2019届高考数学一轮复习 第五章 数列学案 理

第五章数列

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列3｝的第〃项为

数列｛&｝的第〃项&与〃之间的关系能用公式&=/（〃）表示,这个

通项公式

公式叫做数列的通项公式

前〃项和数列｛2｝中,S7=a+段~1---Fa叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示〃与a“的对应关系

图象法把点（〃，a“）画在平面直角坐标系中

通项公式把数列的通项使用公式表示的方法

公式

使用初始值a和&+i=F（a〃）或a,我和&+i=F（&”&-1）

法递推公式

等表示数列的方法

3.通项公式和递推公式的异同点

不同点相同点

可根据某项的序号n的值,直接代入求

通项公式

出3.H

都可确定一个数列，也都可求

可根据第一项（或前几项）的值,通过一

出数列的任意一项

递推公式次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，

直至求出所需的4

4.a“与S的关系

若数歹（I｛a｝的前n项和为S”

S,/7=1,

S-S-】,〃22.

5.数列的分类

分类的标

名称含义例子

准

按项的个有穷数列项数有限的数列1,2,3,4,…，100

数无穷数列项数无限的数列1,4,9,,,•»n,…

从第二项起，每一项大

递增数列3,4,5,•••,n

于它的前一项的数列

从第二项起，每一项小1]

递减数列1'2'3'…'2015

按项的变于它的前一项的数列

化趋势常数列各项都相等的数列6,6,6,6,…

从第二项起，有些项大

摆动数列于它的前一项，有些项1,—2,3,—4

小于它的前一项的数列

任一项的绝对值都小于1,—1,1,—1,1,

有界数列

按项的有某一正值—1»…

界性不存在某一正值能使任

无界数列1,3,4,4,-

一项的绝对值小于它

••＞过基础小题

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()

(2)1,1,1,1.--不能构成一个数列.()

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()

⑷如果数列｛&｝的前〃项和为S”则对V〃GN*,都有为+尸()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)V

2.已知数列｛&｝的通项公式为&=9+12〃，则在下列各数中，不是｛a｝的项的是()

A.21B.33

C.152D.153

解析：选C由9+12〃=152,得〃=带2.

3.在数列｛a｝中，ai=l,a=1+」一(刀22),则&=()

5/?—I

35

A.]B-3

解析：选B由题意知，ai=l,&=1+工=2,a=1+—=3，&=1+'=3.

3\及Z&3

4.已知数列EJ满足句=1,&=&LI+2T7(〃22),则与=()

A.53B.54

C.55D.109

解析：选C由题意知，8,2=d\~\~2X2>为=出+2*3,........,a=4+2X7,各式相加

得a?=&+2(2+3+4+…+7)=55.

2345

5.数列1,­,力,W，…的一个通项公式为=.

3

2

解析：由已知得，数列可写成「5-故通项公式可以为

1O

fen

合案：2/7-1

6.已知数列｛a｝的前n项和6=2"—3,则数列｛&｝的通项公式是,

解析：当刀=1时，ai=5=2—3=-l,

当时，&=­=(2”-3)-(2"7-3)=2”一21=2".

又a\=—\不适合上式,

-1,〃=1,

故a.~

2n-1,心2・

—1,〃=1,

答案：

杉2

KETANGKAODIANTUPO陶透谟道朦砒遹福回

考点一由a与S的关系求通项a”基础送分型考点一一自主练透

［考什么•怎么考］

由$和a,,的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈

现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低.

考法（一）已知S,求必

1.已知S=3"+2〃+L则a=

解析：因为当〃=1时，&=S=6；

当〃22时,

Qn—Sn—Sl=(3"+2〃+1)—[3"'+2(〃-1)+1]

=2•3,,-1+2,

由于切不适合此式,

6,Z7=l,

所以3n—

2・3"一」2,心2.

6,77=1,

答案:

2・3"一32,启2

2.(2017•全国卷HI改编)设数列｛a｝满足功+3d2H-----F(2〃一1)a=2〃，贝ijan=

解析：因为功+3a2-1-----F(2/?—1)a｛l=2n,

故当刀22时，

a+3a2+…+(2/7-3)&一1=2(〃-1).

两式相减得(2/?—1)品=2,

2

所以a?=;j~(〃22).

z/?一1

又由题设可得4=2,满足上式，

2

从而｛&｝的通项公式为_-(/?eN*).

