七年级下册-数学-易错点习题详解-人教版

相交线与平行线上第五章

I

5.相交线

■易混淆垂线、垂线段、点到直线的距离的概念

・易错题

下列说法中，正确的是（）

A从直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的

距离

B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度是这点到

已知直线的距离

C.画出直线外一点到已知直线的距离

D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段

最短

正解:选项A中垂线段与点到直线的距离是不同的概念;选

项B中垂线是直线，没有长度;选项C中点到直线的距离是

数量，数量不能画.答案:D

易错提示：易因混淆垂线、垂线段与点到直线的距离的概念

而出错.

1

--全易通

悟区：垂线是直线，没有长度；垂线段是线段，有长度；点到

直线的距离是一个数量.

易错点2垂线的画法错误

・易错题

已知：点P是线段AB外一点（如下图所示），请过点P作直

线PCJ_AB,垂足为C.

・P

AB

正解：作图如下图.

P

ABC

易错提示:过一点作已知线段或射线的垂线时容易误认为

垂足一定在线段或射线上,从而造成作图错误.

悟区：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂

线，垂足可能在线段或射线上，也有可能在线段的延长线上

或射线的反向延长线上.

-2-

全易通

易错点3识别同位角、内错角、同旁内角时易出错

・易错题

下列图形中，N1与N2是同位角的是（）

正解:选项A中，N1和N2是直线CQ,CE被直线AE所截

形成的，分别在直线CQ,CE上方，在直线AB的左侧，它们

是同位角.答案:A

易错提示：本题易只看到选项C中N1在CD下方，/2在

EF下方,Nl,/2均在AB的左侧，并没有看到NL/2并

非三线所成的角，而错选C

悟区:解决相交线中角的关系时，应牢牢把握两点：（1）准确

判定三线；（2）抓住同位角、内错角、同旁内角的位置特征.

3

「全易通

5.2平行线及其判定

易错点■在判定直线平行时,易因条件不全而出错

•易错题

下列说法中，正确的个数是（）

①若a〃­〃乩则a〃必②平行于同一直线的两直线

也互相平行;③垂直于同一直线的两直线互相平行;④过一

点有且只有一条直线与这条直线平行.

A1B.2C.3D.4

正解:③忽略了“在同一平面内”这个前提，④忽略了“过直

线外一点”这个前提，只有①②正确.答案;E

易错提示：易忽略前提条件，误认为③④正确.

悟区:在使用定义、定理时，一定要注意它们成立的前提条

件，只有满足了全部条件，结论才能成立.

易错点2利用“内错角相等，两直线平行”判定两直线平行

时出错

•易错题

如右图.

（1）由Nl=/3可判定哪两条直线

平行？

（2）在（1）的条件下由ZBAD=

—4—

二全易通

NDC'B可判定哪两条直线平行？

正解：(1)•・•N1=N3,，A0H.❶

(2)・・・NR4D=NDCB，N1=N3,

••.N2=/BAD—N1=/DCB—N3=N4,

.•・AB〃CD.❷

易错提示:❶易错为AB〃CD

❷易错为AQ〃BC.

悟区：分别分离出含Nl,/3和N2,/4的基本图形，如图

①②,因此当N1=N3时，AD〃口C；当N2=N4时，A5

//CD.

5.3平行线的性质

易错点忽略了同位角相等、内错角相等、同旁内角互补

的前提条件而出错

如下图，已知直线被直线c所截，以下结论正确的有

()

5

二全易通

①/1=N2；②N1=N3；

③N2=N3；④N3+/4=I8O°.

A1个B.2个

C.3个D.4个

正解:题目并没有给出。〃儿所以Q和b可能相交，此时不

符合平行线三个性质成立的前提条件，所以②③④均不一

定正确，只有①正确，依据是“对顶角相等”.答案:A

易错提示：易误认为。〃人而错选D.

悟区：平行线的性质和判定的题设与结论正好相反，应用平

行线的性质时，注意不能忽略平行线的性质成立的前提

条件.

及特累对命题的结构理解不准确而出错

・易错题

将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：

(1)同角的余角相等；

(2)直角都相等.

