人教版中考二模测试《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题

1.下列各数中，最小的数是（）

A.0B.-2C.1D.一百

2.式子J7T2在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）

A.x>-2B.x>2C.x<2D.xW-2

3.若一个口袋中装有2个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”这个事件，下列说法正确是

（）

A.发生的可能性为！B.是不可能事件C.随机事件D.必然事件

3

4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

K勘B.R

5.已知某个几何体主视图和俯视图分别如下，则该几何体可能为（）

6.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人

共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车,

最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有X

辆车，则可列方程（）

A.3(x-2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

X-x-9x+9

C.—F2D.1-2=

322

7.从0,1,2,3这四个数中任取一个数记为。，则关于x的不等式（a—2）x>3（a—2）的解集为x<3的概

率是（）

111

A.-B.-C.-D.1

432

8.反比例函数y=H•的图象上有两点A（a—l,y）,3（。+1,必），若X<必，则。的取值范围（）

x

A.a<-\B.a>\C.-l<a<lD.这样的。值不存在

9.如图，半径为3的口。与五边形的边相切于点A，C,连接。4交6C于点，，连接08.若

ZD+NE=240°，HC=3BH,则口ABO的面积为（）

3

B.。石

A3后C.-73D.2G

24

10.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在

l+g+5+最■+&+…中，"…”代表按规律不断求和,设1+（+*+:+J+…=%・则有

「1111C

x=l+—x,解得x=2,故1+m+…=2类似地1+1■+¥■+于+…的结果为（)

2

496

--C-2

A.3B.85D.

二、填空题

11.计算的结果是.

12.据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省

市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如下表：

3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日

401824158112016

这组数据的中位数是.

21

13.计算一一+二一结果为.

a-1\-a

14.如图，在菱形ABCD中，过点A作分别交B£＞，BC于点E，H,尸为E£＞的中点,

15.已知二次函数丁=奴2+法_3（。70）的图象的顶点在第三象限，且经过点A（l,0）,则f的取

值范围为.

3

16.如图，在DABC中，NC=90°，点。为AC边上一点，ZABD=45°.tanZA=-,若3c=21,

4

则0c的长为

三、解答题

17.计算：（2x2^—x-x3-x4.

18.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZB=ZD，E是OC延长线上一点，连接4E,求证:

ZE=ZBAE.

19.某中学全体同学参加了“关怀贫困学生”爱心捐款活动，该校随机抽查了七、八、九三个年级部分学生

捐款情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图.根据图中的信息，解决下列问题:

Aft

4：捐款5元

8：拍款10元

C:捐款15元

。：指款20元

£捐款25元

捐款

金领（元）

（1）这次共抽查了名学生进行统计，其中。类所对应扇形的圆心角的度数为

（2）将条形统计图补充完整;

（3）该校有200（）名学生，估计该校捐款25元的学生有多少人？

20.横、纵坐标均为整数的点称为格点，如图，口的。的三个顶点A（2,l）,3（6,3）,C（3,3）均为格点,

上的点。（4,2）也为格点，用无刻度的直尺作图：

（1）将线段A。绕点A顺时针旋转90。，得到线段AE，写出格点E的坐标；

（2）将线段AE平移至线段CM,使点A与点C重合，直接写出格点M的坐标;

（3）画出线段AC关于CM对称的线段CH，保留作图痕迹.

21.如图，四边形A3C。内接于口。，AB=AC,N84O=90°，延长AO,8C交于点尸，过点。作□。

的切线，交BF于点、E.

EF5DF

22.受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，获利颇丰.已知A型，B

型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:

进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）

A型600900200

B型8001200400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对3型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降

低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每

天多销售x个，每天总获利的利润为N元

（1）求y与X之间的函数关系式并写出X的取值范围；

（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；

（3）该销售商决定每销售一个5型手写板，就捐。元给（0＜。＜100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当

30WXW40时，每天的最大利润为229200元，求。的值.

