云南省2024届高三学期3+3+3高考备考诊断性联考卷（二）数学试题（含答案与解析）

云南省2024届高三学期”3+3+3"高考备考诊断性联考卷（二）

数学试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

3+4i

1.记i是虚数单位，复数z满足4-3i,贝|]1号=（）

B.好C.

A.2出D.1

5

2.掷两颗均匀的骰子，则点数之和小于5的概率等于（）

1111

A.—B.—C.—D.-

181296

3计算：sin50sin80+cos50sinl70=（）

V3B.一走C.1

A.2D.——

222

4.已知函数/（%）为R上的偶函数，且当七,工2«-8，°），西力々时，〃石）75）>0,若

玉-x2

02

a=flogl3,Z2=/（0.5）,c=/（sinl）,则下列选项正确的是（）

\2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

5.如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何

体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2,则该“牟合方盖”内切球的体积为（）

A4后兀R2后兀r8?r”

9393

6.某学校高三年级男生共有M个，女生共有N?个，为调查该年级学生的年龄情况，通过分层抽样，得到

男生和女生样本数据的平均数和方差分别为），元和已知,=兀，则该校高三年级全体学生年龄

的方差为（）

A.+N2SfB.N[S；+N[S；

■M+Y-Nl+N2乂+小

7.己知抛物线C:/=4x的焦点为歹，过点尸的两条互相垂直的直线LI分别与抛物线C交于点A3

和。，石，其中点在第一象限，则四边形AD3E的面积的最小值为（）

A.64B.32C.16D.8

8.当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源、交通、信息通信等领域有关技术加速融

合，电动化、网联化、智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新

能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车

企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加20%（假设每

年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集

团销售新能源汽车的总利润约为（）参考数据：1.27土3.58,结果精确到0.1）

A.320.5亿元B.353.8亿元C.363.2亿元D.283.8亿元

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知函数/（X）=cos（2x+0）（O<0<71）的图象关于点成中心对称，则（）

A.”力在区间卜自上单调递减

B.在区间[-上有两个极值点

C.直线x=-'■是曲线丁=/⑺的对称轴

D.直线y=—X—1是曲线y=/(x)的切线

10.如图，直四棱柱ABC。—A与GD底面是梯形，A3CD,A3,80,43=30=44=1,

CD=2,P是棱。。的中点，Q在直四棱柱ABCD—4与GR的表面上运动，则()

若。在棱4。上运动，则QQ+PQ的最小值为一+3

A.

B.若。在棱Ci。上运动，则三棱锥A-BP。的体积为定值

C.若A£，PQ,则。点轨迹为平行四边形

若|GQ|=四，则Q点的轨迹长度为11+,j

D.71

11.已知定义在R上的函数"％)满足：/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且〃2)=—1,则下列说

法中正确的是()

A.八九)是偶函数

B./(%)关于点(2,-1)对称

设数列｛%｝满足an=/(〃)，则｛«„｝的前2024项和为0

10

D.可以是｝

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

x+]

12.已知集合A=},B=<x——>2k若且AU5wA,则实数〃的取值范围是

x-1

13.某宾馆安排A民C,D,E五人入住4个房间，每个房间至少住1人，且A3不能住同一房间，则共有

种不同的安排方法.(用数字作答)

14.己知4尻。,。是椭圆£:?+(=1上四个不同的点，且M(1,1)是线段A3,CD的交点，且

局\AM二\\C局M\:3,则直线AC的斜率为----------.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

lAA、1

15.在.A5c中，角ASC所对的边分别为且满足cos,[J3sinw-cos5)=5.

(1)求角A；

(2)D边BC上一点,DA-LBAf且皮)=4DC,求cosC.

16.已知函数/(x)=e"+〃,g(x)=ln%.

(1)若函数g(x)在X=1处的切线/也与函数/(X)的图象相切，求。的值;

(2)若/(x+a)2g(X)恒成立，求。的取值范围.

17.如图，在多面体ABCDE中，AACD=60,AC-AE—2CD—2,AE//CD,记平面ABE尸)平面

BCD=l,ABLI.

B

(1)若8在以AC为直径的圆上运动，证明：ABLBD；

(2)若N为线段AC的中点，求直线EN与平面ABD所成角的正弦值.

18.椭圆C：土+匕=1左、右焦点分别为片,B，点尸在椭圆C上运动(与左、右顶点不重合)，已知

43

月的内切圆圆心为延长交x轴于点儿T.

