高考数学第一轮复习复习第4节　基本不等式（讲义）

第4节基本不等式[课程标准要求]1.掌握基本不等式ab≤a+2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式ab≤a(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为ab3.基本不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2P(简记:积定和最小).a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2≥ab成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a1.ba+a2.ab≤a+3.a2+b224.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(2)a>0,b>0,c>0则a+b+5.a2+b22≥a6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-b2a或b≥2a-1.当x<0时,函数y=x+4xA.有最大值-4 B.有最小值-4C.有最大值4 D.有最小值4解析:y=x+4x=-[(-x)+(-4x)]≤-2当且仅当x=-2时,等号成立.2.已知x,y为正实数,且xy=4,则x+4y的最小值是(B)A.4 B.8 C.16 D.32解析:法一因为x,y为正实数,且xy=4,则x+4y≥24xy法二由题意,由正实数x,y,且xy=4,可得y=4x,则x+4y=x+16x≥2x·3.(2022·山东滨州三校联考)若函数f(x)=x+1xA.1+2 B.1+3C.3 D.4解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(4.(必修第一册P48习题T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

解析:因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(即x=34答案:9利用基本不等式求最值直接法[例1](3-a解析:因为-6<a<3,所以3-a>0,a+6>0,由基本不等式可得(3-a)(a+6)答案:9利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.配凑法[例2]若x<23,则f(x)=3x+1+9A.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3解析:因为x<23f(x)=3x-2+93=-[(2-3x)+92≤-2(2当且仅当2-3x=92即x=-13故选C.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.常数代换法[例3](1)(2022·辽宁鞍山二模)已知正实数a,b满足a+b=2,则4b+1A.72 B.92 C.5(2)已知正数a,b满足4a+b=ab,则a+b的最小值为()A.3 B.9 C.16 D.25解析:(1)4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4ab+ba+5)≥即a=23,b=4(2)因为4a+b=ab,所以1a+4所以a+b=(a+b)(1a+4b)=5+ba因为a>0,b>0,所以ba+4ab(当且仅当ba=4[典例迁移1]本例中(1)的条件不变,求4b+1+解:因为a>0,b>0,且a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4.所以14所以4b+1+1a+1=14(4b+1+1a+1)[(a+1)+(b+1)]=14[4+1+4(a+1[典例迁移2]本例中(1)的条件不变,求(1+1a)(1+1解:因为a+b=2,所以ab≤(a+b2所以1ab所以(1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab[典例迁移3]本例(2)中条件变为正数a,b满足a+b=ab-1,求a+b的最小值.解:因为a+b=ab-1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-1+b=1+常值代换法主要解决以下最值问题已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求ax+by型的最值以及形如或可化为ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+by)·消元法[例4]已知x+y=1,y>0,x≠0,则12|xA.12 B.14 C.34解析:由x+y=1,y>0,得y=1-x>0,解得x<1且x≠0,当0<x<1时,12|x|+|x|y+1=x+2-=14+(2-x4x+x2-x当且仅当2-x4x=当x<0时,12|x|+|x|y+1=-(=2-x=-14+(2-x-4x+当且仅当2-x-即x=-2时,取“=”.综上,最小值为34通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.[针对训练]1.已知a>0,b>0,则2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6解析:因为a>0,b>0,所以2ab+1a+1b≥2ab+2.已知函数f(x)=-x2A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值-4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值-4解析:f(x)=-x2x=-(x-1+1x+1)=-(x+1+=-(x+1)+1-(因为x<-1,所以x+1<0,-(x+1)>0,所以f(x)≥2+2=4,当且仅当-(x+1)=1-(故f(x)有最小值4.故选A.3.已知a>0,b>0,a+2b=3,则1a+1b的最小值为解析:因为a+2b=3,所以13a+23b=1.所以1a+1b=(1a+1b)(13a+23b)=13+23+答案:1+24.已知正实数a,b满足ab-b+1=0,则1a+4b的最小值是解析:由ab-b+1=0可得a=b-由a=b-所以1a+4b=bb-易知1b-1当且仅当1b-1=4(b-1),即b=32,a=答案:9基本不等式的综合应用[例5](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为()A.2 B.22 C.4 D.9(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,则实数m的取值范围是.

