切点连线的直线斜率为,

所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质7,所以D选项符合.

故选：BD.

本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查

分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.BCD

【分析】令'=则g(‘)="e’,求导数分析单调性即可求得；B选项由A选项即可判断B

g(x)=f(x)--(k^O

选项；C选项由x)，根据方程有零点转化为两个方程的根的问题来判断;

D选项一e)G,转化为e©Neax,即可判断D选项；

【详解】对于A：令/=",则g(r)="e',g'(f)=l-e',"R,

当0)遭'(>0名(。单调递增；

当，e(O,+“),g()<O,g(/)单调递减.

••・g(。4g(。)=-1,/(x)的值域不为R,故A不正确；

对于B：由A选项可知，当时，x=°是/(*)的极值点，故B正确;

“k

gG)=fG)——(左w0)ax-eax=—

对于C：%有零点，即工有根，

_k

当。=°时，/(x)=T与函数x图象恒有交点，

当。N。时，由选项A知/Oax—/(°)-1；

且/(x)在(一”，°)上单增，在(°，+")上单减，

_k

当左>0时，函数'一城图象在第三象限与/(X)有交点，

_k

当上<°时，函数'一提图象在第四象限与/(X)有交点，

_k

・••/(X)与函数‘-x图象恒有交点，故c正确；

对于D若/(x)<(l—e)Qx则办—e⑪<(1—e)Qx=e⑪2ear

(e-ex,令/(x)=e-ex(x)=e'-e,/(x)>0,x>1,/(x)<0,x<l,f(x)^n=/(I)=0,

所以砂2ex,故当x=l时等号成立)，

1

X=——

当a,则e"=eax,故D正确.

故选：BCD.

7C

--e\-e2

22

12.

【分析】求出导函数，根据导函数的正负得出原函数的单调性即可求值域.

f(%)=—ex(sinx+cosx)

【详解】由题：2，,

f(x)=—(sinx+cosx)+—(cosx—sinx)=excosx

当4回时/x)>。,当TM时，*M<。,

f(x^=—ex(sinx+cosx)0,—IxElI

所以2''在I2J单调递增，在12J单调递减,

/(0)=1

f(sinx+cosx)

所以当xe[0,句时,的最大值为

最小值为2

11至

函数/3=*（smx+u）在区间［0,力

上的值域为L22

此题考查求函数值域，根据函数的导函数讨论单调性，得出函数的最大值和最小值，进而求

出值域.

13.30

【分析】先分类排"“生，%,再排内，%，%,根据分步和分类计数原理得到结果.

【详解】当囚=2时，%=4,%=6,或%=5,。5=6,共2种情况,

当q=3时，生=4,%=6,或％=5,%=6,共2种情况,

当多=4时，%=5,%=6,共1种情况,

所以%，%，%的排列方法有5种方法，再排。2吗，&,有m=6种方法，

所以不同的排列方法种数为5*6=30种.

故30

本题考查分步和分类计数原理，对于复杂一些的应用习题，必须在分类后又分步，综合利用

两个原理解决问题，属于中档题型.

14.0或1

【分析】直线＞6与V=lnx+2的切点为（多，匕），与了="的切点（巧，外），因直线公切

线，故可得两个切点横坐标满足的方程组，解这个方程组可得切点的横坐标的值，从而求出

b

【详解】直线与V=lnx+2的切点为（外,匕），与〉="的切点（*2，%）.

—=eX2小一.XT」（1+InxjflK0

故/且马一王占,消去义2得到IXJ,

故“一"或再=1,故5=1或1%=2,故切线为了="或＞=x+l,所以b=°或者6=1.填

0或1.

解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公

切线问题，应根据两个函数在切点出的斜率相等且两个切点的连线的斜率就是其中一个切点

处切线的斜率来构建关于切点横坐标的方程组.

15.（1）«=4

（2）极小值1,无极大值

【分析】（1）根据导数的几何意义，/（1）=3,求a；

（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.

［详解］（1）］（x）=1一^==，

由导数的几何意义可知，/0）=3,即"1=3,得。=4.

f(x)=Inx+—

(2)当。=1时，x,

(%>0)

当0<x<1时，/'(x)<0,当x>l时，/()>。,

所以函数在区间Di）上单调递减，在区间0,+8）上单调递增,

所以当X=1时，函数取得极小值1,无极大值.

28

16.⑴单调递增区间为（一8,一2）,（2,+8）；单调递减区间为（-2,2）；极大值为极小值

4

为一3

J（x）min=T/Wmax=T

a=-f（x）=—x3-4x+4

【分析】（1）由已知求出3,代入得出3，求出导函数，根据导函数得

出函数的单调性，根据函数的单调性，即可得出函数的极值；

（2）根据（1）的结论得出函数在［TH］上的单调区间，求出函数的极值以及区间端点值，

即可得出函数的最值.