(1)当点P运动到椭圆C的上顶点时，求——-；

MM'

PM

(2)当点p在椭圆C上运动时，——；为定值，求APK心内切圆圆心M的轨迹方程；

MM

(3)点M关于x轴对称的点为N,直线耳M与为N相交于点Q,已知点。的轨迹为「，过点”(1,1)的

直线/与曲线「交于A,3两点，试说明：是否存在直线/,使得点〃为线段A3的中点，若存在，求出直

线/的方程；若不存在，请说明理由.

19.材料一：英国数学家贝叶斯(1701〜1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于

统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间

的关系.该公式为：设4,4，是一组两两互斥的事件，AA14=Q，且。(4)>。/=1，

2,.,n,则对任意的事件610(B)>0,有

P(A)P(B[A)=P(A.)P(B[A.),=1

P⑻力(”(川A)’2，，〃.

k=l

材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然

语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是L,

X”2，X"1，X”X,+1，,那么X,+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,,即

P(Xr+1|,Xr_2,Xz_pXz)=P(Xz+1|Xj.

请根据以上材料，回答下列问题.

(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比

3%,其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是

W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)

(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编

号从左至右为0/，,10,有一个小球在格子中运动，每次小球有巳的概率向左移动一格；有一的概率向

44

右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在

10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在。号格子，则客户获得一个纪念品.记《为

以下事件发生的概率：小球开始位于第i个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球

开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

3+4i

1.记i是虚数单位，复数z满足4-3i,则1刃=（）

A.2B.当C.75D.1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法法则得到Z=i，进而得到吃=—i，求出模长.

3+4i（3+4i）（4+3i）12+9i+16i+12i225i.

［详解】z=-------=------------------=-----------------2-------=——=1

L评用牛】4-3i（4-3i）（4+3i）16-9i25

故三=—i，故⑶=L

故选：D

2.掷两颗均匀的骰子，则点数之和小于5的概率等于（）

1111

A.—B.—C.-D.一

181296

【答案】D

【解析】

【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结

果.

【详解】抛掷两颗骰子所出现的所有可能结果有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个基本事件；

事件“抛掷两颗骰子，所得两颗股子点数之和小于5”所包含的基本事件有：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1)(3,1)(2,2)共6种,

故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是9=

366

故选：D.

3.计算：sin50sin80+cos50sinl70=（）

A,3B.一包C.1D.--

2222

【答案】A

【解析】

【分析】只需要通过诱导公式、两角和差公式即可得到答案.

【详解】sin50sin80+cos50sinl70=sin50cos10+cos50sinlO=sin（50+10）=^^，

故选：A.

4.已知函数/（x）为R上的偶函数，且当加马«—8,0）,%W%时，八二：2）>0,若

/、

a=flog,3,Z?=/（0.502）,c=/（sinl）,则下列选项正确的是（）

\2J

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.

【详解】当/々€（一8，°）时，/（石）—""）>（）,所以/（同在（—8,0）上单调递增；

玉一“2

又有“X）为R上的偶函数，所以“力在（0,+8）上单调递减.

由于我们有Iog23>log22=1=0.5°>0.5°2=0.55>0.49842K=（0.875）7=0.87>乎=sin>sin1>0,

即log23>O.502>sinl>0,故"log23）<f（0.502）</（sinl）.

（、

2

而〃=/logx3=/（-log23）=/（log23）,Z?=/（0.5°）,c=/（sinl）,故

I27

故选：C.

5.如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何

体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2,则该“牟合方盖”内切球的体积为（）

SHS

1守

.，

-!

A4V27TR2&兀「8兀4兀

A.------------U.--U.---

9393

【答案】D

【解析】

【分析】将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面

都相切，故可求得内切球半径，故得答案

【详解】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，

3

B

则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，

又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切,

故正方体的内切球内切于牟合方盖，

所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为1，

4冗

所以该“牟合方盖”内切球的体积为一.

3

故选：D.

6.某学校高三年级男生共有M个，女生共有N2个，为调查该年级学生的年龄情况，通过分层抽样，得到

男生和女生样本数据的平均数和方差分别为芭,马和S；，S；，已知%=/，则该校高三年级全体学生年龄

的方差为（）

A.NS+N2S；B.N[S；+N]S；

cD」^S；+」一S；

.乂+生乂+做.M+MM+N?

