逻辑学导论（第5版）课件 第四章 谓词逻辑

谓词逻辑第四章

命题逻辑刻画复合命题的逻辑性质及其推理关系，词项逻辑刻画直言命题的逻辑性质及其推理关系。它们各自都有很强的处理推理的能力，能够判别相应范围的推理究竟是有效还是无效。不过，它们各自都有自己的局限性，例如：第一，它们都不能处理关系命题及其推理。第二，它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。第三，它们都不能处理多重量化，即量词结构里面还含有其他量词的语句及其推理关系。第四章

谓词逻辑第一节

个体词

性质谓词

量词和公式第四章

谓词逻辑一、个体词个体词就是表示对象域中的个体的符号，包括个体变项和个体常项。个体变项使用小写字母x，y，z……表示某个特定范围内的某个不确定的对象。个体常项使用小写字母a，b，c……表示某个特定范围内的某个确定的对象。第四章

谓词逻辑二、一元谓词和性质原子公式逻辑学家所关注的是为各种具体谈论所共有的模式，所以，他们所关注的不是特定个体，而是个体变项；也不是具体谓词，而是谓词符号，用大写字母F，G，R，S……表示，目前限定：只把这些谓词符号用于单个的个体词，叫作“一元谓词符号”。一元谓词符号表示个体的性质。第四章

谓词逻辑如果一个谓词符号后面跟着写在一对括号内的一个个体词(个体常项或个体变项)，我们就得到最初的也是最基本的公式，叫作“原子公式”，例如F(a)、G(x)，它们分别表示“a是F”“x是G”。显然，随个体域的不同，a、x可以代表不同的对象，F、G也可以表示不同的性质。在这种形式之下，它们代表了某个句子模式或框架，本身没有真假可言，但如果对其中的个体词或谓词做具体的解释，例如，令“a是F”表示“北京是中华人民共和国的首都”，“x是G”表示“某个自然数是偶数”，前者就有确定的真假。而后者如果确定了x究竟指称哪个自然数，也有确定的真假。于是，原子公式也有两个可能的真值：真，假。第四章

谓词逻辑三、量词和量化公式第四章

谓词逻辑量词有其管辖的范围，简称“辖域”。分两种情形：(i)如果一个量词后面无括号，该量词后面最短的公式就是该量词的辖域。(ii)如果一个量词后面有括号，则处于括号内的公式是该量词的辖域。第四章

谓词逻辑四、自然语言中性质命题的符号化与词项逻辑对直言命题做主谓式分析不同，谓词逻辑把直言命题形式上的主词和谓词都变成谓词，另外找出了逻辑主词，即个体变项x、y、z等。在不限定论域，即论域为全域时，6种直言命题可分别以如下方式符号化：1.全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑3.单称的直言命题应符号化为原子公式。例如，“《春江花月夜》是一支中国古代名曲”可以符号化为：F(a)读作：“a是F”，其中“a”代表《春江花月夜》，“F”代表“一支中国古代名曲”。又如，“周作人不是一位有民族气节的人”可以符号化为：┑P(b)读作：“b不是P”，这里“b”代表周作人，“P”代表“一位有民族气节的人”。第二节

关系谓词重叠量化二元关系的性质第四章

谓词逻辑一、关系谓词

量词的重叠

重叠量化式在日常语言中，把断定个体之间具有某种关系的命题叫作“关系命题”。关系命题包括三个要素：个体词、关系谓词和量词。个体词是表示具有某种关系的对象的语词关系谓词是表示对象之间所具有的关系的语词第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑二、自然语言中关系命题的符号化有了一阶语言之后，我们可以把例5中的三个关系命题依次符号化为：(1′)S(e，m，c，c)(2′)L(a，b)(3′)P(a，x，c)显然，个体变项和个体常项的次序是十分重要的，R(a，b)表示a与b有R关系，而R(b，a)则表示b与a有R关系，这两者的不同就像“2<3”和“3<2”的不同一样。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑三、二元关系的逻辑性质

排序问题不同的关系有不同的逻辑性质。这里主要考虑二元关系的逻辑性质，即关系的自反性、对称性和传递性：(1)一关系R是自反的，当且仅当，对任一x而言，x与它自身有R关系，即∀xR(x，x)。(2)一关系R是对称的，当且仅当，对任一x和y而言，如果R(x，y)，则R(y，x)，即∀x∀y(R(x，y)→R(y，x))。第四章

谓词逻辑(3)一关系R是传递的，当且仅当，对任一x、y和z而言，如果R(x，y)并且R(y，z)，则R(x，z)，即∀x∀y∀z(R(x，y)∧R(y，z)→R(x，z))。第四章

