中考数学复习专题06 圆与射影定理结合型压轴题专题（解析版）

专题06圆与射影定理结合型压轴题专题(解析版)知识剖析知识剖析射影定理，又称“欧几里德定理”:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。1.(长沙中考)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQ⊥MN,NE平分∠MNP,交PM于点E,交PQ于点F.【解答】解：(1)∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN=90°,∵PQ⊥MN,∴∠PQN=∠MPN=90°,∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°,∴∠NPQ=∠PMQ,∵∠PQN=∠PQM=90°,:·:·故答案为：1;设QN,∴,设QN,∴,则则x²+x-1=0,解得，,2.(北雅)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(不与M、N重合),PH⊥MN于H点，过N点作NQ与PH平行交MP的延长线于Q点.(1)求∠QPN的度数；【解答】(1)解：∵MN是直径，∴∠MPN=90°,∴∠QPN=90°;(2)证明：∵PH⊥MN,∴∠PHM=90°,∵QNIIPH,∴∠QNM=∠PHM=90,∴ON⊥QN,(3)解：∵∠MNP+∠PNQ=90,∠PNQ+∠Q=90°,∴∠MNP=∠Q,∵∠MPN=∠OPN,,同理得，△MHPO△MPN,∵,∴HN=MP,设PQ=MN=a,MP=b,,,3.(长沙中考)如图，点A,B,C在OO上运动，满足AB²=BC²+AC²,延长AC至点D,使得∠DBC=∠CAB,点E是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,交BC的延长线于点N,交OO于点M(点M在劣弧AC上)..··.··(1)BD是OO的切线吗?请作出你的判断并给出证明；(3)若OO的半径为1,设FM=x,试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.【解答】解：(1)BD是QO的切线.证明：如图，在△ABC中，AB²=BC²+AC²,∴∠ACB=90°.又点A,B,C在OO上，∴AB是OO的直径.∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.又∠DBC=∠CAB,∴∠DBC+∠ABC=90°.∴∠ABD=90°.∴BD是OO的切线..∴CD.AD=AC²,∴CD(CD+AC)=AC°,如图，连接OM.。,。,BC=AB·sina=2sina.(:r=1,∴AB=2·)AC=AB·cosa=2cosa.在RtABFN中，∴.即y=x.∵FM⊥AB,∴FM最大值为F与O重合时，即为1.∴0<x·1.4.(长沙中考)如图，四边形ABCD内接于◎O,对角线AC为◎O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点，连接DB,DC,DF.(1)求∠CDE的度数；解：(1)∵对角线AC为◎O的直径，∴∠ADC=90°,∴∠EDC=90°;(2)证明：连接DO,∵∠EDC=90°,F是EC的中点，∴DF=FC,∴∠FDC=∠FCD,∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC,∵∠OCF=90°,∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,∴DF是OO的5.(青竹湖三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,D是AC的中点，◎O经过A、B、D三点，CB的延长线交◎O于点E.(1)求证：AE=CE;(2)EF与QO相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O的直径；(3)在(2)的条件下，若CF:CD=n(n>0),求sin∠CAB.F,过E作EG⊥BC于G,延长GE交AD于H.(2)若DF=9,求QO的半径.(2)解：∵∠BDF=90°,令BD=4x,BF=5x,则(4x)²+9²=(5x)²,∴x=2,BD=12,(1)求证：AC平分∠DAB;(2)若BC=5,求阴影部分的面积；(3)若CD=3,求PC的长度(射影定理).PP【解答】(1)证明：连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD,∴∠OCP=∠D=90°,∴OC//AD.∴∠CAD=∠OCA=∠OAC.即AC平分∠DAB.,9∴阴影部分的面积为(3)解：过点C作CH⊥AB垂足为点H,如图：由(2)得：OC=OB=5,(2)∵AC平分∠DAB,CH⊥AB,CD⊥AD,∴CH=CD=3,∵∠ACB=∠BHC=90°,7.(雅礼)如图，已知BC⊥AC,圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD·AO=AM·AP.(1)连接OP,证明：△ADM∽△APO;∵OP=OP,OD=OC,∴△ODP≌△OCP,∴∠ODP=∠OCP,*BC⊥AC,∴∠OCP=90°(2)连接CD.由(1)可知：PC=PD,*AM=MC,∴AM=2MO=2R,在Rt△AOD中，OD²+AD²=OA²,∴R²+24²=(3)已知求tanC.第7页共12页【解答】(1)证明：连接OA,∵PB与QO相切于点B,∴∠OBP=90°,(2)①由(1)得△OAP≌△OBP,∴∠APO=∠BPO,∴PO平分∠APB,∵PA=PB,∴PE⊥AB,,PE=√AP²-AE²=√13²-5²;·DE,9.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的且CE=FE.【解答】证明：(1)连接DF,OD,过点O作OH⊥AC于H,∵DE⊥AC,CE=FE,∴DF=DC,∴∠C=∠DFC,*四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD=180°,∵∠AFD+∠CFD=180°,(2)∵OH⊥AC,DE⊥AC,OD⊥DE,∴四边形ODEH是矩形，∴DE=OH,OD=EH,∵AB=10,∴AO=0B=0D=EH=5,∴DE=√OE²-EH²=√41-25=4,由射影定理得：DE²=CE×AE,∴16=CE(10-CE),∴CE=2或8(舍去),∴CE=2.10.如图，已知QO的半径为2,AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M,将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P,使AP=OA,连接PC.(2)点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交弧BC于点F(F与B、C不重合).问GE-GF是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.(2)GE·GF为定值，理由如下：如图2,···11.如图，已知AB是半圆O直径，点C为半圆上一动点，连接AC,过点C作CD⊥AB于点D,将△ACD沿AC翻折，得到△ACE,AE交半⊙0于点F.【解答】(1)证明：连接OC,将△ACD沿AC翻折，得到△ACE,∴△ACD≌△ACE,∴∠EAC=∠DAC,∵OA=0C,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠EAC,∴OC//AE,∵∠AEC=90°,∴∠ECO=90°,∴OC⊥EC,∴直线EC是QO的切线；(2)解：连接BC,∵AB是直径，∴∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴CD²=AD·BD,∵CD=CE=6,AD=8,=7.5∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CFE=∠DBC,而E点在抛物线而E点在抛物线2),过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F