23.在口48。与△ABZ）中，ZDBA=NCAB,AC与BD交于点、F，

（1）如图1,若NDAF=/CBF,求证：AD=3C；

图1

(2)如图2,ZD=135°,ZC=45°,AD=五,AC=4,求BD长;

图2

(3)如图3,若NO84=18°,NO=108。，ZC=72%AD=1,直接写出08的长.

B

图3

24.如图1,己知抛物线丁=0?+法+。的顶点为「(1,9),与x轴的交点为A(—2,0),B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为x轴上方抛物线上的一点，例8与抛物线的对称轴交于点C,若/COB=2/CBO,求点M的

坐标；

(3)如图2,将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为丁=0?+以+〃，E，产是新抛物线在第一象

限内互不重合的两点，EG_Lx轴，轴，垂足分别为G,H,若始终存在这样的点£,F，满足

UGECWHOF,求〃的取值范围.

图2

答案与解析

一、选择题

1.下列各数中，最小的数是（）

A.0B.-2C.1D.-y/3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较.

【详解】最小的数是-2,故选8.

【点睛】本题考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法.（1）正实数都大于0,负

实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.（2）利用数轴也可以比较任意两个

实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

2.式子在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）

A.x>-2B.x>2C.x<2D.xW—2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件得出x+220,求解即可.

【详解】由题意知，x+2>0,

解得，x>-2,

故选A.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数为非负数.

3.若一个口袋中装有2个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”这个事件，下列说法正确的是

（）

A.发生的可能性为1B.是不可能事件C.随机事件D.必然事件

3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据概率公式求出从中摸出一个球是红球概率，然后利用随机事件的定义进行求解.

【详解】由题意知，P（从中摸出一个球是红球）=-

3

“从中摸出一个球是红球”是随机事件，

故选C.

【点睛】本题考查随机事件的定义，概率公式，如果A为随机事件，那么O<P（A）<1.

4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

"©。⑤D.®

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.

【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题

的关键.

5.已知某个几何体的主视图和俯视图分别如下，则该几何体可能为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据主视图与俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形，据此进行判断.

【详解】A、主视图是由长方形与三角形连接而成，俯视图是圆，不符合题意；

B、主视图与俯视图都是正方形，不符合题意；

C、符合题意；

D、主视图与俯视图都是三角形，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解题的关键.

6.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人

共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车,

最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x

辆车，则可列方程（）

A.3（x-2）=2x+9B.3（x+2）=2x-9

【答案】A

【解析】

【分析】

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出

等式即可.

【详解】设有x辆车，则可列方程：

3（x-2）=2x+9.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键.

7.从0,1,2,3这四个数中任取一个数记为。，则关于X的不等式（。一2）%>3（。一2）的解集为*<3的概

率是（）

I11

A.—B.—C.-D.1

432

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质得出。-2<0,然后利用概率公式进行求解.

【详解】由题意知，a—2<0,即a<2,

.,•满足题意的4有0,1,

.•.关于x的不等式（。一2）》>3（。一2）的解集为％<3的概率为；，

故选C.

【点睛】本题考查不等式的解集，概率公式，熟练掌握不等式的性质与概率公式是解题的关键.

8.反比例函数>=幺二1的图象上有两点A（a-l,y）,B（a+1,%），若X<必，则。的取值范围（）

x

A.a<-\B.a>\C.-l<a<lD.这样的a值不存在

【答案】C

【解析】

【分析】

由左2+i>。得出在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解.

【详解】•.•炉+1〉（），

...在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小，

：a-1<a+1,M<%，

•・•点A，8不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，

ci—1<0且a+1>（）,

；.一1<。<1,

故选C.

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数

的图象有两个分支.

9.如图，半径为3的□。与五边形ABCDE的边相切于点A，C,连接Q4交6C于点H,连接03.若

N£>+ZE=240°，HC=3BH,则口ABO的面积为（）

A.373B.c3百D.2G

4

【答案】C

【解析】

【分析】

连接0C,过点C,2分别作A0垂线，垂足分别为Af,N,根据五边形AOCQE的内角和与切线的性

质求出NAOC,解直角三角形求出MC,根据平行线分线段成比例求出8N,进而求解.