谓词逻辑第三节

模型和赋值普遍有效式第四章

谓词逻辑一、模型和赋值一阶语言L的一个模型M包括下列因素：(1)个体域D，即由具有一定性质的个体所构成的非空集合。当给定个体域之后，L中的全称量词∀x表示个体域中的所有个体，存在量词∃x表示个体域中的某些个体。由此，全称量词、存在量词和约束个体变项的意义都确定了。(2)个体域D上的一个解释函数I，它把L中的个体常项c解释为D中的某个特定个体，记为I(c)，并且把L中的一元谓词符号解释为个体域D中个体的集合，把n(n＞1)元谓词符号解释为D中个体的n元有序组的集合。更通俗地讲，I先把一元谓词符号解释为D中个体的某个性质，然后再把该性质解释成D中具有那个性质的那些个体的集合；并且把n(n＞1)元谓词符号解释为D中n个个体间的关系，再把该关系解释成具有该关系的那些个体的有序组的集合。第四章

谓词逻辑一个模型M加一个对自由变项的指派ρ合称为一个赋值σ，故σ=〈M，ρ〉。在赋值σ下，一阶语言的任一个体词t或任一公式A都获得了确定的值，我们用σ(t)和σ(A)表示t或A在赋值σ下的值。由于公式的值是真值，我们用{T，F}代表真值集，其中T代表真，F代表假。于是，任一公式A在赋值σ下的值σ(A)可递归定义如下：(1)σ(F(t1，…，tn))=T，当且仅当，〈σ(t1)，…，σ(tn)〉∈(F)σ。即是说，在D中σ(t1)，…，σ(tn)具有(F)σ关系。(2)σ(┑B)=T，当且仅当，σ(B)=F。(3)σ(B∧C)=T，当且仅当，σ(B)=σ(C)=T。(4)σ(B∨C)=T，当且仅当，σ(B)=T或者σ(C)=T。第四章

谓词逻辑(5)σ(B→C)=T，当且仅当，σ(B)=F或者σ(C)=T。(6)σ(B↔C)=T，当且仅当，σ(B)=σ(C)=T或者σ(B)=σ(C)=F。(7)σ(∀xiB)=T，当且仅当，对每一个与σ是i等价的赋值σ′，σ′(B)=T。这里，两个赋值σ和σ′是i等价的，指对于每个j≠i，都有σ(xj)=σ′(xj)。即是说，赋值σ和σ′除可以对个体变元xi指派不同的值(即σ(xi)和σ′(xi)可以不同)以外，对其他任何个体变项，σ和σ′都指派相同的值。(8)σ(∃xiB)=T，当且仅当，有与σ是i等价的赋值σ′使得σ′(B)=T。第四章

谓词逻辑二、普遍有效式第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第四节

普遍有效式的判定问题第四章

谓词逻辑所谓“判定方法”是指该方法满足下列条件：(1)可操作的，即它告诉你在做了某一步之后，下一步如何做；(2)可在有穷步内结束的；(3)结束时可得到唯一确定结果的；(4)适用于某个范围(如命题逻辑或谓词逻辑)内的任一公式。第四章

谓词逻辑一、树形图方法谓词逻辑的树形图是命题逻辑的树形图的扩充，我们将之称为“一阶树形图”。在一阶树形图中，命题逻辑中原有的关于联结词的9个画图规则仍然有效，另有关于全称量词∀x和存在量词∃x的4个画图规则。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑二、证明非普遍有效性的方法要一般地判定任一谓词逻辑公式是否普遍有效，这是非常困难的。但是，要证明这样的一个公式不普遍有效，或者是可满足的，却要简单得多。这与谓词逻辑公式的解释相关，亦称“解释方法”或“模型方法”。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第五节

谓词逻辑的自然推理第四章

谓词逻辑从一阶语言L可以看出，谓词逻辑比命题逻辑真正多出来的东西就是量词，因为如果没有量词，任一原子公式，比如说F(x)和R(x，y)，都可以与命题变项同等看待，原子公式通过联结词所组成的复合公式，也相当于命题逻辑的复合公式。量词的引入对于谓词逻辑具有关键性意义，谓词逻辑因此被叫作“量词的逻辑”或“量化理论”。第四章

谓词逻辑一、QN推理规则谓词逻辑自然推理QN是命题逻辑自然推理PN的扩充，即是说，所有PN的规则都是QN的规则；所有已经证明的PN定理和导出规则，都是QN的定理和导出规则，故在证明或推演中可以直接使用它们，无须另外证明，但反之不然。第四章