正解：(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角

相等.

-6—

二全易通

（2）如果两个或多个角都是直角，那么这些角相等.

易错提示：（1）在命题的题设和结论不明确的情况下，分不

清哪是题设、哪是结论；（2）不能正确地理解某些概念在叙

述命题的语句中的地位和意义，如同角、余角、直角；（3）缺

乏把简单句变换成复合句的语法知识.

悟区：注意审题，分清命题的题设和结论，然后进行改写.

5.4平移

易错点不能正确分析图形平移的条件，把握不准平移的

方向和距离

・易错题

如下图，把三角形ABC向右平移2cm,请你作出平移后的

图形.

正解：下图中的三角形A'B'C'即为所作图形.

7

全易通

易错提示：根据平移的定义，只要把三角形ABC中的三个

顶点分别向右平移2cm即可，易因三个顶点A,B.C移动

的距离不一样而作出错误的图形.

悟区：图形平移的关键是确定平移的方向和距离，这里的距

离主要是指相应关键点之间的距离.

8

二:全易通

实数匕第六章

6.1平方根

易错点1求平方根易漏掉负值

•易错题

已知工会=0.16,则x=.

正解：V(±0.4)2=0.16,/.x=±0.4.答案：土0.4

易错提示：易受思维定式的影响，认为*=0.16=0.42,则

%=0.4.

悟区：已知了2=0.16,并没有指明x为非负数，所以x应为

0.16的平方根，而不是算术平方根.0.16的平方根有两个,

它们是土0.4.

易错点2求小的平方根时，易误解为化简一

・易错题

箔的平方根是

9

-?全易通

正解：因为，2及-16.16的平方根是土4,所以/标的平

方根是±4.答案：±4

易错提示：易将求256的算术平方根的平方根错当成求256

的平方根.

悟区:认真审题是关键，按顺序先求，标=16,再求出16

的平方根为土4.

易错点3】求带分数的算术平方根时易出错

•易错题

错误.

悟区:求带分数的平方根或算术平方根时，一般要先将带分

数转化为假分数，再求其平方根或算术平方根.另外还要区

别。与土后的含义,避免出现符号错误.

10

全易通

6.2立方根

易错点1[易误以为负数没有立方根

・易错题

当x取时，x~2有意义.

正解：•・•任何数都有立方根，

••・7取任何数，方式都有意义.答案：任何数

易错提示：易受算术平方根的影响，误以为R—2>0时,

方百才有意义.

悟区：任何数都有立方根，也就是说，无论被开方数力一2是

正数、负数还是0,方花都有意义.

易错点2[易混淆立方根和平方根的定义

・易错题

一个数的平方等于64,则这个数的立方根是.

正解：设这个数为龙，则有*=64.即力=±8.当x=8时，

右=2；当i=—8时，右=—2.答案：2或一2

易错提示:本题易误将它的立方根合写成土2.

悟区：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，而一个数

的立方根只有一个.

11

金易通

鹿池求含有“k”的式子的立方根时易出错

•易错题

求jriN的立方根.

正解：:历历=8,8的立方根是2,

，器12的立方根是2.

易错提示:本题易误求512的立方根.

悟区：一定要明确是求的立方根，而不是求512的立

方根.正确理解题意是解题的关键.

6.3实数

给实数分类时，易混淆有理数和无理数

•易错题

下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？

,0.21,痣，沟,—

正解：因为冗是无理数，一；是有理数，而无理数与非零有

理数的积是无理数，所以一号是无理数❶；因为年是分数,

O••••

所以是有理数；因为0.21是无限循环小数，所以0.21是

—12—

---全易通

有理数；因为招，相开方开不尽，所以它们是无理数❷；因

为一。6=—4,所以一，花是有理数.

易错提示：❶易错认为一号为分数，从而把一号视为有

00

理数.

❷易错认为沟=3,从而把沟■视为有理数.

悟区：常见的无理数有三种：开方开不尽的数的方根，如

V2,V3;含有n的数，如2兀，菅；无限不循环小数，如

0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）.判

断有理数（或无理数）时，应先将原数化简.

