初中数学因式分解作业设计

聚焦核心素养优化作业设计

——“双减”背景下八年级数学上册《因式分解》单元作业设计

目录

单元信息..................................................1

单元分析..................................................1

单元学习与作业目标........................................2

单元作业设计思路..........................................3

课时作业..................................................3

第一课时作业..................................................3

第二课时作业..................................................6

第三课时作业..................................................9

单元质量检测作业.........................................12

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学八年级第一学期人教版因式分解

单元组

E1自然单元口重组单元

织方式

序号课时名称对应教材内容

1提公因式法第14.3.1(P114—115)

课时

2运用平方差公式分解因式第14.3.2(P116—117)

信息

3运用完全平方公式分解因式第14.3.2(P117—119)

4《因式分解》单元检测作业第14.3(P119—122)

二、单元分析

（-）课标要求

因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，本节介绍两种最基本的因式分解

的方法：提公因式法和公式法。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对因式分

解提出的教学要求是：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进

行因式分解（指数为正整数）。

（二）教材分析

1.知识网络

定义。把一个多项式式化成几个整式的积的形式的变形。如：

确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数

.提蕊

分两步：第•步找公因式；第二步提公因式

公式—'#-力=(0+6)(4

平方差公式:・提：提公内式।

:套：食公式；

步骤

检查多项式的因式分解有

没行分解到不能再分解为止

因式分解5■公式法。

-公式©^―|a±2ab+b1-(a±by

完全平方公式⑴要求”我仃了3

蛀占—（2）其中两项网号,H都一以一成某数

问忌——（或式）的平方.丹•项则是这两数或式

的乘枳的2倍.符号可正可负.

1.凶式分解。格式的乘法是

互为相反力响的恒等变形;

；境0―2.公因式,要提尽；

3.不要漏项；

4.提负号・要注点变号.

1

2.内容分析

《14.3因式分解》这一单元属于“数与代数”领域的内容。这一节主要学

习：因式分解的意义、两种分解因式的方法，即提公因式法、运用公式法(平方

差公式和完全平方公式)。学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是经历因

式分解这一代数式变形的过程，让学生从中体会分解的思想、形成逆向思考的能

力。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

本单元教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式

乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一

种“化归”的思想，而且也是解决后续一一分式的化简、解方程等一系列恒等变

形的基础，为数学交流提供了有效的途径。因式分解这一单元在整个教材中起到

了承上启下的作用。

(三)学情分析

从学生的技能基础看：在小学和七年级阶段，学生已经熟悉乘法的分配率及

其逆运算，在本章前两节，学生已经学习了整式的乘法运算。因此对于因式分解

的引入，学生不会感到陌生。为这一节的学习打下了良好的基础，

从学生活动经验基础看：由整式的乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维

过程。而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难。对于

较为复杂的多项式，寻求因式分解的方法是一个难点。对于因式分解必须进行到

每一个多项式因式都不能再分解为止，由于学生在此之前没有相关的经验，因而

在初学时，容易出错，是一个易错点。

因此，在教学和作业设计中应当注重使学生经历探究因式分解的方法的过程,

进一步发展学生的观察、发现、归纳、总结等能力。探索因式分解的方法，事实

上是对整式乘法的再认识，在作业设计中，要借助学生已有的整式乘法运算的基

础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空

间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，并能用符号合理

的表示出因式分解的关系式。如对“运用公式法”的学习，教师可以利用教材中

的问题或根据需要创设一个新的具有启发性的问题情境，鼓励学生通过独立思考

与讨论发现问题情境中的变形关系，并运用符号进行表示，然后再运用所学的知

识去解决相关的问题。在这一过程中，学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的

特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

三、单元学习与作业目标

(-)单元学习目标

1.经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体(整式乘法与因式分

解)联系。

2.了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全方公式(直接用公

式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)。

3.通过乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b;(a±b)2=a'±2ab+b和(x+p)(x+q)