2/7—1

9

答案：7~7(neN*)

2/7—1

［题型技法］已知S求当的3步骤

(1)先利用d=S求出cZi；

(2)用〃一1替换S中的〃得到一个新的关系，利用&=2-5-(〃22)便可求出当/722

时&的表达式；

(3)注意检验〃=1时的表达式是否可以与〃导2的表达式合并.

考法(二)由S,与a〃的关系，求a”，Sn

3.设数列｛&｝的前刀项和为S”且S,=2(a—1)(〃£N"),则为=()

A.2/7B.2n—1

C.2"D.2〃一l

解析：选C当〃=1时，ai=S=2(a—1),可得囱=2,当〃22时，a〃=S—S-1=2&

一22一|,・・・A=2&T,.••数列｛a｝为首项为2,公比为2的等比数列，所以a=2".

4.(2015•全国卷H)设S是数列｛a｝的前〃项和，且&=-1,&+i=SS+i,则S=

解析：**5/?+l=&+1—Sma+l=S?SrH,

••SR1S〃SnSn+1•

・・・S,W0,・・・9—4=1,即J—9=-1.

1”+1On

又F=-1,是首项为-1,公差为一1的等差数列.

.•.1=一1+（/7-1）X（―1）=—〃，/.Sn=

Snn

答案:T

［题型技法］S,与a“关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用&=$一2一（〃22）转化为只含S”S-的关系式，再求解.

（2）利用$-Si=&（〃，2）转化为只含a,”af的关系式，再求解.

考点二由递推关系式求数列的通项公式基础送分型考点一一自主练透

［考什么•怎么考］

由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答

题的第问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.

方法（一）叠乘法求通项公式

/7—1

1.在数列｛a｝中，a,=l,a“=——则数列｛a,,｝的通项公式为________.

n

n—1

解析：2）,

./?—2n-31

**•&L1=7aL2，3（1-2=，…，32・

n—1n—22

以上（〃一1）个式子相乘得

12n—11

a=a\-->T.........=—=］

n23nnn

当〃=1时，ai=l,上式也成立..,・&='（〃£"）.

n

答案：&2（〃WN*）

n

［方法点拨］叠乘法求通项公式的4步骤

（转化）一求出内，将递推公式写成皿=/（”）的形式

出

务司蒋;二匚2；3：二;“二i在工王无，春药;二iN

（赋值）—

等式

I

利用a,,=―2-,—..........—,Oj求其通项公式a,,

（±5-Wl2al

检验«,是否符合所得的通项公式.若符合，则合

1检验）

并；若不符合，则写成分段形式

方法（二）叠加法求通项公式

2.设数列｛a｝满足&=1,且&+1一/=〃+l（〃£N*）,则数列｛4｝的通项公式为

解析：由题意有a—囱=2,a-%=3,…，a—=.

+〃2

以上各式相加,得&-d=2+3+…+〃=2=-21

又;Hl=LQn—2(〃22).

2_|_

・・,当〃=1时也满足上式，・・・&=一^—(〃£N*).

答案：8尸空(〃GN*)

［方法点拨］叠加法求通项公式的4步骤

（转化）一:求出5，将递推公式写成a,十1一a”=f（n）的形式:

分别将”=1,2,3,…，n—1代入上式，得到11—1个

（赋值］—

等式

（叠加J一:得出an—的值，求其通项公式an

麻斯检验的是否符合所得的通项公式.若符合，则合

'-----';并；若不符合，则写成分段形式

方法（三）构造法求通项公式

3.已知数列｛aj满足a=1,&+i=3a,,+2,则数列｛a｝的通项公式为—

解析：：a0+1=3a”+2,•,♦a"+i+l=3(a〃+l),

-a“+l—

二数列｛&+1｝为等比数列,公比g=3,

又囱+1=2,a.+1=2•3"',

/.a„—2♦3"-'-1（〃GN*）.

答案：a〃=2•3"T-I（〃GN*）

［方法点拨］构造法求通项公式的3步骤

（定关系）T根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系

（巧1形）一遍琶荚家叉祈灵W形菱犷萋；黄嘀”.鬲城更

屋」源养“至；豪;嘀;;防花一叉;看立逅河家加［索廉而

XjT-1ft,

:方式或转化为等差、等比数列的通项求解

［怎样快解・准解］

1.正确选用方法求数列的通项公式

(1)对于递推关系式可转化为空f5)的数列，并且容易求数列｛『(〃)｝前"项的积时,

a„

采用叠乘法求数列｛a｝的通项公式.