【答案】C

【解析】

【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案

【详解】学校高三年级男生共有N1个，所占比例为二，女生N?个，所占比例为,

2N2

故该校高三年级全体学生的年龄方差为：：S2=s；+(£-x)l+\fe+(x2-x)

当司=兀时，元=W=兀，S2=U^S；+R^S；,

故选：c

7.已知抛物线C:/=4x的焦点为歹，过点尸的两条互相垂直的直线/”4分别与抛物线C交于点A3

和。，石，其中点在第一象限，则四边形AD3E的面积的最小值为()

A.64B.32C.16D.8

【答案】B

【解析】

【分析】设直线4的方程为y=z(x—1),联立v1U；一°，利用弦长公式求得|4闿，同理求得

、yx

\DE\,从而得出四边形AD3E的面积，再由基本不等求其最小值.

【详解】依题意，/(1,0),直线4的斜率存在且不为0,设其方程为丁=左(％-1),

,y=L（x-1）

由得左2l2一Q左2+4卜+左2=0,显然A〉O,设)、§(%,%)，

9=4%

一4।।

%+/=2+,|ABy=玉+%2+2=4,而同理同=40+/）,

四边形ADB后的面积S=—|AB|-|DE|=8^2+^2+正432.

当且仅当左=±1时，四边形ADBE的面积取得最小值32.

故选：B

8.当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源、交通、信息通信等领域有关技术加速融

合，电动化、网联化、智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新

能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车

企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加20%（假设每

年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集

团销售新能源汽车的总利润约为（）参考数据：1.27土3.58,结果精确到0.1）

A.320.5亿元B.353.8亿元C.363.2亿元D.283.8亿元

【答案】B

【解析】

【分析】先求得每辆车的利润｛4｝和该汽车的销量｛么｝的表达式，故可得

S=100000X1.2^X（0.2«+1.8）,再结合错位相减法可求得答案

【详解】设第九年每辆车的利润为生,万元，则每辆车的利润｛4｝是以2为首项，0.2为公差的等差数列，

所以4=0.2〃+1.8,设第〃年新能源汽车的销量为2辆，

则该汽车的销量｛%｝是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以A=100000XL2"T,

设该车企销售新能源汽车的总利润为S,，S=100000X1.2"T><（0.2〃+L8）,

.•.S=100000X（2+2.2X1.2+2.4X1.22+2.6X1.23+2.8X1.24+3X1.25+3.2X1.26）@,

1.2S=100000x（2xl.2+2.2xl.22+2.4xl.23+2.6xl.24+2.8xl.25+3xl.26+3.2xl.27）,②

①一②得.-0.2S=100000x［2+0.2x(1.2+1.22+1.23+1.24+1.25+1.26)-3.2xl.27］

f12-127

=100000X2+0.2X-——------3.2X1.27=100000x(0.8-2.2xl.27),

LI「I?J

所以S=500000x(2.2xl.27-0.8)»3538000万元，即S笈353.8亿元，

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(X)=COS(2X+0)(O<0<71)的图象关于点［三,。)成中心对称，则()

A.7(%)在区间上单调递减

B.7(%)在区间［-］彳］上有两个极值点

C.直线x=—2是曲线y=/(x)的对称轴

D,直线y=—X—4是曲线y=/(x)的切线

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断A；根据极值点的定

义即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.

2兀7E

【详解】由题意得:所以---\-(p=kii+—,kGZ

32

TT5兀

即"二----卜kn,kEZ,又0<。<兀，所以9=——

66

cos2V,

故/(x)=

ITr/c兀71、1c5兀5兀兀

对于A,当％<0,二时，2x+—G

I12J6I6

所以/(%)在二兀］

上是单调递减，故A正确;

7171,八5兀兀7兀

对于B,当xe时，2元H-----€

2,66~6'~6

由余弦函数的图象知：有两个极值点，故B正确;

,__.7T._5兀2兀

对于C,当x=-----时，2xH-----=—

1263

所以直线x=-1不是曲线y=/(x)的对称轴，故C不正确;

对于D,/'(%)=-2sinf2x+^j,

令尸(%)=_2sin[2x+^=-1,得sin12x+g>

2

JI

从而得：x=E或x=-§+左兀,左£Z,

所以函数y=/(x)在点［0,—母］5兀

处的切线斜率为左=y［n=-2sin—=—1

卜=06

切线方程为：y+^=-(x-0).即y=—x—岑，故D正确.