解析:(1)因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn因为mn+2nm≥2m当且仅当mn=2nm所以a≤22,故实数a的最大值为22.故选B.(2)由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x当且仅当4xy=由题意得,(x+y)min<m2-24m,即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.答案:(1)B(2)(-∞,-1)∪(25,+∞)(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.[针对训练]1.若关于x的不等式4xa+A.4 B.3 C.2 D.1解析:因为x>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4对任意x>2恒成立⇔4(x-2)a+1x-2+8a≥4对任意x>2恒成立⇔[4(x-2)a+12.已知函数f(x)=x2-(a+1a)x+1.若∀a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,则实数x的取值范围是解析:由题意,∀a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,可知x2+1≥x(a+1a)恒成立.当x≤0时,显然成立.当x>0时,则有a+1a≤x+设g(a)=a+1a仅需g(a)max≤x+1x即可,而a∈[1,2]时,g(a)∈[2,52],所以x+1x解得x∈(0,12综上,x∈(-∞,12答案:(-∞,12基本不等式的实际应用[例6]如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,人行道的宽分别为5m和8m,设休闲区的长为xm.(1)求矩形ABCD所占面积S(单位:m2)关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,问:休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少?解:(1)因为休闲区的长为xm,休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,所以休闲区的宽为1000xm,从而矩形ABCD的长与宽分别为(x+16)m,(1(2)S=(x+16)(1000x+10)=10(x+1600当x=1600x,即x=40时,取等号,则休闲区的宽为100040=25(m).因此要使公园所占面积最小,休闲区A1B利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值.[针对训练](2022·山东济南模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.A.135 B.149 C.165 D.195解析:由题意得,N=1000v0.7v[知识链接]若a>0,b>0,则21a+1b≤ab当且仅当a=b时,等号成立,其中21a+如图,在半圆O中,设AC=a,BC=b,且CD⊥AB,CE⊥OD,OF⊥AB,则R=OD=OF=a+b2,OC=R-b=a-b2,CF=OC2+OF2=a2+b22,在Rt△ADB中,由射影定理得CD=ab,在Rt△OCD中,由射影定理得CD2[典例]1.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1解析:对于选项A,B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,又xy=(x+y所以(x+y)2-3[(x+y即1=(x+y)2所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;对于选项C,D,由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤x2当且仅当x=y时,取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选BC.2.(多选题)(2022·山东菏泽二模)设a,b为两个正数,定义a,b的算术平均数为A(a,b)=a+b2,几何平均数为G(a,b)=ab.20世纪50年代,美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”,即LpA.L0.5(a,b)≤L1(a,b) B.L0(a,b)≤G(a,b)C.L2(a,b)≤A(a,b) D.Ln+1(a,b)≤Ln(a,b)解析:对于A,L0.5(a,b)=a+b1a+1b=ab≤L1(a,b)=a+b2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;对于B,L0(a,b)=21a+1b=2aba+b≤2ab2可利用不等式链求最值,证明不等式等,其关键是要对其灵活变形.[拓展演练]1.已知x>0,y>0,且x+2y=3,则下列说法正确的是()A.1x+2B.x+2yC.xy的最大值为9D.2x+1+4y≥8解析:因为x>0,y>0,x+2y=3,1x+2y=13(x+2y)(1x+2y)=13(5+2xy+2yx)≥13(5+22xy·2yx)=3,当且仅当2xy=2yx,即x=y=1时,等号成立,A正确;由22xy≤x+2y得(x+2y)2≤2(x+2y)=6,所以x+2y≤6,当且仅当x=2y=2.(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥1B.2a-b>1C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2解析:对于选项A,因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b2≥12,正确;对于选项B,易知0<a<1,0<b<1,所以-1<a-b<1,所以2a-b>2-1=12,正确;对于选项C,令a=14,b=34,则log214+log234=-2+log234<-2,错误;对于选项D,因为2=2(a+b),所以[2(a+b)]2-(a+b[例1]若对任意实数x>0,y>0,不等式x+xy≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为()A.2-12 C.2+1 D.2解析:由题意可得a≥x+xyx+设yx=t(t>0),则1+yx再设1+t=m(m>1),则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m-1)2=mm2-[例2]已知a>b>0,则2a+4a+bA.4×44 C.