施国8比较实数大小时易出错

•易错题

试将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用“V”连接

起来：

—2,1—A/5,1—以,々,1.414.

□

正解：・・・西〉a-1>2,

1一汽<-2.

O

VI-^-=1.4,72=1.41421…，

0

Al-1-<1.414<V2.

0

13

-：全易通

o

-75<1-7T<-2<1卷VL414<V2.

易错提示：两个负数比较大小时，易错误地认为绝对值大的

那个数就大，绝对值小的那个数就小.

悟区：比较实数大小时，先将实数根据性质符号分成两类,

然后分别比较大小，最后根据正数大于一切负数整体比较.

14

■全易通

平面直角坐标系上第七章

7.1平面直角坐标系

易错点【易将点的横、纵坐标相混淆而出现错误

・易错题

已知点P到1轴的距离是2,到)轴的距离是1,求点P的

坐标.

正解：点P到1轴的距离是2,说明点P的纵坐标为2或

一2；点尸到'轴的距离是L说明点P的横坐标为1或

—1,因此认为点P的坐标有四种情况，分别是(1,2),(1,

-2),(-1,2),(-1,-2).

易错提示:本题易出现两种错误：一是忽略横、纵坐标符号,

出现漏解情况；二是把横、纵坐标的位置写颠倒.

悟区：点到久轴的距离是指该点纵坐标的绝对值，点到V轴

的距离是指该点横坐标的绝对值.

15

「全易通

7.2坐标方法的简单应用

易错点L混淆点的坐标的平移规律

・易错题

把图①中的三角形ABC经过一定的变换得到图②中的三

角形A'B'C'.如果三角形ABC中点P的坐标为（a力），那么

对应点P'在图②中的坐标为（）

C.（a+3,6+2）D.（a+2,6+3）

正解：由题图可知，三角形A'B'C'是三角形ABC先向右平

移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以点

P的坐标为（a+3,6+2）.答案：C

易错提示:容易出现的错误是横、纵坐标弄反，或记为左加

右减.

悟区:熟练掌握平面内点平移时坐标的变化规律是解题的

关键.

16

-「全易通

易错点2将坐标系的平移与点的平移相混淆

・易错题

已知坐标平面内点A(—2,4),如果将坐标系向左平移3个

单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后点A的坐

标为多少？

正解：坐标系向左平移相当于点向右平移，坐标系向上平移

相当于点向下平移，所以本题可以看作坐标系不动，点A先

向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度.-2+3

=1,4—2=2,所以平移后点A的坐标为(1,2).

易错提示：易误认为坐标系向左平移，点也向左平移；坐标

系向上平移，点也向上平移，而得平移后点A的坐标为

(—5,6).

悟区:认真读题，分清坐标系的平移与点的平移，掌握二者

之间的区别与联系.

17

全易通

二元一次方程组上第八章

8.1二元一次方程组

对二元一次方程的定义理解错误

•易错题

判断下列方程是不是二元一次方程：

(1)6%—2=5w-F3+3z；

(2)」~+y=7；

x

(3)JC—y；

(4)zy+x+y=l.

正解：(1)原方程经整理化简后变为3%—5吻=5,是二元一

次方程；

(2)不是整式方程，因而不是二元一次方程；

(3)z—y不是等式，也不是方程，更不是二元一次方程；

(4)中“zy”项的次数是2,不是L因而也不是二元一次

方程.

所以只有(1)是二元一次方程.

18

二「全易通

易错提示：易错认为只要含有两个未知数的方程就是二元

一次方程.

悟区：判断二元一次方程时，首先对所给出的方程进行整理

变形，再分析是否满足以下条件：(1)含有两个未知数;

(2)所含未知数的项的次数都是1；(3)是整式方程.

易错点2,易忽略隐含条件“未知数系数不为0”而出错

・易错题

已知关于的二元一次方程(m+2)i阿一1+熄,=5,求

m."的值.

‘7n+2W0,

正解：由二元一次方程的定义，得彳|m|-l=b

、2〃=1,

’m丰一2,

Im=2,

解得/机=—2,所以《］

1n=~r.