=x+(p+q)x+pq逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发

2

2

展有条理思考及语言表达能力。

（-）单元作业目标

1.理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.会用提取公因式的

方法分解因式。

2.会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。

3.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点，掌握运用平方差公式分解

因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式。

4.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点，掌握运用完全平方公

式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式。

四、单元作业设计思路

1.保证基本的运算技能，避免繁杂的题型训练。

符号运算对于数学来说是必不可少的，运用提公因式法和公式法分解因式是

学习本单元内容的一个重要目标，由于因式分解在后面几章的学习中还可以继续

巩固，因此教学中要依据教材的要求，适当的分阶段进行必要的训练，使学生在

具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。

作业设计中要避免过多繁琐的运算，不追求试题数量和试题的难度（如直接

用公式不超过两次，指数都为正整数等）。

2.分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量3-

4大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题

量3大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：

作业财体系

哪性作业发展性作业

五、课时作业

第一课时（14.3.1提公因式法）

3

作业1(基础性作业)

1.作业内容

(1)下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是()

A.a(a+2)=a2+2aB.a2—b2-(a+b)(a—b)

C.m2+m+3=m(m+1)+3D.a2+6a+3=(a+3)2—6

(2)提公因式法分解因式

①8a3b2+12abc；②2a(b+c)-3(b+c)；

3

(3)已知x+y=8,xy=15,贝Ijx2y+xy2的值为.

2.时长要求(10分钟)

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB,BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题紧扣因式分解定义，同时完成对整式乘法的旧知整合，用对

比的方式让学生会辨别会应用，要求理解因式分解的概念，掌握因式分解与整

式乘法的区别，帮助学生提高发现问题、区分问题的能力，进一步巩固因式分

解的概念、促进相关联知识点的融合；第（2）题根据由浅至深原则设置两道因

式分解题，第①题属于提公因式法因式分解的基础题型，通过巩固找出最大公

因式的三个步骤，即定系数（公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数）、

定字母（字母取多项式各项中都含有的相同字母）、定指数（相同字母的指数取

各项中最低次数），达到让学生掌握基本技能的要求；第②题对学生的应用能力

提出进一步要求，达到能够灵活运用提公因式法因式分解的目标，认识到公因

4

式不仅可以是数字或单项式，也可以将相同的多项式看作一个整体进行提公因

式，锻炼学生转换思维、灵活变通，从而提高触类旁通解决延伸问题的能力；

第(3)题整合化简求值、整体代入等数学方法，并不需要如常规化简求值题那

样求出未知数的具体值后，代入化简后的式子，而是利用提公因式法将原式进

行因式分解，达到另一个层面上的化简含义，整体带入后即可得出结果，让学

生体会到数学运算并不是一成不变的，往往需要多方法综合运用，从而感受转

化思想、逆向思维等在解决数学问题中的重要性。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1)分解因式

①2(a-b)-4(b-a)；②y?(2x+1)+y(2x+1)?

(2)当a,b互为相反数时，代数式a'ab-2的值为()

A.2B.0C.-2D.-1

(3)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式由4%丽一^t'因式是x3,求另一个因式以及根的值.

解"个因麒精;—.

x24xmx

•n

nwDthi

解得

3〃m

故另一个因式为以7,机的值为-21.

仿照上面的方法解答下面问题：

已知二次三项式2/3%后有一个因式是2%5,求另一个因式以及攵的值.

2.时长要求(10分钟)

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

5

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题包含两道综合性因式分解题，要求在熟练掌握提公因式法因

式分解的基础上，认清不同形式的公因式，学会相应灵活变换，其中第①题需

要观察到两个点：一是对于公因式为多项式时需要把多项式看成整体，二是互

为相反数的式子可以通过符号变换变出现公因式。第②题考察学生对提公因式

法因式分解的深层理解及细心度观察力，体会因式分解要分解到式子不能再分

解为止；第（2）题涉及精准提取知识、局部因式分解、变换整体代入等方法，

对学生发现问题解决问题的能力提出了进一步要求，本题并非整体进行因式分

解，而是发现需要将a+ab-2含字母的项局部因式分解后，出现因式a+b,从而

将题中提取出的信息a：b=O整体代入得出结果。通过这样基本的引导式题型设

置，巩固了学生的基础知识和基本技能，也逐步渗透了数学常见的思想方法，

从而获得了较为深刻的学习体验；第（3）题考察学生阅读理解能力、主动思考

能力、思维拓展能力，通过新题型方法展示，让学生自主类比思考进行逻辑推

理，继而完成同类问题解决，在逐步使用新方法解题过程中，学生发现因式分

解是一种恒等变换，有了基于问题解决的基本活动经验，从而延展了思考的深

度、拓宽了思维的广度。

第二课时（14.3.2（1）公式法一运用平方差公式因式分解）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

（1）下列各式中，能运用平方差公式分解因式的是（）

A.x2+y2B.1—x2C.-x2一y2D.x2—xy

（2）因式分解：

①x2-9y2;②x3y-4xy3；

③2x4一：;④（2x—y）2—（4x+3y）2.

