圆的位置关系课件

圆的位置关系

一、基础知识

1.直线与圆的三种位置关系

直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离.

当直线与圆有唯一公共点时，叫做圆与直线相切。与圆0相交的直线叫做圆的割线，与圆0相切的直

线叫做圆的切线.如果。0的半径为r,©0到直线1的距离

相交相切相离

例1.如图，已知RtZkABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与。C相切？为什么？

(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆,A

这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

例2.如图，AB为。。的直径，C是。。上一点，D在AB的延长线上，且NDCB=・NA.

(1)CD与。O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.

(2)若CD与。O相切，且ND=30°,BD=10,求。。的半径.

练习

一、选择题.

1.如图，AB与。O切于点C,OA=OB,若。O的直径为8cm,AB=10cm,那么OA的长是()

A.屈B.屈C.V14D瓜(、

2.下列说法正确的是()(

A.与圆有公共点的直线是圆的切线.R

B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；AcB

C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线；

D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线

3.已知。O分别与AABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则NBOC等于()

A.-(ZB+ZC)B.90°+-ZA

22

C.90°--ZAD.1800-ZA

2

二、填空题

1.如图，AB为。O直径，BD切。。于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10,AC=8,

则DC长为.

2.如图，P为OO外一点，PA、PB为。。的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C,半径

为1,PO=2,则PA,PB=,PC=AC=,BC=______/AOB=.

3.设I是aABC的内心，O是△ABC的外心，/A=80°,则/BIC=・,•ZBOC=.

三、综合提高题

1.如图，P为。O外一点，PA切。O于点A,过点P的任一直线交(DO于B、C,•连结AB、AC,

连PO交。O于D、E.

(1)求证：ZPAB=ZC.

(2)如果PA2=PD・PE,那么当PA=2,PD=1时，求。O的半径.

2.设a、b、c分别为AABC中/A、NB、NC的对边，面积为S,则内切圆半径r=—,•其

P

中P=』(a+b+c)；(2)RtAABCZC=90°,则r=L(a+b-c)

22

3.如图1,平面直角坐标系中，。01与x轴相切于点A(-2,0),与y轴交于B、C两点，OiB的

4

延长线交x轴于点D(—，0),连结AB.

3

(1)求证：ZABO=ZABO；

(2)设E为优弧AC的中点，连结AC、BE交于点F,请你探求BE・BF的值.

(3)如图2,过A、B两点作。。2与y轴的正半轴交于点M,与BD•的延长线交于点N,当。。2

的大小变化时，给出下列两个结论.

①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结

论正确，证明正确的结论并求出其值.

(友情提示：如图3,如果DE〃BC,那么三=牝)

ACAB

0i

(1)⑵⑶

模块二、切线长定理

例1.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角.

如图，已知PA、PB是。0的两条切线.

求证：PA=PB,ZOPA=ZOPB.

例2.如图，已知。。是AABC的内切圆，切点为D、E、F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且AABC的面积

为6.求内切圆的半径r.

例3.如图，。。的直径AB=12cm,AM、BN是两条切线，DC切。。于E,交AM于D,交BN于C,设

AD=x,BC=y.

(1)求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x,y的值.

(3)求△COD的面积.

N

练习

一、选择题.

1.如图1,PA、PB分别切圆0于A、B两点，C为劣弧AB上一点，NAPB=30°,则NACB=().

A.60°B.75°C.105°D.120°

A

(4)

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为().

A.9石B.9(石-1)C.9(75-1)D.9

3.圆外一点P,PA、PB分别切。。于A、B,C为优弧AB上一点，若NACB=a,则/APB=()

A.180°-aB.90°-aC.90°+aD.180°-2a

二、填空题

1.如图2,PA、PB分别切圆。于A、B,并与圆0的切线，分别相交于C、D,已知PA=7cm,则4PCD

的周长等于.

2.如图3,边长为a的正三角形的内切圆半径是.

3.如图4,圆0内切RtZ\ABC,切点分别是D、E、F,则四边形0ECF是.

三、综合提高题

1.如图所示,EB、EC是。0的两条切线，B、C是切点，A、D是。0上两点，如果NE=46°,NDCF=32°,

求NA的度数.

2.如图所示，PA、PB是。0的两条切线，A、B为切点,

求证NAB0=，NAPB.

2

3.如图所示，已知在△ABC中，NB=90°,0是AB上一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点

E,与AC切于点D.

(1)求证:DE/70C；

(2)若AD=2,DC=3,且AD2=AE・AB,求——的值.

BC

模块三：圆与圆位置关系

1、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系共有5种，是由两圆的公共点来定义的：

两圆没有公共点一一外离或内含；

两圆有唯一公共点一一外切或内切；

两圆有两个公共点一一相交.

2、两圆位置关系的判定

除定义外，既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定，又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定.

设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d.

(1)d>R+rO两圆外离O两圆有4条公切线；

(2)d=R+rO两圆外切O两圆有3条公切线；

(3)R—r<d<R+ro两圆相交o两圆有2条公切线；

(4)d=R—ro两圆内切O两圆有1条公切线；

(5)—两圆内含o两圆没有公切线；

3、两圆位置关系的性质定理：

(1)圆是轴对称图形，两个圆也组成一个轴对称图

形，通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴;

(2)如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上;

(3)如果两圆相交于A、B,那么连心线垂直平分

公共弦AB；

(4)如果两个半径不等的圆相离，那么内公切线交

点、外公切线交点都在连心线所在的直线上，并且

该直线平分两外公切线所夹的角和两内公切线所

夹的角；

(5)如果两条外公切线分别切圆Oi于A、B两点，

切圆Ch于C、D两点，那么两条外公切线长相等，

且AB、CD都被OiC>2垂直平分.

4、两圆关系常用辅助线

(1)作相交两圆的公共弦，利用圆内接四边形性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系；

(2)两圆相切，作过切点的公切线，利用弦切角定理沟通两圆角的关系；

(3)作相交两圆的连心线，利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关计算问题;

(4)两圆相切，作连心线，利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题；

(5)有关公切线问题，常平移公切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差(或和)为三边的直角三

角形，通过解直角三角形来解决.

例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示(点0,0,是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥

皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求NTPN的大小.

(1)⑵

例2.如图1所示，。。的半径为7cm,点A为。。外一点，0A=15cm,

求：(1)作。A与。0外切，并求。A的半径是多少？

(2)作。A与。。相内切，并求出此时。A的半径.

例3.如图1所示，半径不等的。Oi、。。2外离，线段0102分别交。Oi、。€>2于点A、B,MN为两圆

的内公切线，分别切。€）卜于点M、N,连结MA、NB.

（1）试判断NAMN与/BNM的数量关系？并证明你的结论.

（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，其余条件不变，ZAMN与/BNM

是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论.

练习

一、选择题.

1.已知两圆的半径分别为5cm和7cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

2.半径为2cm和1cm的。Oi和。Ch相交于A、B两点，且OiALChA,则公共弦AB的长为（）.

A.---cmB.----cm

55

3.如图所示，半圆0的直径AB=4,与半圆0内切的动圆Oi与AB切于点M,设。01的半径为y,AM=x,

则y关于x的函数关系式是（）.

1,1,

A.y=—x2+xB.y=--x2+x

44

1,

八1

C.y=--x、2-xD.y=­x2-x

44

二、填空题.

1.如图1所示,两圆。01与。。2相交于A、B两点，则OiO2所在的直线是公共弦AB的

2.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d满足时，两圆相交；当d满足时，两

圆不外离.

3.如图2所示，•和。02内切于T,则T在直线上，理由是；

若过。2的弦AB与。02交