.n=~29

易错提示：易忽略系数不为0,即m+2H0,而错解为m=2

或m一一2.

悟区:根据二元一次方程的定义求待定字母的值时，要注意

隐含条件的限制.

19

全易通

8.2消元一解二元一次方程组

易错点■当两个方程相减时，容易出现符号错误

•易错题

21-5y=10,①

解方程组

2jc—y=14.②

正解:①-②，得—4y=-4,

所以3=1.

15

把y=l代入②，得

15

力=为，

所以这个方程组的解是

k】

易错提示:①与②相减时，易错为一6)=—4.

悟区:用减法进行消元时，若减数中含有“一”号，一定要注

20

<■,全易通

正解：①X4,得16i—12；y=4.③

②X3,得18%—12)=—6.④

③一④，得一2z=10,1=-5.

把工=-5代入①，得y=-7.

所以这个方程组的解是广—5，

\y=~7.

易错提示：当用①X4或②X3时，常数项易漏乘.

悟区:在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中

某一未知数的系数化成相反或相等的数，应根据等式的性

质，在方程两边乘同一个不等于0的数.

8.3实际问题与二元一次方程组

易错点L对问题中的关键词理解错误

・易错题

有一群鸽子，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅

食，树上的鸽子对地上的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,

则地上的鸽子是整群鸽子的若从树上飞下去一只，则

O

地上、树上的鸽子一样多

你知道原来树上、地上各有多少只鸽子吗？

21

全易通

正解：设原来树上有1只鸽子，地上有y只鸽子.

由题意，得尸7（2

-7

,

y=5.

答:原来树上有7只稿子，地上有5只鬻子-

易错提示：易将第二个方程列为工-1=）而出错.

悟区：树上飞下去一只鸽子时，树上还有包一1）只鸽子，而

地上增加了一只鸽子，故地上应有3+D只鸽子.

漏（错）写单位或单位不统一

•易错题

庄老师要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时

50km的速度行驶，就会迟到24min,如果他以每小时

75km的速度行驶，则可提前24min到达乙地，求甲、乙两

地之间的距离.

正解:设甲、乙两地之间的距离为skm❶,从甲地到乙地的

规定时间为上K95

‘£=,24

但如0上，口50一'—60'—

根据题意，得＜〜—❷

s_Z4

.75=r-60-

22

;二全易通

(s=120,

解这个方程组，得

\%=2.

答：甲、乙两地之间的距离为120km.

易错提示:❶设未知数时漏写单位；

❷方程两边的单位不统一.

悟区:在列方程之前，一定要统一单位，防止出现方程两边

单位不统一的现象.

・易错题

'2力+)+3之=1,①

解方程组J38—23+22=2,②

、-4%+4?­z=-1.③

正解：①X2+②，得4z+3z+6%+2z=4,

即71+8z=4.④

②X2+③，得6N—4a+4力-2=2X2—1,

即2%+32=3.⑤

12

7N+8Z：=4T

联立④⑤，得

2R+3N=3

5,

23

二：.全易通

5，

把＜代入①，得:y=-2.

片可13

(__12

A—"T，

所以这个三元一次方程组的解为1'=-2,

卜一1百3

易错提示：易在第一步中①X2时,未知数的系数及常数项

漏乘2,在②X2时也犯同样的错误.

悟区：方程两边乘同一个常数时，需在方程两边同时乘，注

意不要漏乘任何一项.

24

-：■全易通

不等式与不等式组y第九章

9.1不等式

易错点C运月不等式的性质3时因未改变不等号的方向

而出错

•易错题

对不等式一3%>1变形正确的是（）

A两边除以一3,得V>一4

B.两边除以一3,得久V——

C.两边除以一3,得工〉—3

D.两边除以一3,得］V—3

正解：-3£>1两边除以一3,得力V—I-.答案：B

0

易错提示:不等式两边除以一3时易出现不改变不等号方

向的错误.

悟区;运用不等式的性质3时，要改变不等号的方向.

25

全易遹

易错点2,易混淆实心圆点与空心圆圈的用法

・易错题

在数轴上表示2.

正解:在数轴上表示如下图.