8

（3）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y,

a-b.2,x2-vax+y,分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，

现将2a（x2-y2）二2b（x2-y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美

2.时长要求（10分钟）

3.评价设计

6

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB,BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题考查的是利用平方差公式分解因式的基础知识，要求学生掌

握基本技能，即识别拥有怎样结构的式子能使用平方差公式进行分解因式，在正

确选项之外设置干扰项，让学生感受必须满足a2-b2的形式，才能运用平方差公

式分解因式，同时体会灵活变形对于数学的意义，如B选项中l-x2乍看不是a2-

b2的形式，但能变形为仔―x2后符合形式。本题关键在于引导学生熟悉平方差公

式的应用特点，获取基本活动经验，为后续应用打下基础；第（2）题共设置4道

因式分解题，遵循循序渐进、理论融合实际、跨学科情感态度表达等原则，第①

小题是平方差公式因式分解的初步应用，学生识别结构特点后简单变形就能用平

方差公式进行因式分解。第②小题发展单一知识点至串联知识点，融合前一课时

所学内容一一提公因式法因式分解，并引导学生感受因式分解的基本步骤一一首

步使用平方差公式因式分解受阻后，可尝试先提取公因式，然后再用平方差公式

进行因式分解。第③小题意图解决因式分解中一个常见问题一一学生在因式分解

时常常分解不彻底，需要用这样的易错题型加强学生思维缜密程度，带领学生深

刻感受因式分解的一般步骤，即一提二套三检查、分解务必要彻底。第④小题增

加整体思想在因式分解中的应用，体现数学知识间的串联和思维发散，引导学生

学习新知的同时不忘整合旧知，培养灵活运用能力，并逐步形成数学思想、建立

数学体系。从而体会数学学习模式不是固有的、一成不变的，所谓“学虽有法、

形无定式"；第（3）题带领学生充分感受数学吸引力，关注学生学习内驱力，数

学的魅力之一，是能将理论运用到实际，并用实践反哺真理，在趣味满满的“解

密”环节中，学生发现因式分解后的四个因式别对应爱、中、华、我四个字，破

解密码为爱我中华，促进了新知系统内化，培养了爱国情操。

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）^+b=4,a-b=1,贝&a+l）2—（b—1）2的值为.

（2）对于任何整数m,多项式（4m+5/一9都能（）

A.被8整除B.被m整除C.被m-l整除D.被2m-1整除

（3）已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-b2=ac-bc,试判断△ABC的形状.

2.时长要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题融入了代数式化简求值问题，同时让学生感受整体代入法及

合并同类项在因式分解中的应用，考察点进一步深入化复杂化，意在锻炼思维、

提升对重点知识的精准把控能力，在运用中学生完成从尝试使用到熟练会用的转

变，逐步对整体思想、化简求值、平方差公式因式分解等知识点进行综合梳理,

尝试融会贯通，打破思维定势；第（2）题题型较为新颖，帮助学生打破常规、

出其不意多角度思考问题，从而透过现象看到本质，本题在利用平方差公式进行

因式分解后，即可整理成含有常数因式的形式，就能迅速判断出正确答案。通过

对这类非常规题型的梳理，学生深切体会到数学题型的千变万化，但本质却万变

不离其宗；第（3）题秉承因材施教的教学原则，精准实施分层教学的教育理念，

对学有余力的学生进行适当拔高，有别于前面学过的普通因式分解方法，本题需

要使用一种较为复杂的因式分解方法一一分组分解，并融合了几何中的三角形三

8

边关系知识，渗透数形结合思想，深入地让学生体会到在遇到较为复杂的数学式

子后，需要另辟蹊径找到其他解题思路，对学生的综合思考能力、活学活用能力

有较高要求。

第三课时（14.3.2（2）公式法-运用完全平方公式因式分解）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

（1）把下列各式分解因式：

①f8x16②lx24盯4y2③2a24ab2b2

（2）利用因式分解计算：2

1981

（3）25a.kab16加是一个完全平方式，那么々之值为（）

A.40B.±40C.20±20

D.