故选：ABD.

10.如图，直四棱柱ABC。—A与的底面是梯形，ABCD,43=80=44=1,

CD=2,P是棱。。的中点，。在直四棱柱ABC。—44G2的表面上运动，则()

17r-

A.若。在棱4。上运动，则GQ+尸。的最小值为1+企

B.若。在棱上运动，则三棱锥A-BP。的体积为定值

C.若AG，PQ,则。点轨迹为平行四边形

D.若|GQ|=JL则。点的轨迹长度为“+芋）

71

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合棱柱其结构特征，体积的运算，点轨迹逐一分析各选项可得答案

【详解】由题意可得，。=。。=；将平面片。°和平面。

40,4449411，

沿直线42展开，如图2,在..。。］尸中，qDi=2,DiP=g,

■Ycc13兀17/-

——2x2x—xcos—=----卜,

u)244

则QQ+PQ的最小值为栏+0,故A错;

GAAB,G。U平面ABP,ABU平面ABP.CXDX,平面ABP,

即G2到平面A3P的距离为定值，即三棱锥的高〃为定值,

又为定值,

所以匕.BPQ=%—A3尸=§SABPh为定值,故B正确;

如图3,连接AG，

取棱的中点分别为G,H,尸，取线段。〃的中点为E，连接PE,

因为AC】在平面CDRG内的投影为HG，"G，PE,由三垂线定理可得，Aq±PE,连接4。一

？

AG，A2，AG,朋」4G，平面4。94，，4。1在平面的)。14内的投影为441，441々，

由三垂线定理可得，Aq1PF,连接GE,GE,

则AC,，平面PEGF,:.Q点的轨迹为平行四边形PEGF,故C正确；

|GQ|=J5,如图4,以G为球心，血为半径作球，

则Q点的轨迹即为该球与直四棱柱各面截球所得的弧，

在线段CO］上取一点M,使得GM=J5,CD上取一点N,使得CN=1,

则GN=3,平面截球得AM，长度为：X0=亨，平面CDAG截球得MN，

长度:义行=字,。］与，平面AB44，GA=C］6=四,.•.平面截球得AB,长度为

71171

—X1——,

22

7TTT

同理可得，平面A3CD截球得知V，长度为5义1=万，平面A。。14与球相切与点4，

则。点的轨迹长度为1+号兀，故D正确.

故选：BCD.

11.已知定义在R上的函数八％)满足：f(x+y)+f(x-y)^2f(x)f(y),且”2)=—1,则下列说

法中正确的是()

A.”力是偶函数

B./(%)关于点(2,叫对称

C.设数列｛%｝满足an=f(n),则｛an｝的前2024项和为0

D可以是!

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：令x=y=0,解得/(0)=1,再令x=0结合偶函数定义分析判断；对于B：分析可知

了(%)是以4为周期的周期函数，关于直线x=2对称，进而可得结果；对于C：结合周期性分析运算；对

于D：举例说明即可.

【详解】因为/(%+y)+/(x—>)=2/(力/(丁)，且/(%)的定义域为R,关于原点对称，

对于选项A：令x=y=0,则2〃0)=2〃⑼，解得"0)=0或"0)=1,

若/(0)=0,令y=。时，/(x)+/(x)=2/(X)=2/(X)/(0)=0,

这与/(2)=—1矛盾，故/(0)=1,

令x=0,贝心)+/(r)=2〃0)/(y)=2/(y),

即/(—y)=/(y)，可知"％)是偶函数，故A正确；

对于选项B：当x=y=l时,/(2)+/(0)=/(2)+1=2/(1)/(1)=0,故/⑴=0,

当y=l时，/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l)=0,

即/(l+x)=—/(x—l),则/(x+2)=—“X),

所以〃x+4)=-〃x+2)=〃x),故"X)是以4为周期的周期函数，

又因为“X)是偶函数，可得/(x+4)=/(x)=/(一%),

可知关于直线x=2对称，则/(3)=/(1)=0,

若"％)关于点(2,-1)对称，则/⑶+/⑴=—2,

这与/(3)=/。)=。矛盾，故B错误；

对于选项C：若4=/（〃），则4是周期为4的周期数歹U,

又因为6+4+/+。4=2/（1）+f（2）+f（0）=0,

且2024=4x506,所以区,的前2024项和为0,故C正确；

对于选项D：令丁=%,则〃2x)+/(O)=2/(x),BP/(2X)=2/2(X)-1,

可设〃x)=cos]x,经检验可知原条件均成立，

“工一,「10、107157rlM十"

此时有外W|=cos-^-Xj=COS&-=J,故D正确；

X.JJJ乙J乙

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根

据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4=｛引%之。｝,8=>2[,若AC5N0且AUBHA,则实数。的取值范围是

【答案】。,3]

【解析】

【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合8,结合集合交集、并集的定义，即可求解.

