高考数学第一轮复习复习第3节　函数的奇偶性与周期性（讲义）

第3节函数的奇偶性与周期性[课程标准要求]1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,称非零常数T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.(3)若f(x+a)=1f(4)若f(x+a)=-1f3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0.(3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x=p2(4)若函数y=f(x)满足f(m)+f(n)=q,且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于点(p2,q2)对称.特别地,当q=0时,y=f(x)的图象关于点(1.(多选题)(必修第一册P84例6改编)下列说法正确的是(AB)A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B.图象关于y轴对称的函数是偶函数C.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数D.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0解析:由奇函数、偶函数的性质,知A,B说法正确;对于C,由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,错误;对于D,由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,则f(x)须在x=0处有意义才满足f(0)=0,错误.2.(2022·河北衡水月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(B)A.-13 B.C.12 D.-解析:因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13,则f(A.-53 B.-1C.13 D.解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x)=f(-x),所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,f(53)=f(53-2)=f(-134.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=.

解析:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,故f(x)=2x-1(x≥0),则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.答案:-75.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=.

①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.解析:由条件①②③可知函数是对称轴为直线x=1,定义域为R的奇函数,可写出满足条件的函数f(x)=2sinπ2答案:2sinπx函数奇偶性的判断及应用1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.答案:12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+a,则a=;当x<0时,f(x)=.

解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即1+a=0,所以a=-1.所以当x≥0时,f(x)=2x-2x-1,设x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x-2(-x)-1=2-x+2x-1,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-x+2x-1,所以f(x)=-2-x-2x+1.答案:-1-2-x-2x+13.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2(2)f(x)=ln1-(3)f(x)=-(4)f(x)=4-解:(1)函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)由1-x1+又f(-x)=ln1+x1-x=ln(1--f(x),故f(x)为奇函数.(3)法一(定义法)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.法二(图象法)作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.(4)因为4-x所以函数的定义域关于原点对称,所以f(x)=4-x2又f(-x)=4-(-x)所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(1)判断函数奇偶性的方法①首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)与f(x)之间的关系.②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.(2)根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法:根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.函数的周期性及应用1.(2022·安徽安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)等于(B)A.336 B.338C.337 D.339解析:因为f(x+6)=f(x),所以函数的周期T=6,于是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2023=6×337+1,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=337×1+1=338.2.(2023·四川成都模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为.

解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.答案:73.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则x∈[7,9]时的函数解析式是.

解析:由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函数的周期是2.设x∈[7,9],则-1≤x-8≤1,因此f(x-8)=(x-8)2,根据函数的周期是2可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x∈[7,9])函数性质的综合应用函数的单调性与奇偶性[例1]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a解析:由题意,知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(-log25.1)>g(20.8),则c>a>b.故选C.(1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小.(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去“f”变成常规不等式,转化为x1<x2(或x1>x2)求解.函数奇偶性(对称性)与周期性[例2]函数f(x)是定义在R上的非常数函数,满足f(2-x)=f(2+x),且f(4+x)为偶函数,则f(x)()A.是偶函数,也是周期函数B.是偶函数,但不是周期函数C.是奇函数,也是周期函数D.是奇函数,但不是周期函数解析:因为f(4+x)为偶函数,所以f(4+x)=f(4-x).又f(2-x)=f(2+x),故直线x=2和x=4是f(x)的两条对称轴,所以f(x)是周期T=2×|4-2|=4的函数,所以f(x)=f(x+4),而f(4+x)为偶函数,于是f(x)是偶函数.故选A.函数图象的对称与周期关系常见结论(1)若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|.(2)若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|.(3)若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.单调性、奇偶性与周期性的综合问题[例3](多选题)设y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数y=f(x)的判断正确的是()A.y=f(x)是周期为2的函数B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.y=f(x)在[0,1]上是增函数D.f(12解析:因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x),所以函数f(x)的周期T=2,所以A正确;因为f(-x)=f(x),所以f(-x)=f(x+2),所以对称轴x=-x+x+22=1,即函数图象关于直线x=1对称,所以B正确;由函数f(x)为偶函数得图象关于y轴对称,又在[-1,0]上是增函数,所以在[0,1]上单调递减,故C不正确;因为f(x+1)=-f(x),令x=-12可得f(12)=-f(-1解决单调性、奇偶性与周期性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.[针对训练]1.(2022·山东日照三模)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(x)+f(x-2)≥0的解集为()A.[1,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,2] D.(-∞,1]解析:因为f(x)是奇函数,在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上是减函数,又由f(x)是奇函数,则不等式f(x)+f(x-2)≥0可化为f(x-2)≥f(-x),所以x-2≤-x,解得x≤1.故选D.2.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()A.f(-12)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),即f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.3.(2022·贵州贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当-1≤x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.14 B.C.-15 D.-解析:依题意,知f(2+x)=f(-x)=-f(x),则f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期函数,且周期为4.又2<log25<3,则-1<2-log25<0,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log2[例1]已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),函数y=f(x+1)为偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2022)+f(2023)等于()A.-1 B.1C.504 D.无法确定解析:因为定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),故f(x)为奇