-2-101

易错提示：易将一2处的实心圆点标为空心圆圈而出错.

悟区:用数轴表示不等式的解集的规律为：大于向右画，小

于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.

9.2—元一次不等式

9.2.1解一元一次不等式

10^1在解一元一次不等式的过程中出现错误

・易错题

解不等式红>>1+寓并在数轴上表示解集.

正解：去分母，得2(2Z+1)>6+3(31-1).

去括号，得4工+2>6十9%—3.

移项、合并同类项，得一5支〉1.

——26——

-/全易赭

系数化为1,得―

这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示.

»--1—1»

-1-10

5

易错提示:解此不等式时往往会出现以下错误:①去分母时

常数项1漏乘6；②忽略分子的整体性，即去分母后，分子

2之+1和3a：—1未加上括号；③9久和2移项时，未变号;

④系数化为1时不等式两边除以一5,但忘记改变不等号的

方向；⑤用数轴表示解集时，在定界点时易忽略空心圆圈和

实心圆点的区别.

悟区：为了避免发生上述错误，在解一元一次不等式时，一

定要正确应用不等式的性质，每个步骤都不要疏忽大意.

9.2.2一元一次不等式的应用

收僦―未能正确理解关键词而出错

・易错题

甲、乙两地相距30km,小李要从甲地到乙地办事，若他以

5km/h的速度前行可按时到达.现在小李走了3h后因为

有事停留了0.5h,为了不迟到，小李后未的速度至少是

多少？

27

全易通

正解：设小李后来的速度是久km/h

根据题意，得3X5+（岩-3-0.5）z>30,

解得

经检验，不等式的解集符合题意.

答：小李后来的速度至少是6km/h.

易错提示:易因对关键词理解不准确导致列错不等式.

悟区:解此类题目的关键是找到题目中隐含的不等关系，然

后列出不等式，通过解不等式求出符合题意的答案.

9.3—元一次不等式组

易错点1利用数轴求一元一次不等式组的解集时，易取错

解集

・易错题

力一2>0,①

解不等式组

%+3Vo.②

正解：解不等式①，得1>2.

解不等式②，得zV—3.

在同一条数轴上表示出不等式①和②的解集，如下图所示.

-3-2-1012

—28—

•.；全易通

所以该不等式组无解.

易错提示：易错解得不等式组的解集为①>2或工<一3.

悟区:利用数轴求一元一次不等式组的解集时，先求每个不

等式的解集,然后将其在数轴上表示出来，若两个解集不存

在公共部分，则这个不等式组无解.

囱蜜❷易混淆解一元一次不等式组与解二元一次方程

组的步骤

・易错题

1—2(久+3)《11,①

解不等式组/

亏x+2(i+3)&3.②

正解:解不等式①，得G—掌

解不等式②，得K&—

所以不等式组的解集是一号-J".

易错提示：易将解二元一次方程组的加减消元法用于解不

等式组而出错.

悟区:先分别求出不等式①②的解集，再求出它们解集的公

共部分，即可得到不等式组的解集.

29

全易通

数据的收集、整理与描述上第十章

10.1统计调查

易错点L对总体、个体、样本及样本容量的概念理解不透

彻而出错

・易错题

要了解一块玉米地里所有玉米的平均产量，从中抽取100

棵玉米，用这100棵玉米的平均产量去估计这块地里所有

玉米的平均产量.在这个问题中，总体是什么？个体是什

么？样本是什么？样本容量是多少？

正解：玉米地里所有玉米的平均产量是总体;每棵玉米的产

量是个体;从中抽取的100棵玉米的平均产量是样本;样本

容量是100.

易错提示:本题易出错的根本原因在于没有明确本次考察

的目的，考察对象是玉米地里所有玉米的平均产量，而非玉

米本身.另外，易对样本容量的意义理解错误.

悟区:本题考察的对象是玉米地里所有玉米的平均产量，所

以其总体与个体均离不开“产量”.解题时应明确考察的对

—30—

象及其目的，依据考察的目的确定考察对象的总体与个体.

易错点2,对统计表的内涵理解不透彻而产生错误

•易错题

通过调查发