龙+]

【详解】由——22得：1＜无43,

X-L

所以5=｛疝＜%＜3｝,

因为AC5N0且AUBHA,

所以ae（l,3].

故答案：（1,3].

13.某宾馆安排A5CRE五人入住4个房间，每个房间至少住1人，且A3不能住同一房间，则共有

种不同的安排方法.（用数字作答）

【答案】216

【解析】

【分析】根据5个人住4个房间，每个房间至少住1人，则有一个房间住两人求出满足条件的方法种数.

【详解】5个人住4个房间，每个房间至少住1人，则有一个房间住两人，

C}A：—A：=216（种）.

故答案为：216.

22

14.己知是椭圆E：上+上=1上四个不同的点，且M（1,1）是线段A瓦CD的交点，且

43

慝=!|"=3,则直线AC的斜率为.

\BM\\DM\

3

【答案】一—##-0.75

4

【解析】

\AM\

【分析】设《冷乂）^^,%），“七，于），。^，”），由=3,AM=3MB,结合向量坐标运算表示

\BM\

4—%]

x2

出＜，代入到椭圆的方程，再由点差法和斜率公式求解即可.

4-Ji

为

3

\AM\

【详解】如图，设4&,%）,5（々,%），。（%3，%），。（5，，4），网=3,故

4-玉

‘1—七=3（々-1）,，

=3：；贝"4-y，又4（%，%），5（/，%）都在椭圆上，

12，卜2=/

故,+?=1，且;（4一%）2+*4-％）2=9,

两式相减得：!（4-2xI）x4+1（4-2y1）x4=8,

即1（2—xj+g（2—yj=l,且把该式记为①，

同理可得：；（2—X3）+；（2—%）=1，且把该式记为②，

故由②-①得：：（玉一七）+；（乂一%）=0,所以②c=

3

故答案为：一二

4

【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理分析给定的条件，然后运用点差法，得到所要

求的斜率即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，角AB,C所对的边分别为且满足cos：]_

2

（1）求角A；

（2）D为边BC上一点,DA-LBA^且皮）=4。。，求cosC.

【答案】（1）—

3

⑵茎

7

【解析】

【分析】（1）利用给定条件结合二倍角公式得到WsinA-94±1=J_,再根据同角三角函数化简运算

222

得到sinA-巳=1,求解角度即可.

（2）先利用正弦定理求c=2/7,利用余弦定理求。=，%，再利用余弦定理求解即可.

【小问1详解】

1，曰/?.AA2A1

—,＜：V3sin—coscos一

22222

日口石.4COSA+11A/3..1.1日八兀

BP-^―sinA---------=—，——sinA——cosA=1，BPsinA--=1.

22222I6J

又・0<A<7t,.1.A=—,则角A为—.

33

小问2详解】

易知NC4D=&—二=二，在一C4D中，

326

CD_bBD_c

由正弦定理得.兀―在.84。中，同理.兀-sin/AQR.

sin—sin—

62

又sin/ADB=sin/ADC,BD=4CD,代入得：c=2b,

根据余弦定理得a=Jb2+c2-2bccos—=sf/b,所以cosC=一厂=2s/j_.

V32ab7

16.已知函数/(x)=e"+a,g(%)=lnx

(1)若函数g(x)在X=1处的切线/也与函数/(%)的图象相切，求。的值；

(2)若/(x+a)2g(力恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)a=-2

(2)[-1,-Fw)

【解析】

【分析】⑴先求出g(x)在％=1处的切线方程y=x-l,求导/'(九)=e"令/'(x)=l,得光=0,故

函数/a)在％=0处的切线方程为y=x+l+a,利用这与>=尤-1重合，可以得到a=-2.

(2)不等式等价变形，左右两边同构一个函数/i(x)=e'+x,即不等式等价于〃(尤+aR〃(lnx),再证

明/z(x)=e、+x是单调递增函数，又把不等式等价于x+aNlnx,然后用分离参数法求函数最值，即可

得到结果.