2.时长要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题按照由简入难、由浅至深、由单一知识点过渡到综合知识点

的原则，设置3道难度递增的利用完全平方公式分解因式的题，第①小题意在

9

让学生进一步巩固所学基本知识，感受完全平方公式分解因式时的基本结构，

从而掌握解决问题的基本技能，从而为后续深入问题解决打下基础。第②小题

要求进一步提升自身能力，通过观察发现本题在因式分解前需提取负号，从而

使得括号中的式子满足用完全平方公式分解因式的基本结构，意在促进学生完

成从基本能用到熟练会用的转变，提高完全平方公式因式分解的能力。第③小

题将已学旧知提公因式的知识进行了融合，在直接使用完全平方公式因式分解

受阻后，发现提取公因式后，即可出现完全平方式的基本结构，问题迎刃而

解，旨在提高学生发现问题、分析问题、解决问题、利用多种方法因式分解的

能力；第(2)小题是因式分解在数学运算中的简便应用，需要学生从数字中分

辨出完全平方公式的基本结构才能进行正确解答，难度比前两题略高，要求学

生有更加熟练的解题技巧和分析问题的能力，随着实际问题的解决，学生感受

到数学应用形式多变，数学与生活息息相关，从而达到发展学生的情感态度与

价值观目标；第(3)小题是一道易错题，形式上回归完全平方公式自身，让学

生进一步对完全平方公式的基本结构加深认识，通过本题锻炼，学生对完全平

方公式因式分解的认识会更加全面，同时为今后初三学习配方法打下基础，虽

是回归基本形式，却又不是简单的回归，而是对完全平方公式的一次再认识、

再提高。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1)已知，炉一6xZ可分解为只关于x-3的因式，则k的值为0

(2)如图①，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，

并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图②所示

的长方形,则这两个图形能解释下列哪个等式()

②

A.x2-2x+l=(x-l)2B.x2-l=(x+l)(x-1)

C.x'+2x+l=(x+1)~D.x2-x=x(x-l)

(3)【问题提出】分解因式：x-120x+3456.

2

【问题探究】分析：由于常数项数值较大，则常采用将X-120X变形为差的

完全平方的形式进行分解，这样简便易行.

解：x2-120x+3456=x2-2X60x+602-602+3456=(x-60)-144=(x-

、，、2

60)-12=(x-60+12)(x-60-12)=(x-48)(x-72).

【拓展应用】通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：x-

2

140x+4875.

10

2.时长要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题是对完全平方公式因式分解的逆向综合运用，不仅考查学生

对于完全平方公式因式分解的基本技能掌握情况，还考查学生对于题目文字意

义的分析能力，只有准确把握题目的含义才能正确解题，此题的设置在于锻炼

学生实际问题中对于完全平方公式的运用，提高学生在实际问题中分析问题、

解决问题的能力，让学生通过实际问题操练，将分解因式的学习进一步内化成

学生自身的能力；第（2）小题秉承数形结合理念，渗透数学建模思想，设置为

一道图形题，解题过程需要学生在掌握图形的意义的基础之上，运用所学的分

解因式方法加以对照，发现数与形的联系后问题迎刃而解，本题出其不意的地

方还在于，新知完全平方公式法因式分解并非正解，而是作为干扰项出现在选

项中，非常具有迷惑性，意图打破学生思维定势，弓I导学生积极主动思考。这

道题的设置不仅锻炼了学生的读图能力、分析能力、综合能力，更重要的是考

查学生对完全平方公式因式分解真正掌握的程度，挣脱了按班就部的思维牢

笼，对学生的灵活运用能力提出了更高要求；第（3）小题是完全平方公式和平

方差公式进行因式分解的综合应用，同时涉及配凑法，数字较大也对学生正确

解题产生了一定的阻碍作用，考查了学生的读题能力、理解能力和自学能力，

对学生多角度多方法融会贯通能力提出了较高要