高考数学第一轮复习复习第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系（讲义）

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系[课程标准要求]1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常用的两种方法:(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.(2)代数法:>0判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解01.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式),左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).1.(选择性必修第一册P93T1改编)直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(B)A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=|-52.(选择性必修第一册P93T3改编)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(D)A.62 B.3 C.23 D.解析:圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于3.圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为(D)A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0解析:因为点P在圆上,且圆心Q的坐标为(2,0),所以kPQ=0-32所以切线的斜率k=33所以切线方程为y-3=33即x-3y+2=0.4.(选择性必修第一册P98T1改编)圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(C)A.外离 B.外切 C.相交 D.内切解析:圆心O1(1,0),半径r1=1,圆心O2(0,-2),半径r2=2,所以圆心距|O1O2|=(1-0)2+(0+2)2=5,r1+r2=3,r2-r1=1,所以r2-r5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为.解析:根据题意(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,①x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②由②-①得x-y=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.答案:x-y=0直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断[例1]已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切解析:圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.故选C.法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为|3k-k2+2k+11+判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.弦长问题[例2]过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l的方程.解:圆(x+1)2+(y-2)2=25的圆心坐标是(-1,2),半径r=5.由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d=25-①当直线l的斜率不存在时,x=-4满足题意;②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.由点到直线的距离公式得3=|-k解得k=-512所以直线l的方程为5x+12y+20=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2r2根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.解:由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又kPC=2-所以切线的斜率k=-1k所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=|k解得k=34所以切线方程为y-1=34即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1所以过点M的圆C的切线长为|MC|2(1)过一点求圆的切线方程的两种求法①代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.②几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.(2)过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.[针对训练](1)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切(2)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.

(3)若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为.解析:(1)圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=r2则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=r2则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=r2则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=r2(2)由题意知圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d=|0|AB|=6可知r=(|(3)根据题意,圆M:x2+y2+4x-1=0,即(x+2)2+y2=5,其圆心M(-2,0).直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则P在直线l上,且MP与直线l垂直.kMP=2-则有-ab=-1又由P在直线l上,则有-a+2b-3=0,解得a=1,b=2,则直线l的方程为x+2y-3=0.答案:(1)ABD(2)5(3)x+2y-3=0圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)判断两圆公切线的条数;(2)求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.解:(1)两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d=|1-2×设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.[典例迁移1]本例中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,求线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程.解:由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12[典例迁移2]本例中的两圆若相交于两点A,B,求经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程.解:设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1-λ1+λ,-λ+5解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.(1)当两圆相交时,可利用将两圆方程相减消去二次项的方法求得两圆的公共弦所在直线的方程.(2)判断两圆的公切线的条数,可以转化为判断两圆的位置关系.(3)求过两圆交点的圆的方程,可以利用圆系方程求解.[例1]直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2+ax+by+c=0(a2+b2-4c>0)的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.与a,b,c的值有关解析:将ax+by+c=0(abc≠0)代入x2+y2+ax+by+c=0可得x2+y2=0,即x=y=0,但是(0,0)不满足直线ax+by+c=0(abc≠0),因此直线方程代入圆的方程后无解,所以直线与圆相离.故选C.[例2]直线l:y=kx+1-2k与函数y=1-A.(13,+∞) C.(0,13] 解析:直线l:y=kx+1-2k可化为y-1=k(x-2),因此直线过定点A(2,1),函数y=1-x2,变形可得x2+y2=1(y≥0),其图象是圆x2设M(-1,0),N(0,1),则kAN=0,kAM=1-02若直线l:y=kx+1-2k与函数y=1-x2[例3]若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|=.解析:如图所示,设直线l交x轴于点M,由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则AC1⊥l,BC2⊥l,所以AC1∥BC2.因为|BC2|=2=2|AC1|,所以C1为MC2的中点,A为BM的中点,所以|MC1|=|C1C2|=2.由勾股定理可得|AB|=|MA|=|MC1答案:3[选题明细表]知识点、方法题号直线与圆的位置关系1,4,5,7,8,11圆与圆的位置关系2,3,6,9位置关系的综合应用10,12,13,14,151.已知直线y=x+m与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切,则m的值为(A)A.3或-1 B.1或-3C.0或4 D.-4或0解析:圆(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为(2,3),半径为2,由题意知点(2,3)到直线x-y+m=0的距离为d=|2-3+2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于(B)A.-8B.-19C.-5D.6解析:由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=2,r2=13-|C1C2|=(-1-2)2+32=32,根据两圆内切得|C1C解得m=-19.3.(2022·江西新余二模)已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:x2+y2=4有且仅有两条公切线,则正数a的取值范围为(C)A.(0,1) B.(0,3)C.(1,3) D.(3,+∞)解析:圆O1与圆O2有且仅有两条公切线,所以两个圆相交,圆O1的圆心为(a,0),半径为1,所以1<a24.(2022·江西南昌三模)若直线x-y+a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则|a|等于(B)A.1B.2C.2D.22解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则在等腰△AOB中,易求|AB|=23,所以圆心到直线的距离为22-(3即|a|=2.5.(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(B)A.1 B.2 C.3 D.4解析:将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|=(3-1所以|BD|min=2r2-d6.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为(D)A.5B.25C.26D.27解析:由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,可得两圆公共弦的方程为2x-6y=4-R2,又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=32,两圆的公共弦的弦长为62,则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,则有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,则圆D的半径为27.7.直线l与圆x2+y2+kx+2y+4=0相交于M,N两点,且直线l过圆心,若点M,N关于直线x-y+1=0对称,则直线l的方程是.解析:由题知直线x-y+1=0过圆心(-k2,-1),即-k因此圆心坐标是(-2,-1),由于直线l与x-y+1=0垂直,因此直线l的斜率为k=-1,故直线l的方程是y+1=-(x+2),即x+y+3=0.答案:x+y+3=0的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是.解析:法一由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A′(-2,2a-3),所以kA′B=3-所以直线A′B的方程为y=3-即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知,直线A′B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以|-3整理得6a2-11a+3≤0,解得13≤a≤32,所以实数a的取值范围是[13法二易知(x+3)2+(y+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为y=a-即(a-3)x-2y+2a=0,又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,所以|3整理得6a2-11a+3≤0,解得13≤a≤3所以实数a的取值范围是[13,3答案:[13,39.(2022·天津一模)已知圆M与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆M的标准方程为.

