专题05 解三角形在几何与实际中的应用【考点串讲】(原卷)

高中数学精编资源专题05解三角形在几何与实际中的应用知识点1三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体,一般可先由余弦定理得到等式,再由基本不等式求最值或范围,但是要注意“一正二定三相等”,尤其是取得最值的条件.2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称,或者角度有更细致的要求,用余弦定理和基本不等式难以解决,这时候可以转化为角的关系,消元后使得式子里只有一个角,变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边.知识点2边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下:(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有、、的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.知识点3实际测量中的有关名称、术语1、仰角与俯角:(1)仰角:在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角(2)俯角:在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角2、方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)3、方位角:从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角知识点4利用解三角形解决实际问题的方法步骤1、实际问题的解决方法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤(1)分析:理解题意,分清已知与位置,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型中;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.考点1角度与三角值的最值范围【例1】(2023春·云南·高一校联考阶段练习)记的内角,,的对边分别为,,,且,则的取值范围为()A.B.C.D.【变式1-1】(2023·全国·高一专题练习)在锐角中,角的对边分别为,.则的取值范围为()A.B.C.D.【变式1-2】(2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习)若的内角,,满足,则的最大值为______.【变式1-3】(2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考阶段练习)的内角、、的对边分别为、、,若.(1)求角的大小;(2)若角为锐角,求的取值范围.考点2边长与周长的最值范围【例2】(2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习)平面四边形ABCD中,,,则边AB长度的取值范围是________.【变式2-1】(2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习)在中,角,,的对边分别是,,,满足(1)求角;(2)若角的平分线交于点,且,求的最小值.【变式2-2】(2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求A;(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围.【变式2-3】(2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)在锐角中,分别是角所对的边,,且.(1)求;(2)若周长的范围考点3面积的最值范围【例3】(2023·高一课时练习)在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.若的外接圆的面积为,则三角形面积的取值范围是____________.【变式3-1】(2023春·山西·高一统考阶段练习)在中,内角所对的边分别为,且.(1)若,求角的值;(2)若外接圆的周长为,求面积的取值范围.【变式3-2】(2022春·广东肇庆·高一统考期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求△ABC面积的最大值.【变式3-3】(2022春·浙江绍兴·高一统考期末)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c(是常数),D是AB的中点.(1)若,求的值;(2)若且,求cosA的值;(3)若时,求△BCD面积的最大值.【变式3-4】(2022春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,并且.(1)求b的值;(2)若,求面积的取值范围.考点4三角形的中线问题【例4】(2023·高一单元测试)在中,,则边上中线长度为______.【变式4-1】(2022春·河南驻马店·高一统考期末)设中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为的边BC上的中线,且,,,则______.【变式4-2】(2023春·江苏南通·高一校考阶段练习)在中,,点D在边上,.(1)若,求的值,(2)若,且点D是边的中点,求的值.【变式4-3】(2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习)在中,角的对边分别为,且满足.(1)求角;(2)若为边的中点,且,,求的周长.【变式4-4】(2023春·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习)在中,已知,,,,边上的两条中线,相交于点P.(1)求的长度;(2)求的余弦值.【变式4-5】(2022春·福建泉州·高一统考期末)在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.三个内角的对应边分别为,且满足.(1)求角B的大小;(2)若D为边AC的中点,且,求中线BD长.注:如果选择多个方案分别解答,按第一个解答计分.考点5三角形的角平分线问题【例5】(2022春·天津河北·高一统考期中)在ABC中,,,∠A的角平分线AD的长为,则|AC|＝()A.2B.3C.D.【变式5-1】(2023春·全国·高一专题练习)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求C;(2)若a,b为方程的两个实数根,且C的角平分线交AB于点D,求CD.【变式5-2】(2022春·山东·高一山东师范大学附中校考期中)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,,.(1)求角B的大小及外接圆的半径R的值;(2)若AD是的内角平分线,当面积最大时,求AD的长.【变式5-3】(2023春·全国·高一专题练习)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC.(1)求角B的大小;(2)若,角B的角平分线交AC于D,且BD＝1,求的周长.【变式5-4】(2023春·全国·高一专题练习)已知△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,BD为∠ABC的角平分线.(1)求证:;(2)若且,求△ABC的面积.考点6三角形的垂线问题【例6】(2023春·全国·高一专题练习)在中,角的对边分别为,,,,设边上的高为,则=()A.B.C.D.