【详解】连接0C,过点C，B分别作A0的垂线，垂足分别为“，N,

ZAOC+ZOCD+ZD+ZE+ZOAE=540°，ZD+NE=24O。，

ZOAE=ZOCD=90°,

.-.ZAOC=120°,

.-.ZMOC=60°，

:.CM=—OC=-V3>

22

'.CMVAO,BN工AO,

:.CMHBN,

BNBH\

,CM-CH-3'

32

:.SAB°=gAOBN=X，

故选C.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了多边形的内角和，切线的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例,

巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

10.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在

1+]+要"++》+…中，"…”代表按规律不断求和，设1+/+了'+初+g=X.则有

尤=l+；x,解得x=2,故1+；+/+9+/+…=2.类似地1+"+"+"+…的结果为(

)

496

A.—B.—C.-D.2

385

【答案】B

【解析】

【分析】

设1+"+"+"+…=x,仿照例题进行求解.

【详解】设1+最+(+5+.-=%，

,111,1111、

则1+三+寸寸…铲+*+/

,1

/.x=l+—X,

9

解得，X=—,

8

故选B.

【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键.

二、填空题

11.计算"的结果是.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据算术平方根定义直接进行计算化简即可

【详解】a=2,故填2

【点睛】本题考查二次根式的化简与性质，熟知算术平方根的定义是解题关键

12.据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省

市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如下表：

3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日

401824158112016

这组数据的中位数是.

【答案】17

【解析】

【分析】

将数据从小到大进行排列，然后取中间两位数的平均数即可.

【详解】将数据从小到大排列为：8,11,15,16,18,20,24,40,

.•.这组数据的中位数=①羽=17,

2

故答案为：17.

【点睛】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数,

则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是

这组数据的中位数.

2I

13.计算—；—的结果为_______.

a—11-a

【答案】一一—

【解析】

【分析】

根据异分母分式的加法运算法则进行求解.

21

【详解】原式二［「7—n----T，

______2__________a+1

(Q+1)(Q-1)+，

2-(a+1)

_\-a

(o+l)(a—1)

1

a+1'

故答案为：一——.

a+1

【点睛】本题考查分式的加法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

14.如图，在菱形ABCD中，过点4作A〃_L5C,分别交BD,BC于点、E，H,尸为EO的中点，

/BAF=120°，则ZC的度数为—

【答案】140°

【解析】

【分析】

设NCBD=x,根据菱形的性质得出NAO3=NCBD=x,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

得出==然后根据两直线平行，同旁内角互补求出x,进而求解.

【详解】设NCBD=x,

•••四边形ABC。为菱形，

:.AD//BC,ZABD=/CBD=x,

ZADB—Z.CBD-x,

­：AH±BC,AD!IBC,

：.ZDAH=ZAHB=90。,

•.•/为ED的中点，

AF=FD,

：.ZFAD=ZADB=x,

'.•ZBAF=nQ0,

：.ZBAD^120°+x,

•：AD//BC,

:.ZBAD+ZABC=1SO°,

：.2x+120°+x=180°,

x=20°，

.•.ZB4D=120°+x=140°,

•••四边形ABC。为菱形，

.-.ZC=ZJR4D=140O,

故答案为：140°.

【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，利用其性质找出有关角度的等量关系

是解题的关键.

15.已知二次函数)=内2+区一3(。力0)的图象的顶点在第三象限，且经过点A(1,O),6(—1"),则r的取

值范围为.

【答案】-6<t<Q

【解析】

【分析】

根据已知条件得出抛物线开口向上，a与匕的关系式，由顶点坐标公式求出a的取值范围，将点8的坐标代

入二次函数的表达式中得到f与。的关系式，进而求解.

【详解】•••抛物线,=62+以-3过点(1,0)和(0,-3),且顶点在第三象限，

，抛物线开口向上，a+b-3=O,

:.a>09b=3-a,

又：-乙。，

2a

:.b>0,

.,.3-a>0,即a<3,

的取值范围为O〈a<3,

二•抛物线、=3!+法-3经过点(-1,/;),

:.t=a—h—3=ci—(3—ct\—3=a—3+a—3=2a—6,

*/0<a<3,

.-.-6<r<0.

