《6.3向心加速度》教学设计、导学案同步练习

15/28《6.3向心加速度》教学设计【教材分析】1．匀速圆周运动的加速度方向；2．向心加速度的大小。【教学目标】1．理解向心加速度的概念。2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。【核心素养】物理观念：建立向心加速度的方向和大小的方法微元法的物理观念。科学思维：培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质。科学探究：体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。【教学重点】1．理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。2．向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。【教学难点】向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此做曲线运动的物体，一定有加速度，圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢？——这就是我们今天要研究的课题。回忆做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此一定存在加速度。为引出本节课题做圆周运动的物体，加速度的大小和方向做铺垫。讲授新课一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向1．向心加速度的方向：总是指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。3．向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。注意：无论an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动思考讨论1：变速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度的大小。因此一般情况下，物体做圆周运动的加速度方向不一定指向圆心。思考讨论2：匀速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？匀速圆周运动是否为匀变速运动？匀速圆周运动的加速度和向心加速度含义相同。由于匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，其大小不变，但方向时刻在改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动。思考讨论3：向心加速度与合加速度之间有什么关系？对于匀速圆周运动而言，物体的加速度即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心；物体做变速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。对于非匀速圆周运动，沿切线方向的加速度改变线速度的大小。4．向心加速度的物理意义思考讨论：向心加速度是从哪个角度描述速度变化快慢的？说明理由？因为向心加速度的方向总指向圆心，与速度方向垂直，所以向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量，向心加速度大，即速度方向改变得快。二、向心加速度的大小1．向心加速度表达式思考讨论：由向心力的表达式，你能推导出向心加速度表达式吗？由向心力：Fn=m或Fn=mrω2根据牛顿第二定律F＝ma，得an=或an=rω2注意：向心加速度的公式适用于任何圆周运动。2．向心加速度的各种表达式由匀速圆周运动向心加速度的基本公式，结合各物理量间的关系，你能推导出匀速圆周运动向心加速度的几种表达形式？由an=rω2an=v=ωrω=2π/T=2πf=2πn得an=vωan=（）2ran=（2πf）2ran=（2πn）2r思考与讨论：从公式an＝v2/r看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。B、C两点在同一轮上，同轴传动时，这两点的角速度相同，由公式an＝ω2r知ω一定时，向心加速度与半径成正比。A、B两点在同一个链条上，两点的线速度大小相同，由an＝v2/r知v一定时，向心加速度与半径成反比。【例题】如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。分析由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力Fn＝mgtanθ根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度：an＝Fn/m＝gtanθ（1）根据几何关系可知小球做圆周运动的半径r＝lsinθ（2）把向心加速度公式an＝ω2r和（2）式代入（1）式，可得cosθ＝g/lω2从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。拓展学习推导向心加速度公式用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。1．向心加速度的方向（1）一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，画出物体经过A、B两点时的速度方向。（2）平移vA至B点，根据矢量运算法则，做出物体由A点到B点的速度变化量Δv。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以，Δv与vA、vB构成等腰三角形。（3）假设由A点到B点的时间逐渐减小直到极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv。Δv逐渐趋向于平行OAA点到B点的时间极短时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。2．向心加速度的大小推导向心加速度公式由图可知，当Δt足够小时，vA、vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ＝v\Δv，在Δt时间内，速度方向变化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得：Δv＝vωΔt将此式代入加速度定义式a＝Δv\Δt，并把v＝ωr代入，可以导出向心加速度大小的表达式为an＝ω2r上式也可以写成an＝v2/r它与根据牛顿第二定律得到的结果是一致的。课堂练习1．质量相等的A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2：3，而转过角度之比为3：2，则A、B两质点周期之比为——————，向心加速度之比为——————。答案：2：3；1：12．一物体在水平面内沿半径R=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度为0.2m/s2，它的角速度为_______rad/s，它的周期为_______s。答案：1；2π3．关于向心加速度的说法正确的是（）A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量答案：C4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，则它们（）A．线速度大小之比为3：4B．角速度大小之比为3：4C．圆周运动的半径之比为8：9D．向心加速度大小之比为1：2答案：C5．转笔是一项深受广大中学生喜爱的休闲活动，其中也包含了许多的物理知识。假设某同学将笔套套在笔杆的一端，在转笔时让笔杆绕其手指上的某一点O在竖直平面内做匀速圆周运动，则下列叙述中正确的是（）A．笔套做圆周运动的向心力是由笔杆对其的摩擦力提供的B．笔杆上离O点越近的点，做圆周运动的向心加速度越大C．当笔杆快速转动时笔套有可能被甩走D．由于匀速转动，笔套受到的摩擦力大小不变答案：C拓展提高1．两架飞机在空中沿水平面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路径之比为2：3，运动方向改变的角度之比为4：3．它们的向心加速度之比为多少（）A．2：3B．8：9C．2：1D．1：2答案：B2．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度大小之比，线速度大小之比，向心加速度大小之比分别为（）A．ωA：ωB：ωC=1：3：3B．vA：vB：vC=3：3：1C．aA：aB：aC=3：6：1D．aA：aB：aC=1：9：3答案：B3．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（）A．因为向心加速度大小不变，故是匀变速运动B．由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动C．用线系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，线断后。物体受到离心力作用，而背离圆心运动D．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力答案：B观察图片说出向心加速度的方向。学生思考讨论学生思考讨论问题2学生思考讨论问题3思考讨论向心加速度的物理意义学生由向心力的表达式推导出向心加速度表达式推导出向心加速度的各种表达式。学生思考与讨论在教师的引导下分析计算学生阅读课文理解用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。学生练习理解向心加速度的方向。理解做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，切向加速度改变速度的大小。理解匀速圆周运动加速度和向心加速度相同，方向时刻在改变理解向心加速度与合加速度之间的关系。理解向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。锻炼学生的推导能力锻炼学生的逻辑思维能力。理解公式an＝v2/r和an＝ω2r的含义。锻炼学生的分析计算能力锻炼学生的自主学习能力，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。巩固本节知识课堂小结1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。