【变式6-1】(2022春·海南省直辖县级单位·高一校考期末)在△ABC中,,,______.求BC边上的高.①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【变式6-2】(2023春·全国·高一专题练习)已知向量,定义函数.(1)求函数的最小正周期;(2)在中,若,且是的边上的高,求长度的最大值.【变式6-3】(2022春·全国·高一校联考阶段练习)已知a,b,c分别为的内角A,B,C所对的边,且.(1)求角C;(2)若,且AB边上的高为3,求边c.考点7多三角形问题【例7】(2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习)如图,在平面四边形中,若,,,,.(1)求B;(2)求证:.【变式7-1】(2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习)如图,在梯形中,已知,,,,,求:(1)的长;(2)的面积.【变式7-2】(2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习)如图,在平面四边形ABCD中,AB＝2,BC＝3,AC＝4,,BC⊥CD,E为AD的中点,AC与BE相交于点F.(1)求△ACD的面积;(2)求的值.【变式7-3】(2022春·广东佛山·高一校考阶段练习)如图,四边形中,.(1)求对角线BD的长:(2)设,求的值,并求四边形的面积.考点8测量距离问题【例8】(2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习)如图,在铁路建设中需要确定隧道的长度,已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是,及,则两点的距离为()A.B.C.D.【变式8-1】(2023春·广东东莞·高一校考阶段练习)如图,为了测定河两岸点与点间的距离,在点同侧的河岸选定点,测得,,,则点与点间的距离为__________m.【变式8-2】(2023春·河南·高一校联考阶段练习)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,2小时后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.海里B.海里C.海里D.海里【变式8-3】(2023春·河南·高一校联考阶段练习)小赵同学骑自行车从A地出发向东骑行了km到达B地,然后从B地向西偏南方向骑行了一段距离到达C地,再从C地向西偏北方向骑行了km到达D地,已知C地在A地东偏南方向上,则A地与D地之间的距离为()A.kmB.kmC.kmD.km考点9测量高度问题【例9】(2023春·全国·高一专题练习)国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动,如图所示,在操场上选择了两点,在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米,则旗杆的高度为()A.5B.C.10D.【变式9-1】(2023春·陕西西安·高一校考阶段练习)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱高度,某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为,沿向北偏东方向前进后到达处,在处测得水柱顶端的仰角为,则水柱的高度是()A.25mB.50mC.60mD.75m【变式9-2】(2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列为“世界文化遗产”.秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的,于1631年开始建造,用时22年,距今已有366年历史.如图所示,为了估算泰姬陵的高度,现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB,高约为50m,在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,则估算泰姬陵的高度CD为()A.75mB.mC.mD.80m【变式9-3】(2023春·天津武清·高一校考阶段练习)如图,中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高400m的M处(即),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高___________m.考点10测量角度问题【例10】(2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东,距离海里,灯塔C在A的北偏西,距离为海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向,则__________.【变式10-1】(2023春·陕西榆林·高一校考阶段练习)如图,两座相距的建筑物、的高度分别为、,为水平面,求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小.【变式10-2】(2023春·江苏常州·高一校考阶段练习)如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船【变式10-3】(2023春·全国·高一专题练习)如图,甲船A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28海里/时的速度航行.(1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船;(2)设甲船航行的方向为南偏东,求的正弦值.1.(2023·全国·高一专题练习)在中,若,,则C的取值范围是()A.B.C.D.2.(2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习)在非直角中,设角,,的对边分别为,,,若,是角的内角平分线,且,则等于()A.B.C.D.3.(2022秋·宁夏银川·高二校考期中)云台阁,位于镇江西津渡景区,云台阁坐落于云台山北峰,建筑形式具有宋､元古建特征.如图,小明同学为测量云台阁的高度,在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB,高为12,在它们的地面上的点M(B,M,D三点共线)测得楼顶A,云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°,在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°,则小明估算云台阁的高度为()(,,精确到1)A.42B.45C.51D.574.(2022春·贵州铜仁·高二统考期末)在中,若是边上的高,,则的最大值为()A.B.C.1D.5.(2023·高一单元测试)一艘海轮从处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B、C两点间的距离是()A.海里B.海里C.海里D.海里6.(2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习)如图,从无人机上测得正前方的峡谷的两岸,的俯角分别为,,若无人机的高度是,则此时峡谷的宽度是()A.60B.C.30D.7.(陕西省西安市2022-2023学年高一下学期3月阶段检测数学试题)在锐角中,内角,,所对的边分别为,,,若,,则的取值范围为______.8.(2022秋·陕西西安·高二长安一中校考期中)某教师组织本班学生开展课