【小问1详解】

g(x)=In%,g'(x)=-,即g⑴=0,g")=1,

，函数g(X)在X=1的切线/的方程为y-g⑴=g'⑴(X—1),

代入得切线/的方程为y=x-L

/(x)=e"+a,.,./'(%)=e",

由切线/的斜率为1，则令/'(%)=6%=1,解得：1=0,

由/(O)=l+a,则函数在％=0处的切线方程为y-/(0)=尸(0)(尤-0),

代入得：y=x+l+a,这与y=x-l重合，所以得a=—2.

【小问2详解】

由/(x+a)»g(x)恒成立，等价于+aNlnx恒成立，

即：e^"+尤+。2x+lnx恒成立，利用x+lnxne艮，+lnx，

则令〃(x)=e*+x,则h(x+d)>hQnx).

又，“(%)=》+1>0,r.&(x)在(0,+oo)上单调递增,

所以不等式h(x+a)>A(lnx)恒成立等价于x+a>lnx恒成立，

即a>\nx—x.

11-Y

令根(x)=lnx—x,所以初(%)二——1=---,

xx

因为当0<x<l时，m'(x)=上三〉0,所以相(X)在(°，1)上的单调递增，

X

又因为当x>l时，"Z'(x)=二<0,所以加(％)在(1，+8)上的单调递减，

所以加(x)max=lnl—l=T,即a2(InX-X)max=-1，

所以。的取值范围是：［—1,+8).

17.如图，在多面体ABCDE中，ZACD=60,ACAE^2CD^2,AE//CD,记平面ABEc平面

(1)若B在以AC为直径的圆上运动，证明：ABLBD；

(2)若N为线段AC的中点，求直线EN与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵智

【解析】

【分析】（1）只需证明A31平面⑷即可

（2）面A笫于点G,连接AG,又•.AECD,，AE，平面的.则ZEH4即为直线EN与平

面所成的角，在中求解即可.

【详解】（1）证明：如图，过点B作。＞的平行线，即为/.

理由如下：AE。。,4石匚平面4£5。a平面4£»,

CD，平面AEB.

又•.CDu平面5CD,且平面ABEc平面3CD=/,

ICD.

又AB±1,:.ABLCD.

又-3在以AC为直径的圆上运动，.•.A515C.

又・BCeCD=C,BC、CDu平面BCD,

」.AB1平面BCD,

Q3£>u平面5cD,

:.AB±BD.

(2)在1aAeD中，AC2CD=2,ZACD=60,/.ZADC=90,故CDLZM.

由(1)知：AB_LCD,ABcDA=A,AB、DAu平面ABD,

\CDA平面ABD,

又•.AECD,..AE,平面ABD

令ENcAD=H,则NEHA即为直线EN与平面ABD所成的角,

JT

ZEHA=——ZAEH,sinZEHA=cosZAEH,

2

在AAEV中，KN?=F+22—2xlx2xcosl20=7,

AE1+FN2-AN24+7-15a

・•・cosZAEH=cosZAEN=----------------------=----------=——,

2AE-EN2x2x7714

即直线EN与平面版所成角的正弦值为迎.

14

18.椭圆C：二+乙=1的左、右焦点分别为可，凡，点尸在椭圆C上运动(与左、右顶点不重合)，已知

43-

△尸耳心的内切圆圆心为延长交x轴于点儿T.

PM

(1)当点P运动到椭圆。的上顶点时，求——-；

MM

PM

(2)当点P在椭圆C上运动时，——；为定值，求心内切圆圆心M的轨迹方程；

MM

(3)点M关于x轴对称的点为N,直线耳加与玛N相交于点Q,已知点。的轨迹为「，过点H(L1)的

直线/与曲线「交于A3两点，试说明：是否存在直线/,使得点//为线段A3的中点，若存在，求出直

线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2

(2)x2+3y2=1("0)

12

(3)存在，y=-XH—

33

【解析】

【分析】(1)由△尸£鸟的内切圆圆M即为心的重心可得答案；

(2)延长交x轴于点设M'&0),由点M是△「月心内切圆圆心，结合相关代点可求

△PRF2内切圆圆心M的轨迹方程；

(3)设Q(九,y),结合由耳,吼。三点共线，由K，N,Q三点共线，在曲线

*+3丁2=1(丁/0)上，故可得点。的轨迹方程，再结合点差法可求得答案.