an=an=rω2an=（）2ran=（2πf）2r3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。梳理自己本节所学知识进行交流根据学生表述，查漏补缺，并有针对性地进行讲解补充。板书一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向1．方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。3．物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。二、向心加速度的大小an=an=rω2an=（）2ran=（2πf）2r《6.3向心加速度》导学案【学习目标】1．理解向心加速度的概念。2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。【学习重难点】1．理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。2．向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。【新知探究】要点一对向心加速度的理解1．加速度定义公式：a＝eq\f(Δv,Δt)，a的方向与Δv的方向一致。2．速度的变化量Δv＝是矢量式，其运算规律符合平行四边形定则。3．方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。（1）匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δv就是由于速度方向的变化产生的。0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。→0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。4．物理意义：描述线速度方向改变的快慢。5．圆周运动的性质：不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。要点二向心加速度的几种表达式1．不同形式的各种表达式（1）对应线速度：an＝eq\f(v2,r)（2）对应角速度：an＝rω2（3）对应周期：an＝eq\f(4π2,T2)r（4）对应转速：an＝4π2n2r（5）推导公式：an＝ωv2．理解（1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增加或周期的减小而增大。（2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。（3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。an与r的关系图像，如图1所示。图1由an—r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动（1）向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。①对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，其只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。②图2而对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图2所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，还有切向加速度。向心加速度表达速度方向改变的快慢，切向加速度表达速度大小改变的快慢。（2）an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动，要注意的是变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度。要求某一时刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。【学习小结】1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。答疑解惑如何理解向心加速度的含义？分析：速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向（如坐标轴）之间的夹角来描述。做匀速圆周运动的物体的速度方向（圆周的切线方向）时刻在变化，在Δt时间内速度方向变化的角度Δφ等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度。因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度。即ω＝eq\f(Δφ,Δt)＝eq\f(2π,T)上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢。角速度相等，速度方向变化的快慢相同。由向心加速度公式an＝ω2r＝eq\f(v2,r)＝vω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从a＝vω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积。图3例如：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A、B、C三点，它们有相同的角速度ω，但线速度不同，，，，如图3所示。因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等，。又如：A、B两个物体分别沿半径为和做圆周运动，＝eq\f(1,2)，它们的角速度不同，设，因此它们的线速度的关系为，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即。但速度方向变化的快慢却不同。综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率。速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢。典例剖析一、对向心加速度的理解例1关于向心加速度，下列说法正确的是（）A．向心加速度是描述线速度变化的物理量B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D．向心加速度的大小也可用a＝eq\f(vt－v0,t)来计算解析加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对。只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错。公式a＝eq\f(vt－v0,t)适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错。答案B方法总结深刻理解向心加速度的物理意义是描述速度方向改变快慢的，方向始终指向圆心，所以它是变量。二、对向心加速度的表达式的理解例2如图4所示图4为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知（）A．质点P的线速度大小不变B．质点P的角速度大小不变C．质点Q的角速度随半径变化D．质点Q的线速度大小不变解析由an＝eq\f(v2,r)知：v一定时，an∝eq\f(1,r)，即an与r成反比，由an＝rω2知：ω一定时，an∝r。从图像可知，质点P的图线是双曲线，即a与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变的。同理可知：质点Q的角速度是不变的。答案A方法总结由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r分析，an究竟与半径成正比还是成反比，要看清是v一定还是ω一定。三、传动装置的向心加速度的计算例3如图5所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则（）图5A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，再比较Q、N两点的向心加速度大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度ω相等，又因为RQ>RN，则由an＝ω2r可知，aQ>aN，综上可见，aM>aN。选项A正确。答案A方法总结分析传动问题关键有两点：其一是同一轮上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同。再正确的选择an＝ω2r或an＝v2/r，进行求解。效果自测1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知an与r成反比B．由an＝ω2r知an与r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω与r成反比D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比答案D解析由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k为定值。只有当v一定时，才有an与r成反比；只有当ω一定时，才有an与r成正比。2．在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（）A．角速度B．线速度C．向心加速度D．转速答案AD解析线速度和向心加速度都是矢量，方向时刻改变，是变量，故只有AD正确。3．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（）A．它们的方向都是沿半径指向地心B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小答案BD解析如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cosφ。由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误。4．一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为（）A．2m/s2 B．4m/s2 C．0 答案D5．甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30r/min，乙球的转速是15r/min，则两小球的向心加速度之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1答案C解析ω＝2πn，an＝ω2r，故eq\f(a甲,a乙)＝（eq\f(n甲,n乙)）2eq\f(r甲,r乙)＝8∶1，C项正确。6．如图所示，压路机前后轮半径之比是1∶3，A、B分别是前后轮边缘上的点，C为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半。则当压路机运动后三点A、B、C的角速度之比为________，向心加速度之比为________。答案3∶1∶16∶2∶1解析压路机在地面上行驶，不打滑时，两轮边缘的线速度大小相等，这里的地面好像是连接两轮的皮带。因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A、B线速度大小相等，而同一轮上的B、C点具有相同的角速度。根据vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr可得ωA∶ωB＝eq\f(vA,rA)∶eq\f(vB,rB)＝eq\f(1,rA)∶eq\f(1,rB)＝3∶1所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1根据an＝ω2r，可得aA＝ωeq\o\al(2,A)rA，aB＝ωeq\o\al(2,B)rB，aC＝ωeq\o\al(2,C)rC所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ωeq\o\al(2,C)·3rA）∶（ωeq\o\al(2,C)·eq\f(3,2)rA）＝9∶3∶eq\f(3,2)＝6∶2∶1．探究归纳题型①对向心加速度的认识例1：关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知，匀速圆周运动的向心加速度恒定B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．匀速圆周运动不属于匀速运动D．向心加速度越大，物体速率变化越快答案BC解析向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对，D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，很显然C正确。拓展探究下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（）A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度越大，物体速度变化越大C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量答案C归纳总结深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性，是做对的前提。题型②向心加速度的表达式的应用例2：如图1所示，图1一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（）A．A、B两点具有相同的角速度B．A、B两点具有相同的线速度C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心D．A、B两点的向心加速度数值相同答案A解析A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如上图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的轨道半径rA＝Rsin60°，B运动的轨道半径rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B错；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D错。拓展探究关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是（）A．由于an＝eq\f(v2,r)，所以线速度大的物体向心加速度大B．由于an＝eq\f(v2,r)，所以旋转半径大的物体向心加速度小C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物体向心加速度大D．以上结论都不正确答案D归纳总结分析此类问题，要理解线速度、角速度、向心加速度的概念和定义式及v、ω、an、r之间的关系，并能正确选择关系式。题型③传动装置的向心加速度的计算例3：如图2所示，图2O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（）A．1∶2∶3 B．2∶4∶3C．8∶4∶3 D．3∶6∶2答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。归纳总结讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：（1）皮带传动问题，两轮边缘线速度相等，常选择公式an＝eq\f(v2,r)。（2）同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。《6.3向心加速度》分层作业(时间：40分钟分值：100分)[合格考达标练]一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)1．关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝eq\f(v－v0,t)来计算B[向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项C错误；公式a＝eq\f(v－v0,t)适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误．]2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是()A．甲的线速度大于乙的线速度B．甲的角速度比乙的角速度小C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快D[由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错；向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对．]3．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min.则两球的向心加速度之比为()A．1∶1 B．2∶1C．4∶1 D．8∶1D[由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωeq\o\al(2,A)RA∶ωeq\o\al(2,B)RB＝8∶1，D正确．]4．(多选)一个小球以大小为an＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1m，则下列说法正确的是()A．小球运动的角速度为2rad/sB．小球做圆周运动的周期为πsC．小球在t＝eq\f(π,4)s内通过的位移大小为eq\f(π,20)mD．小球在πs内通过的路程为零AB[由a＝ω2r得角速度ω＝eq\r(\f(a,r))＝2rad/s，A对；周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，B对；小球在t＝eq\f(π,4)s内通过eq\f(1,4)圆周，位移大小为eq\r(2)r＝eq\r(2)m，C错；小球在πs内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2πm，D错．]5．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为eq\f(2,3)R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为()A.eq\f(v2,R) B.eq\f(v2,2R)C.eq\f(3v2,2R) D.eq\f(3v2,4R)A[小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为eq\f(v2,R)，加速度方向竖直向上．选项A正确．]6．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anEC．anC＝eq\f(anD,2)＝2anE D．anC＝eq\f(anD,2)＝anEC[同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有eq\f(anC,anE)＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝eq\f(v2,r)，有eq\f(anC,anD)＝eq\f(1,2)，即anC＝eq\f(1,2)anD，故选C.]二、非选择题(14分)7．在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为30r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小．[解析]男女运动员的转速、角速度是相同的，由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60rad/s＝3.14rad/s由v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(4.8,3.14)m＝1.53m由a＝ω2r得a＝3.142×1.53m/s2＝15.1m/s2.[答案]3.14rad/s1.53m15.1m/s2[等级考提升练]一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)1．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为()A．ω2R B．ω2rC．ω2Lsinθ D．ω2(r＋Lsinθ)D[小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsinθ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsinθ)，选项D正确．]2.一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不