解析:圆C:x2+y2+10x+10y=0,即(x+5)2+(y+5)2=50,故圆心C(-5,-5).根据两圆相切于原点,所求的圆的圆心为M,可得M,O,C共线,故圆心M在直线y=x上,设所求的圆的圆心为M(a,a),又所求的圆过点A(0,-6),故圆心M还在直线y=-3上,故M(-3,-3),半径为|AM|=32,故所求的圆的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.答案:(x+3)2+(y+3)2=1810.若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是(C)A.(1,3) B.[1,3]C.(-3,-1)∪(1,3) D.[-3,-1]∪[1,3]解析:由到原点的距离为1的点的轨迹为圆C1:x2+y2=1,因此,圆C:x2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离均为1,转化为圆C1:x2+y2=1与圆C:x2+(y-a)2=4有两个交点,因为两圆的圆心和半径分别为C1(0,0),r1=1,C(0,a),r=2,所以r-r1<|C1C|<r1+r,所以1<|a|<3,解得实数a的取值范围是(-3,-1)∪(1,3).11.已知☉P经过点(4,0),半径为1.若直线kx-y+k=0是☉P的一条对称轴,则k的最大值为(D)A.0 B.1C.24 D.解析:设圆心P的坐标为(a,b),因为☉P经过点(4,0),半径为1,故点(a,b)在圆(x-4)2+y2=1上.又直线kx-y+k=0是☉P的一条对称轴,所以点(a,b)在直线kx-y+k=0上.所以圆(x-4)2+y2=1与直线kx-y+k=0有交点,所以|4k-0+k|k2+1≤1,所以k212.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(B)A.3B.22C.23D.2解析:因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,当点P与圆心的距离最小时,切线长PC,PD最小,此时四边形OCPD的面积最小,圆心到直线3x+4y=15的距离d=|-15所以|PC|=|PD|=d2-r所以四边形OCPD的面积S=2×12|PC|r=2213.(多选题)(2022·江苏江阴高三检测)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则下列说法正确的是(BD)A.直线AB的方程为y=2x+2B.两圆有两条公切线C.线段AB的长为6D.圆O上一动点E,圆M上一动点F,则|EF|的最大值为5+3解析:圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,故B正确;圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2,则