【详解】（1）由已知可得，/（3）=27"8=1,解得”3,

所以小）=9毋+4,小尸一4=（x+2）（x一2）,

由y（x）=°可得，x=-2或X=2.

解/中）>°可得，x<—2或x>2,

所以/（X）在（一8,一2）上单调递增，在（2,+00）上单调递增；

解/’（x）<0可得，_2<x<2,

所以"x）在（一2,2）上单调递减.

/（-2）=--+8+4=—

所以，/@）在》=_2处取得极大值33,在x=2处取得极小值

«4

"2）=］_8+4=_§

（2）由（1）知，"x）在［T2）上单调递减，在（2,3］上单调递增，

所以，/（X）在x=2处取得唯一极小值，也是最小值八六一3.

“1、1423/、2323

又"）=工yl了，/（3）T,所以“X）最大值为工

._Xf（x）=x3+6x2+9x+4

17.⑴Z1，'7

⑵1（加〈5

【分析】（1）求出函数/（X）的导函数，由"X）在x=T时有极值0,则〃-1）=0,/'（-1）=0,

两式联立可求常数a,b的值，检验所得a,b的值是否符合题意，从而得解析式；

（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数％的取值范围.

f（x）=d+3ax2+bx+a2f（x）=3x2+6ax+b

【详解】（1）由可得

因为/00=丁+34+加+/在『I时有极值°,

/'（T）=0]3-6〃+6=0[a=1[a=2

所以1/（T）=0,即（一1+3°_6+/=0,解得，6=3或1方=9,

当°=1,6=3时，/'（x）=3x2+6x+3=3（x+l）220,

函数/（x）在R上单调递增，不满足在x=-l时有极值，故舍去，

当。=2,6=9时满足题意，所以常数a,b的值分别为。=2,6=9,

所以/。)=1+6，+9》+4

(2)由(1)可知〃3=》3+612+"一加+5,

/(%)=3g+©+3)=3(%+1)(%+3)

令"(x)=°,解得%=T,苫2=-3,

...当x<-3或工〉-1时，刀(工)>0,当_3Vx<-1时，〃(工)<0,

“(X)的递增区间是(一8,一3)和(-1，+°°),单调递减区间为(TT),

当x=-3时，〃(x)有极大值-m+5；当x=T时，"(X)有极小值1-机，

J-m+5>0

要使函数'(X)有三个零点，则须满足1-加<°,解得1<加<5.

18.(1)0

(1]

-00,一

⑵I2」

【分析】(1)把。=°代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而

可求最值；

(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.

【详解】(1)当。=。时，/(x)=e'-xT,/'(x)=e'-1,

当x<0时，/‘(x)<0,函数单调递减，当x>0时，，中)>°,函数单调递增，

故当》=。时，函数/(X)取得最小值

(2).../'(x)=e*-2ax-l,

令g(x)=eX-2ox-l,xN0,则g，(x)=ex_2a,

①当"一5时，8'(»°,函数8(》)在[()，+8)上单调递增，g(x"g(O)=O,即-(x)NO,

所以/(X)在血+“)上单调递增，/0)"(°)=°,满足题意；

②当时，由g'(x)=°可得In。。)，

当xe(O/n2a)时，g'(x)<°,函数g3在(0朋2。)上单调递减，

当xe(ln2a,+co)时，g'(x)>0,函数g(》)在(山2凡+与上单调递增

当xe(O,ln2a)时，g(x)<g(O)=。即/'(x)<0,"x)在(0,ln2a)单调递减，

£

所以=与/(x)川恒成立矛盾，故">5不符合题意.

(「

—8,一

综上可得，。的范围为I2」.

方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数y=的定义域；(2)求导数y'=7'(x),令

/'(x)=°,解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用/(X)的定义域和实根把函数

/(X)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定了'(X)在各个区间内的符号，根据符号判定函数

在每个相应区间内的单调性

----------------,+00

19.(1)-4；(2)答案见解析；(3)L<

【分析】(1)由题意结合极值的概念可得/(2)=°,解得。=-4后，验证即可得解；

，/、(x-l)(2x-tz),八、

g(x)=------------(x>0)

(2)求导得x,按照aW°、°<。<2、a=2、°>2分类讨论，求

得g'(x)>°的解集即可得解；

(3)转化条件得(Xi+x2)2_3(X]+X2)=2X]X2_21n(xF2),令/=再迎,

。⑺=2/21n®>0),求导确定夕⑺的单调性和值域即可得解.