谓词逻辑有必要先重申一下关于证明或推演的书写约定：(1)一开始就分行列出所有给定的前提，并在每个前提公式的右边标明它们是前提。(2)如果要引入假设，最好一开始就引入所有假设，并在每个假设的右边标明它们是假设。(3)每列出一个假设，就把它向上一个公式的右边推移一个空格。(4)以后每列出一个公式，就在该公式右边注明它是从上面哪个或哪些公式使用什么推理规则得到的。第四章

谓词逻辑(5)在一假设下根据∧+、∧-、∨+、∨-、→-、↔+、↔-、∈、∀-、∀+、∃-和∃+得到的公式，都与该假设对齐，表示它们全都依赖于该假设和它前面的假设。(6)如果一个公式是通过使用→+、┑+、┑-得到的，则让它“进位”，即与它上面的倒数第二个假设对齐，表示它不依赖于它上面的倒数第一个假设，该假设及其下面的公式都被解除了；但它仍依赖于倒数第二个假设及其以前的假设。(7)我们在一推演的左边画一垂直线，表示该推演的起讫，并在一垂直线的顶端置一小圆圈，表示右边的公式是假设。第四章

谓词逻辑我们陈述和解释如下4个量词规则：第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑3.存在量词消去规则，记为-规则：从∃xA(x)可以推出A(α)，这里要求：(i)α是先前没有出现过的特指常项；(ii)如果公式A含有x之外的自由变项y，应该用该特指常项给y做下标，写成yα。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑二、QN定理及其证明第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑三、QN有前提推演QN有前提推演，是指从给定的有关量词的前提，推出给定的有关量词的结论。这与前面的定理证明本质上是一回事，只不过定理证明是无前提的推演，也许稍难一点。在做有前提推演时，允许使用QN定理，因为我们在应用谓词逻辑去处理日常思维中涉及量词的推理。下面做四个有前提推演，其中三个给定的是一些文字，必须先把它们符号化为谓词逻辑公式，然后再进行推演；另一个给定的是一些公式。第四章

谓词逻辑［例20］没有一个华盛顿的追随者喜爱任何独裁者，任何华盛顿的追随者喜爱至少一个林肯的追随者，并且华盛顿确实有追随者，所以，有的林肯的追随者不是独裁者。第四章

谓词逻辑第四章

谓词逻辑第六节

等词理论和摹状词分析第四章

谓词逻辑一、等词理论鉴于等词“=”在数学中和在自然语言中被普遍使用及其重要性，我们把它加进一阶语言L中，得到一阶语言的一个扩充L=。我们在公式的意义中新增一条：如果t和s都是项，则(t=s)是公式。第四章

谓词逻辑下面的公式刻画了等词的一些特征性质：T1.自反性：∀x(x=x)T2.对称性：∀x∀y(x=y→y=x)T3.传递性：∀x∀y∀z(x=y∧y=z→x=z)T4.∀x∀y(x=y→(Fx→Fy))T5.∀x∀y((Fx↔

Fy)→x=y)第四章

谓词逻辑这里，T4是莱布尼茨提出的“同一不可分辨原则”：若x与y同一，则x具有什么性质y就具有什么性质；T5是莱布尼茨提出的“不可分辨者同一原则”：若没有任何性质F能够把x和y区别开来，则x与y同一。第四章

谓词逻辑二、摹状词分析摹状词通常被分为两类：非限定摹状词(简称“不定摹状词”)和限定摹状词。在具有定冠词的语言中，限定摹状词的结构是：定冠词+形容词组+单数普遍名词第四章

谓词逻辑本章概要53

谓词逻辑把一个简单命题解剖为个体词、谓词、量词、联结词等成分，其中量词发挥着核心作用，所以，谓词逻辑亦被称为“量化逻辑”“量词理论”。

个体词包括个体变项和个体常项。若一个谓词符号后面跟有写在一对括号内的适当数目的个体词，叫作原子公式。可以给原子公式前面加量词，得到量化公式。原子公式、量化公式还可以用联结词组合成更复杂的公式，这些复合公式前面还可以加量词，得到重叠的量化式。量词有辖域，量词后面的最短公式构成该量词的辖域。处于某量词辖域内、与该量词所含变项相同的个体变项被该量词所约束，叫作约束变项，否则叫作自由变项。一个不含任何自由变项的公式叫作闭公式，一个含有至少一个以上自由变项的公式叫作开公式。思考题541.现代逻辑的“语言”概念(一组初始符号加一套形成规则)与日常思维中的“语言”概念有何异同?各有什么优势或弱点?更具体地说，现代逻辑先纯语法地(纯形式地)刻画一个语言，然后用赋值(模型加指派)对该语言做语义解释，与日常语言相比，这种做法有什么优点或缺点?2.