故f的取值范围为-6<r<0,

故答案为：-6</<0.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用二次函数的性质求出a的取值范围是解题的关键.

3

16.如图，在口48。中，NC=90°，点。为4c边上一点，NABO=45°，tanZA=-,若8C=21,

4

则DC的长为.

I)

H-

【答案】3

【解析】

【分析】

过点。作BO的垂线交AB于点E，过点E作七尸_LAC,垂足为尸，证明口3。2。尸上，得出

EFBC

DF=BC=2\,EF=CD,设8=麻=3尤，根据tanNA=—=——进行求解.

AFAC

【详解】过点。作8。的垂线交A3于点E，过点E作EbLAC,垂足为尸，

•.•Z/WD=45°,

DE-BD，

又NC=90°，

ZCBD+ZBDC=90°,ZEDF+ZBDC=90°,

"CBD=/EDF,

又NC=/EFD=90°,

：DBCD^\DFE,

：.DF=BC=2\,EF=CD,

设。。=所=3工，

,rtanZ/A“=EF=—3,

AF4

AF-4x,

AC-AF+CD+DF-4x+3x+21=7x+21,

又tanzL4==—,BC=21,

AC4

AC=28,

.-.7x+21=28,

••X—\,

CD=3x=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定与性质，巧作辅助线构造全等三角形与正确应用同角

的三角函数值相等是解题的关键.

三、解答题

17.计算:Qi)—x-x3-%4.

【答案】15x8

【解析】

【分析】

根据积的乘方运算法则，幕的乘方运算法则，同底数幕的乘法运算对各项进行化简，最后相减即可.

【详解】解：原式=24.卜2『一工8=]6f—必=[5*8.

【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方运算法则，募的乘方运算法则，同底数累的乘法运

算是解题的关键.

18.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZB=ZD，E是。C延长线上一点，连接4E，求证：

ZE=ZBAE.

DCE

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据已知条件证明AB//OC即可.

【详解】证明：•.•AO//3C,

：.ZD=ZBCE,

•;ZB=ZD，

:.ZB=ZBCE,

:.AB//DC,

;.ZE=ZBAE.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键.

19.某中学全体同学参加了“关怀贫困学生”爱心捐款活动，该校随机抽查了七、八、九三个年级部分学生

捐款情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图.根据图中的信息，解决下列问题:

捐款5元

B-M10元

C：捐款15元

。:捐款20元

£：捐款25元

（1）这次共抽查了名学生进行统计，其中。类所对应扇形的圆心角的度数为

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校有200（）名学生，估计该校捐款25元学生有多少人？

【答案】（1）50.50.4°；（2）补图见解析；⑶160人

【解析】

【分析】

（1）根据C类所含的人数与所占的百分比求解总人数，D类所占的百分比乘以360"即为。类所对应扇形

的圆心角的度数；

（2）结合（1）求出捐款10元的人数，然后补全条形统计图即可：

（3）将学校总人数乘以捐款25元所占百分比即可.

【详解】解：（1）14-5-28%=50（人）；

7

—X360°=50.4°；

50

，这次共抽查了5（）名学生进行统计，其中。类所对应扇形的圆心角的度数为50.4。，

故答案为：5（）,50.4°；

（2）捐款10元的人数为：50-9-14-7-4=16（人）,

补全条形统计图如图所示；

人数

50

答：估计该校捐款25元的学生有160人.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

20.横、纵坐标均为整数点称为格点，如图，口抽。的三个顶点A（2,l）,B（6,3）,C（3,3）均为格点,

AB上的点Z）（4,2）也为格点，用无刻度的直尺作图:

（1）将线段A。绕点A顺时针旋转90。，得到线段AE，写出格点£的坐标；

（2）将线段4E平移至线段CM,使点A与点。重合，直接写出格点M的坐标;

（3）画出线段AC关于CM对称的线段C",保留作图痕迹.