(2)对于递推关系式可转化为a.+i=a“+f(〃)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求

其通项公式.

(3)对于递推关系式形如a.+i=pa,,+q(p/O,1,。¥0)的数列，采用构造法求数列的通

项.

2.避免2种失误

(1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到生，漏掉国而导

致错误；二是根据连乘求出血之后，不注意检验国是否成立.

(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一

个式子的形式.

考点三数列的性质及应用重点保分型考点一一师生共研

从近几年高考可以看出，数列中的最值、周期是高考的热点，一般难度稍大.在复习中，

从函数的角度认识数列,注意数列的函数特征，特别是利用函数的方法研究数列的有关性质.

［典题领悟］

1.已知数列｛4｝满足a,—，若明=〈，则戊018=()

1—a2

A.-1B.1

C.1D.2

解析：选D由&=不，，得32~~—2,

z1—att1-a\

1111

&=";=11,«Si—"全="；=2,…，

1一色1—821-51

于是可知数列｛a｝是以3为周期的周期数列,因此a018=83X672+2=刈=2.

2.已知数列｛a。｝满足a.=#2(〃eN*),则数列｛a〃｝的最小项是第项.

解析：因为a,产空士，所以数列｛aJ的最小项必为&<0,即#2<0,3〃-16〈0,从

3/7-163/7—16

16

而水工.又〃WN*,所以当77=5时，晶的值最小.

答案：5

［解题师说］

1.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

2.判断数列单调性的2种方法

（1）作差比较法：比较与0的大小.

（2）作商比较法：比较％与1的大小，注意a,,的符号.

an

3.求数列最大项或最小项的方法

f3n—1W3nf

（1）利用不等式组、（〃、2）找到数列的最大项；

12a”,

⑵利用不等式组，（〃22）找到数列的最小项.

a+1

［冲关演练］

1.已知数列，两足a1=1,&汁1=成-2a〃+1（〃《N）,则以oi8=（）

D.-2018

解析：选BV31=1,a+1=/一2a+1=（a一1）2,.,・/=（功-1）2=0,a=（/—1）2=

1,1=（三—1）2=0，…，可知数列｛&｝是以2为周期的数列，018=。2=0,选B.

2.等差数列｛&｝的公差水0,且若=指，则数列｛4｝的前〃项和S取得最大值时的项数

〃的值为（）

C.5或6D.6或7

解析:选C由析=搐,可得（国十国］）（囱一a”）=0,

因为水0,所以功一ai20,所以d+&1=0,

又2a=a+a”，所以c?6=0.

因为水0,所以｛4｝是递减数列,

所以囱＞加＞…＞全＞a=0＞a＞岭…，显然前5项和或前6项和最大,故选C.

（一）普通高中适用作业

A级一一基础小题练熟练快

1.已知数列1,2,干，平,小，…，则2标在这个数列中的项数是（）

解析：选C因为团=1=4，a?=2=亚,a尸/，at—y/lb,急=寸卫，…,所以为

=、3〃-2.令afl=y[3n—2—2y[l9=y[76,解得〃=26.

2.数列｛品｝的前〃项和S=2〃2—3〃(〃WN*),若p—q=5,则为一西=()

A.10B.15

C.-5D.20

解析：选D当刀22时，H〃=S—ST=2//—3〃一[2(〃-I)?一3(〃-1)]=44一5,当n

=1时，ai=Si=—1,符合上式，所以&=4〃-5,所以&-%=4(4一0)=20.

3.(2017•河南许昌二模)己知数列｛2｝满足&=1,a+2-a=6,则囱1的值为()

A.31B.32

C.61D.62

解析：选A'・,数列｛4｝满足&=1,a〃+2—a〃=6,

.*.<33=6+1=7,55=6+7=13,2=6+13=19,<39=6+19=25,au=6+25=31.

4.(2018•云南检测)设数列EJ的通项公式为a=7一加,若数列｛4｝是单调递增数列,

则实数。的取值范围为()

A.(—8,—1]B.(—8,2]

/、(夕

C.(—8,3)D.1—8,-

解析：选C因为数列｛品｝是单调递增数列，所以&+I-&=2〃+l—»0(〃£N*),所以

伙2〃+l(〃eN*),所以从(2刀+1)i=3,即从3.

5.(2018•湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列｛&｝满足：V勿，〃£N*,都有

Qn*Es=Hn+m,且4=],那么念=()

11

B.

