衡阳市重点中学2025届数学高一下期末经典模拟试题含解析

衡阳市重点中学2025届数学高一下期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．32．若直线经过点，则此直线的倾斜角是（）A． B． C． D．3．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．4．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（）A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水B．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水C．明天该地区降水的可能性为D．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水5．已知，且，则的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．206．中，，则（）A． B． C．或 D．07．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=2bsinC，B≤πA．π6 B．π4 C．π8．设,则()A． B．C． D．9．若，满足不等式组，则的最小值为（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-210．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程的解集是___________12．计算：__________．13．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.14．角的终边经过点，则___________________．15．若数列的前项和为，则该数列的通项公式为______.16．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为_________.2456825355575三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____.18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形.（1）求证：平面；（2）若为的中点，，求证：平面平面.19．已知平面向量，，，其中，（1）若为单位向量，且，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.20．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围.21．已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．（1）求圆C的标准方程：（2）求过与圆C相切的直线方程：（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．2、D【解析】

先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值。【详解】，选D.【点睛】先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值。需要注意的是斜率不存在的情况。3、B【解析】

先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，所以几何体的体积为.故选B【点睛】本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】

预报“明天降水的概率为”，属于随机事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.【详解】由题意，天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指明天下雨的可能性是，故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件的概念及其概率，其中正确理解随机事件的概率的概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5、C【解析】

由题意可得，则，展开后利用基本不等式，即可求出结果．【详解】因为，且，即为，则，当且仅当，即取得等号，则的最小值为.故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．6、D【解析】

根据正弦定理把角化为边，可得，然后根据余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得结果.【详解】由，所以，即由，又所以，则故，又故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.7、A【解析】

利用正弦定理可求得sinB=12【详解】因为c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinB=1【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度较小.8、C【解析】

函数，函数且，求出【详解】因为且且所以故选：C【点睛】本题考查的是与反三角函数有关的定义域问题，较简单.9、A【解析】

画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出的最小值．【详解】画出，满足不等式组表示的平面区域，如图所示平移目标函数知，当目标函数过点时，取得最小值，由得，即点坐标为∴的最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10、B【解析】

根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.【详解】因为及都是上的增函数，故，，又，故，选B.【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

方程的根等价于或，分别求两个三角方程的根可得答案.【详解】方程或，所以或，所以或.故答案为：或.【点睛】本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用.12、【解析】

分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.13、【解析】

可以利用前项的积与前项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，数列中，，且，则当时，；当时，，则，当时，；当时，，则，所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】

先求出到原点的距离,再利用正弦函数定义求解.【详解】因为,所以到原点距离,故.故答案为：.【点睛】设始边为的非负半轴,终边经过任意一点,则：15、【解析】

由，可得出，再令，可计算出，然后检验是否满足在时的表达式，由此可得出数列的通项公式.【详解】由题意可知，当时，；当时，.又不满足.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但要对是否满足进行检验，考查运算求解能力，属于中等题.16、60【解析】

由样本中心过线性回归方程，求得，，代入即可求得【详解】由题知：，，将代入得故答案为：60【点睛】本题考查样本中心与最小二乘法公式的关系，易错点为将直接代入求解，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值.【详解】当时，，∴．当时，，①，②①②，得，化简得，或，∵数列是递减数列，且，∴舍去．∴数列是等差数列，且，公差，故．【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点.18、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】

（1）根据底面为菱形得到，根据线面垂直的性质得到，再根据线面垂直的判定即可得到平面.（2）首先利用线面垂直的判定证明平面，再利用面面垂直的判定证明平面平面即可.【详解】（1）因为底面为菱形，所以.平面，平面，所以.平面.（2）因为底面为菱形，且所以为等边三角形.因为为的中点，所以.又因为，所以.平面，平面，所以.平面.因为平面，所以平面平面.【点睛】本题第一问考查线面垂直的判定和性质，第二问考查面面垂直的判定，属于中档题.19、（1）或；（2）.【解析】

(1)设,根据和列出关于的方程求解即可.(2)根据垂直数量积为0,代入的模长,求解得.再根据夹角公式求解即可.【详解】（1）设,由和可得：∴或,∴或（2）∵,即,又,,∴,∴向量,夹角的余弦值【点睛】本题主要考查了向量平行的性质与单位向量的求解.同时也考查了根据数量积与模长求解向量夹角的方法等.属于中档题.20、（1），（2）；.（3）【解析】

（1）由相邻最高点距离得周期，从而可得，由对称性可求得；（2）结合正弦函数性质可得最值．（3），先由半个周期大于得出的一个范围，在此范围内再寻找，求出对称轴，由对称轴且得的范围．【详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，而，又因为的图象关于直线对称，所以，即，又，所以.综上，，.（2）由（1）知，当时，，所以，当即时，；当，即时，.（3），的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，，即，令，得，且，得，当时，，当时，，当时，，故所求范围.【点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦函数的最值，考查函数的对称性．掌握正弦函数性质是解题关键．21、（1）（2）或（3）直线RS恒过定点【解析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可【详