【答案】（1）作图见解析，E（3,-l）；（2）作图见解析，M（4,l）；（3）作图见解析

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质作出线段AE，进而得出点E的坐标;

（2）根据平行的性质作出线段CM,进而得出点M的坐标；

（3）取点尸（5,3）,N（6,l）,连接N/交AB于点H,连接CH即可.

【详解】解：（1）如图，线段AE即为所求，£（3,-1）；

（2）如图，线段CM即为所求，M（4,l）；

⑶取点尸（5,3）,N（6,l）,连接NF交A3于点“，连接C“，则C”即为所求.

理由如下：

设CM与A8交于点G,易证C///MN,CF=MN=2,

四边形CW*为平行四边形，

：.FN//CM,

•;AM=MN,

AG=GH,

-.-AEYAB,CM//AE,

：.CMA.AB,

故CM垂直平分A”，

线段AC关于CM对称的线段为CH.

【点睛】本题考查利用旋转，平移与轴对称的性质作图，平行四边形的判定与性质，结合网格的特点，熟

练应用旋转，平移与轴对称的性质是解题的关键.

21.如图，四边形ABC。内接于口。，AB^AC,NBA。=90°，延长AO，BC交于点尸，过点。作□。

的切线，交BF于点、E.

【解析】

【分析】

(1)连接30，由圆周角定理与圆内接四边形的性质得出NCDRu/ADB,由圆周角定理的推论知BD为

口。的直径，可得出ZF+NCOF=9()°,利用切线的性质得出/4£)3+/£：。「=90°,进而得证；

(2)连接OB,OC,AC,A0,并延长A。交8C于点”，设EC=3,证明口££)。口口所。，可求

出BE的长，根据垂直平分线的判定定理知A0垂直平分8C,进而可得出。C//AH,最后根据平行线分

线段成比例进行求解.

【详解】解：(1)连接8D，•.•AB=AC,

:.ZABC=ZADB,

•.■ZABC+ZADC^iSO°,ZCDF+ZADC=180°,

：.ZABC=ZCDF,

：.ZCDF=ZADB，

QNB4D=90。，

.•.BO为口。的直径，

:.ZDCB=90°,

:.ZDCF=90。,

ZF+ZCDF^90°,

•.♦QE为口。的切线,

.•.NODE=90°,

：.ZADB+ZEDF=90°，

-ZCDF^ZADB,

:"F=ZEDF,

:.DE=EF-,

CE3

(2):—=-,

EF5

设EC=3,则£F=5,CF=3+5=8,

ZBDE=NDCE=90°,ZDEC=/DEB,

：DEDC[T]EBD,

.BEDE_5

"~DE~~CE~3'

25

BE=-DE

33

2516

BC=BE-CE=——3

3T

连接OB,OC，AC,AO,并延长AO交6c于点H,

\AB=AC,

又•.•OB=OC,

.•.AO垂直平分BC,

1Q

BH=HC=-BC=~,

23

\-AH±BC,DC上BC,

：.DC//AH,

ADHCSoI

DFCF33

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角

形的判定与性质，平行线分线段成比例，第（2）题巧作辅助线，构造相似三角形是解题的关键.

22.受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、8两种型号的“手写板”，获利颇丰.已知A型，B

型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）

A型600900200

3型8001200400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降

低5元就可多卖1个，3型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每

天多销售x个，每天总获利的利润为y元

（1）求》与》之间的函数关系式并写出工的取值范围；

（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；

(3)该销售商决定每销售一个3型手写板，就捐。元给(。<。<100)因“新冠疫情”影响的困难家庭，当

30WXW40时，每天的最大利润为2292(X)元，求。的值.

【答案】(1)y=-10x2+900x+220000(0<x<60),且x为整数；(2)2()WxW60,且x为整数:

(3)a=30

【解析】

【分析】

(1)设A型手写板每天多销售％个，则8型手写板每天少销售》个，根据总获利的利润,等于销售A型手

写板所获利润加上销售B型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量都为非负数且x为非负整

数求出x的取值范围；

(2)结合(1)将总利润函数进行配方，求出当y=234000时的x值，结合图象得到每天的利润不低于

234000元时的x的取值范围，进而求解；

(3)设捐款后每天的利润为卬元，则卬=丁-(400-x)a,然后利用二次函数的性质进行求解.