3216

11

4-D.2-

解析：选A=•数列｛&｝满足：V/〃，〃£N*,都有&•a=&+阳，旦品=],.•.42=&&=彳,

11

ai•52=0，・・.55=义3•32=—

oJZ

6.数列｛4｝满足a+a〃+i=g（，eN*）,52=2,S是数列｛a｝的前〃项和，则的为（）

7

A.5B.~

解析：选B*/a„+a„+i=~,a=2,

—〃为奇数,

2,〃为偶数.

.,.211X^1）+10X2=*

7.己知数列｛a｝的前刀项和S=//+2〃+l（刀WN*）,则为=

解析：当〃22时、&=£,—S_i=2〃+L

当n=l时，a=S=4W2X1+1,

4,门=1,

因此&=

2〃+1,〃N2.

4,n—\,

答案:

2n+\,心2

5132961

-1-

^一^-----

8.已知数列｛aj010364…，则数列｛a｝的一个通项公式是

X2J

解析：各项的分母分别为…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母

2-3

少3,且第1项可变为

2

2—323-32-3

故原数列可变为

'2'

2"-4

故其通项公式为a=(-1)〃・为「，

2"-3

答案：,〃@N*

9.数列｛a｝的前〃项和为S,若S,+ST=2〃-1(〃22,刀£N*),且S=3,则团+&

的值为.

解析：•.•S+S-i=2〃-1(/?22),令〃=2,

得£+S=3,由S=3得ai=5i=0,

令〃=3,得W+W=5,所以S=2,

则念=W—£=—1,所以4+a=0+(―1)=—1.

答案：一1

10.在一个数列中，如果V，eN*,都有4a+14+2=4(女为常数)，那么这个数列叫做等

积数列，A叫做这个数列的公积.已知数列｛a｝是等积数列，且功=1,々=2,公积为8,则

国+22+/+…+&2=________.

解析：依题意得数列｛2｝是周期为3的数列，且&=1,&=2,&=4,因此国+色+续

+…+&2=4(a+&+H3)=4X(1+2+4)=28.

答案：28

B级——中档题目练通抓牢

.若囱=5，3〃=4&T+1(〃=2),则为＞100时，〃的最小值为(

解析:选C由&=看&=4&一1+1(〃22)得，

a2=4&+l=4X；+l=3,a=44+1=4X3+1=13,

a=4^+1=4X13+1=53,d=42+1=4X53+1=213〉100.

2.(2018•咸阳模拟)已知正项数列｛a,,｝中，近+正+…—(/7eN*),

则数列｛&｝的通项公式为()

A.an=nB.an=n

nn

C.4=5D.3n=-

9

解析：选B\y[a\+y[a2+--*+y[an=^—竽---,

:・板1+正2T---\-^an-i=--气----(〃22),

两式相减得以=心~竽——生当一=〃(〃)2),

••&=/?""(/?22).

又当〃=1时，=8^=1,ai=l,适合上式，

.\af,=n,〃£N*.故选B.

3.若数列｛a｝满足：a=19,g】=&-3(〃£N*),则数列｛a｝的前〃项和数值最大时,

力的值为()

A.6B.7

C.8D.9

解析：选BVai=19,&+1一a=-3,

・・・数列｛a｝是以19为首项，―3为公差的等差数列，

&=19+(〃-1)X(—3)=22—3/7.

设｛2｝的前4项和数值最大，

22-3^0,

Hk+1W022—k+

・・・4£N\・••4=7.・・・满足条件的〃的值为7.

4.在数列｛&｝中,&>0,且前〃项和S满足4s=(&+l)2(〃£N*),则数列｛&｝的通项

公式为________.

解析：当〃=1时，4s=(a+l):解得&=1；

当刀22时，由4s=(2+1)2=4+2a+1,

得4sLi=an-\+2&一1+1,

两式相减得4S,>—4sLi=乩-Wt+2an-21=

整理得(4+为-1)(为一品-【-2)=0,

因为a>0,所以an—an-\—2=0,即an—an-1=2,

又4=1,故数列｛&｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以a=1+2(/?-1)=2n—1.

答案：ar,=2n—\

5.已知数列｛4｝的通项公式为品=(—1)”・2〃+1,该数列的项排成一个数阵(如图)，则

该数阵中的第10行第3个数为________.

a\

3586

解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列｛a｝的第1+2+3+…+9+3=

^^+3=48项，而&产(-1)”X96+1=97,故该数阵中的第10行第3个数为97.

答案：97

6.已知数列｛&｝的通项公式是a„=n:+kn+^.

(1)若★=—5,则数列中有多少项是负数？〃为何值时，%有最小值？并求出最小值：

(2)对于〃CN*,都有a“+〉a”求实数4的取值范围.

解：⑴由n-5/?+4<0,解得1〈水4.

因为〃CN*,所以〃=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为色，瓯

因为5n+4=fn—|^2—

由二次函数性质，得当〃=2或〃=3时，必有最小值，其最小值为金=4=—2.

(2)由知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a=//+加+4,可以看作是

k3

关于〃的二次函数，考虑到〃WN*,所以一手5,解得力>一3.

所以实数4的取值范围为(-3,+8).

7.已知二次函数f(x)=*—Hx+a(a>0,x£R),有且只有一个零点，数列｛4｝的前n

项和S=f(〃)(〃WN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

4

(2)设c,=l一一定义所有满足d<0的正整数"的个数,称为这个数列伍｝

an

的变号数，求数列｛&J的变号数.

解：(1)依题意，4=才-4a=0,

所以3=0或a=4.

又由a>0得a=4,

所以f｛x｝=x—4x+4.

所以S=〃2—4〃+4.

当n=1时，a=S=l-4+4=1；

当刀22时，&,=$一Si=2〃-5.

—3,n—1,

⑵由题意得4

1277-5,心2.

4

由c〃=l—7；---^可知，当〃25时，恒有0〃>0.

Z/7-o

r113

又C\=-3,Q=5,。3=­3,Ci=-T,。5=三,。6=丁，

357

即Ci•Q<0,Ci•c?<0,Ci•C5<0,

所以数列｛4｝的变号数为工

C级一一重难题目自主选做

1.已知数列｛&｝的通项公式为&=(〃+2)(?(〃GN*),则数列｛a｝的最大项是()

A.&或与B.勿或全

C.a困D.

解析：选B因为a+1一4=(4+3)(4)“一(〃+2)[4)=(4)•彳”，当〃<7时，an

+i—&>0,即4+i>&；当〃=7时，品+i—区=0,即区+1=&；当〃>7时，&+i—a<0,即a+

、<&,则水生<…〈多二蛉蛉功。》…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a或戊,故

选B.

2

2.（2018•成都诊断）在数列｛品｝中，a=1,a=r/^7a7（〃22,刀£2）,则a„=_______.

z?—1

解析：由题意知旦=E=-----------匚工一，

/?—1n~n-r

所以a=aX-X一义…X-----

3\ai3lt—\

2232n

=lXKh…

__________________________________22X32X42X-X/?2

2-1~X_2+1~X~S771~X~3+1X~I771~X~~4+1~X-X_n^l~X~n+i

______________22X32X42X・rX/?2_______________2/?

-1X3X2X4X3X5X-X~~X_n+1-=/?+l-

（二）重点高中适用作业

A级一一保分题目巧做快做

1.已知数列1,2,于，平,仃，…，则2寸用在这个数列中的项数是（）

A.16B.24

C.26D.28

解析：选C因为囱=1=<1,&=2=/,&=巾，ai=^/10,55=A/13,••­,所以区

=、3〃-2.令an=y/3n—2=2y[19=yf7Q,解得刀=26.

2.（2018•郑州模拟）已知数列｛4｝满足&=1,4+2—④=6,则二的值为（）

A.31B.32

C.61D.62

解析：选A•・•数列｛&｝满足♦=1,a+2-&=6,

.*.53=6+1=7,55=6+7=13,57=6+13=19,

a9=6+19=25,an=6+25=31.

3.数列｛a｝的前刀项和S=2〃2—3）（刀£N*）,若/?—Q=5,则为一%=（）

A.10B.15

C.-5D.20

2

解析:选D当时，an=Sn—Sn-i=2n—3n—[2（n—1）—3（/?—1）]=4/?—5,当n

=1时，a=S=-1,符合上式，所以a=4〃-5,所以为一备=4（2一g）=20.

4.（2018•湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考）已知数列｛4｝满足：VR,〃£N*,都有

an•a=&+©,且51=-,那么戊=()

11

A——B，

32T6

1

c-zD."

解析：选A・.•数列｛4｝满足：V/〃，〃£N*,都有&•a=&+阳，且a尸,

11

&=a•饱=土:•氏=&•a2=-

5.若数列｛&｝满足：ai=19,a+1=&-3（〃WN*）,则数列｛&｝的前〃项和最大时，〃的

值为（)

A.6B.7

C.8I).9

解析：选BVai=19,&+i—4=-3,

，数列｛4｝是以19为首项，―3为公差的等差数歹U,

=

/.3n19+(n—1)X(—3)=22—3/?.