【详解】解：⑴y=(900-600-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x),

化简得，y=-10x2+900x+220000,

x>0

由题意知，<300-5x20,

400-x>0

解得，04x460,

故x的取值范围为0=尤<60且x为整数；

(2)x的取值范围为2()«xW6(),

理由如下：y=-10x2+900x+220000=—10(x-451+240250,

当y=234000时，一1。(工一45)2+240250=234000，

.••(X-45y=625,x-45=±25,

/.x-2()或％=70,

要使yN234000,由图象知，20<%<70；

,/0<x<60,

.\20<x<60,且X为整数；

(3)设捐款后每天的利润为印元,

则卬=—10*+900x+22(XXX)-(4(X)-x)a=-1Ox2+(900+a)x+220000—4(X)a,

900+a.,a

对称轴为x-......=45H---,

2020

,/0<a<100,

.-.45+—>45,

20

•••抛物线开口向下，当30<x<40时，卬随x的增大而增大，

当x=40时，w最大，

.-.-16(X)0+40(900+a)+22(XXX)-400a=229200,

解得，a=30.

【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第(2)(3)题

可结合二次函数的图象进行求解.

23.在口ABC与△45。中，ZDBA=ZCAB,AC与30交于点F，

(1)如图1,若/DAF=NCBF,求证：AD=BC；

图1

(2)如图2,/。=135。，ZC=45°,AD=WAC=4,求BO的长;

图2

(3)如图3,若N£>84=18°,ZD=108°,ZC=72".">=1,直接写出的长.

图3

【答案】（1）证明见解析；（2）BD=2；（3）。8=药必

2

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理得出NO=NC，利用AAS证明口/MB空CB4即可；

（2）在FC上取一点E，使得NFBE=NDAF,结合（D知口£1钻与田4,根据全等三角形的性质求

出NEBC=900,利用勾股定理求出CE的长，进而求解；

（3）在FC上取一点E，使得NFBE=NZM尸，结合（1）知口八4的口即4，利用全等的性质得出

EF=EB=T，4尸=所="=1+£。，证明EJCBEmCFB,利用相似三角形的性质求出CE,最后根

据DB=AE=FA+EF进行求解.

【详解】解：（1）,;NDFA=NCFB,ZDAF=ZCBF,

；.ZD=NC,

•;/DBA=NCAB,AB=AB，

:[]DAB^：CBA,

AD=BC；

（2）在FC上取一点E，使得NFBE=NDAF，

由（1）知，UDAB^EBA,

:.BE=AD3,DB=AE，N5E4=NBn4=135°,

.•.N5EC=45。，

vZC=45°,

:.BC=BE=丘,NEBC=90°,

:.ECABE2+BC?=2,

vAC=4,

...AE=AC—EC=4—2=2,

;.BD=AE=2；

由（1）知口ZM8军石B4,

:.BE=AD=\，DB=AE，ZBE4=ZBZM=108°,

：.ZBEC=72°,

vZC=72°,

:.BC=BE=1,ZEBC=36°,

易证NC=NEBC=72°,NFB=/EBF=36。,

又ADBA=NCAB,

EF-EB—1>AF—FB=FC=1+EC>

易证IZCBE口口CEB,

BCCE,

•••—=—>BC?=CECF，

CrBC

:.CECF=1,

CE（CE+1）=1,即C£：2+CE-1=O,

-1+V5

CE=

2

;.FC=CE+EF=^^~，

AF=FB=FC=上芭

2

=AE=弘+"=止31=三亚.

22

图3

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，结合第(1)题构造全等三角形是

解题的关键.

24.如图1,已知抛物线y=o?+0x+c的顶点为尸(1,9),与x轴的交点为A(—2,0),B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C,若NCOB=2/CBO,求点M的

坐标;

(3)如图2,将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y=+笈+〃，E，/是新抛物线在第一象

限内互不重合的两点，轴，PHLx轴，垂足分别为G,H,若始终存在这样的点E，F，满足

OGEO^JHOF,求〃的取值范围.

【答案】(