设｛a｝的前4项和最大,

国20,22—3栏0,

则有MN*,・・.

a+W022—A+

.1922

・・•左£N*,：.k=7.

・・・满足条件的〃的值为7.

6.（2018•河北唐山一模）设数列｛&｝的前〃项和为S”且S尸色'>右@=32,

3

则a=

解析：•••6=弛,a1=32,

3

255al63a1

=32,a\="

33

小心1

答案：3

52961

7.已知数歹ij｛a｝为:，:,------

8364…，则数列｛a｝的一个通项公式是

2J

解析：各项的分母分别为2L22t23-2l,易看出从第2项起，每一项的分子都比分母

2—3

少3,且第1项可变为一——

22-32-32'-3

故原数列可变为

，2''

故其通项公式为a“=(—D"•2守”-3，/7GN-.

9"—3

答案：&=(-1)"•学，〃GN*

8.在一个数列中，如果V〃GN*,都有ga+1&+2=内衣为常数)，那么这个数列叫做等

积数列，〃叫做这个数列的公积.已知数列｛a〃｝是等积数列，且团=1,a?=2,公积为8,则

ai+a2+S3+…+a”=.

解析：依题意得数列｛a｝是周期为3的数列，且功=1,忿=2,as=4,因此4+a+&

+…+ai2=4(ai+az+a3)=4X(1+2+4)=28.

答案：28

9.已知数列｛a｝的前n项和S„=-^n+kn,4GN*,且S的最大值为8.试确定常数k,

并求数列｛a｝的通项公式.

解：因为s=—52+A〃=—〃>十1^其中a是常数，且4金N*,所以当时，

S取最大值故32=8,A2=16,因此4=4,从而S=—；//+4/?.

,17

当〃=1时，8=S=—万+4=/；

当〃22时，a?=S—ST=(—手,+4,---^(/7—1)2+4(/7—1)=1—/?.

979

当〃=1时，,一1=5=&，所以a=/—〃.

10.已知数列｛4｝的通项公式是at,=n'+kn+^.

(1)若A=—5,则数列中有多少项是负数？〃为何值时，为有最小值？并求出最小值；

(2)对于刀£N\都有为+9&,求实数A的取值范围.

解：⑴由/72-5/?+4<0,解得1</7<4.

因为〃£N*,所以〃=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为&,a.

因为国产〃2_5〃+4=(〃_5_*

由二次函数性质，得当〃=2或〃=3时，&有最小值，其最小值为4=a=—2.

(2)由加M>为,知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a=)+©；+*可以看作是

k3

关于〃的二次函数，考虑到〃GN*,所以一5<5,解得上一3.

所以实数左的取值范围为(-3,+8).

B级一一拔高题目稳做准做

1.(2018•云南检测)设数列｛a,,｝的通项公式为a„=ii-bn,若数列｛a｝是单调递增数列,

则实数6的取值范围为()

A.(—8,—1]B.(—8,2]

/、(9*1

C.(—8,3)D.I—°0.

解析：选C因为数列｛&｝是单调递增数列，所以&+「&=2〃+1—»0(〃GN*),所以

伏2〃+l(〃GN*),所以伏(2〃+l).in=3,即从3.

2,已知数列｛4｝满足场尸&+2〃，且a=33,则7的最小值为()

A.21B.10

2117

C.-D.-

解析：选C由已知条件可知，当〃22时，

&=句+(4一句)+(己3-选)+…+(a-aL1)

=33+2+4+…+2(〃-1)

=//'—刀+33,又力=1时，&=33满足此式.

所以&=〃+久一L

nn

令f\n)=-=〃+——1,

nn

则F(〃)在［1,5］上为减函数，在［6,+8)上为增函数.

又F(5)=受RQ,A6)91,则f(5)>f(6),

oz

o91

故f⑦=’的最小值为3.

n2

=

3.(2018•成都质检)在数歹U{a}中，4=1,3n~T3H-i(〃22,〃£N*),则a〃=________.

/?—1

解析：由题意知旦=3=-------—,

a,/-in—1n一〃十

—eLn

所以&=diX-X-X…X—

a\&Qn-\

22Q2n

=1X=

2?X32X42X…义户

+—+—+