第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（基础卷）-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.故选：B2．过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线的方向向量确定直线的斜率，利用直线点斜式方程进行求解即可.【详解】由于直线的方向向量为，故直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选：A3．直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先把一般式化为斜截式，结合方程可得答案.【详解】把化为斜截式得：，故，.故选：C.4．方程组解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无数个【答案】A【分析】根据两条直线平行判断解的个数即可.【详解】因为，所以方程组表示的两条直线平行，则方程组无解．故选：A5．过点，且垂直于直线的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据垂直求出直线斜率，再利用点斜式求得正确答案.【详解】根据垂直关系得所求直线的斜率为，又过点，所以所求直线方程为，即.故选：A6．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值.【详解】过定点，也过定点，如图所示，在的方程中，令，则，在的方程中，令，则，则点，，．由二次函数性质可得，当时，S取得最小值．故选：C.7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得，最后由基本不等式即可求解.【详解】解：由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选：D.8．已知向量满足，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角坐标系将向量转化为坐标，进而转化为点关于直线对称，从而求出结果.【详解】建立如图所示直角坐标系，其中,则令，设，则，，，，问题等价于当点在线段上运动时，求的最小值，设点关于的对称点为，则，解得，,当且仅当为直线与线段的交点时取得最小值.这时由，得，符合题意.故选：D.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AB【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当时，其斜率，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且.，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.10．关于直线，则下列结论正确的是（

）A．倾斜角为 B．斜率为C．在y轴上的截距为 D．在x轴上的截距为【答案】BD【分析】将直线一般式转化为斜截式，即可根据选项逐一求解.【详解】直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误，令，得，所以直线在x轴上的截距为，故D正确.故选：BD.11．下列说法错误的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过两点的所有直线，其方程均可写为D．己知，若直线与线段有公共点，则【答案】AC【分析】根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D正确.【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；对于B，由直线得：，直线的斜率，即，又，，B正确；对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；对于D，由得：，直线恒过定点；

，，结合图象可知：，，D正确.故选：AC.12．设直线与，则（

）A．当时， B．当时，C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为【答案】ACD【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.【详解】A：时，，，易知，正确；B：时，，，则，故不成立，错误；C：时，，则，可得或，当时，，，两线重合，排除；所以，由A知：它们的距离，正确；D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.故选：ACD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，则直线的倾斜角为．【答案】【分析】先由两点间斜率公式可得，再由斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线过点，所以．设直线的倾斜角为，则，所以．故答案为：．14．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则．【答案】1【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.设点为点，设点为点，所以线段的中点为，由题意可知，于是有：，故答案为：1【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.15．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.16．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是.【答案】【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可.【详解】将直线与的方程化为一般式为，，所以到两直线的距离之和为：，所以①.当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；则动点为如图所示的四边形的边，

的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率.，，，.则的取值范围是：.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线，，分别求的取值范围，使得：(1)与相交；(2)；(3)与重合.【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）由题意可得，运算求解即可；（2）（3）由题意可得，运算求解并检验即可.【详解】（1）若与相交，等价于，即，解得且，所以当且时，与相交.（2）若，则，即，解得或，当时，，，即，符合题意；当时，，，即与重合，不合题意；综上所述：.（3）由（2）可得：.18．已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）BC边上的高所在直线过点A，且与直线BC垂直；（2）AB边的垂直平分线过AB中点，且与直线AB垂直.【详解】（1）边所在的直线的斜率，因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即；（2）边所在的直线的斜率，所以边的垂直平分线的斜率为，边中点E的坐标是，即，所以AC边的垂直平分线的方程是即．19．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y-7=0，3x+2y-11=0，且对角线AC和BD的交点为M(2,0).（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程【答案】（1）（2）【分析】（1）联立两直线方程，求出两直线的交点坐标即可.（2）利用平行四边形的对边平行以及点关于点对称，求得直线方程.【详解】（1）AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y-7=0，3x+2y-11=0联立两直线方程为解得

所以.（2）解法一：A关于的对称点为，又边所在的直线方程为即：解法二：A关于的对称点为，设边所在的直线方程为：得边所在的直线方程为解法三：设为边所在的直线上的任一点，关于点的对称点为，则得又在直线上，即边所在的直线方程为20．直线l过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)若直线l的斜率为，求的面积；(2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围；【答案】(1)16(2).【分析】（1）点斜式求出直线方程，得到A、B两点坐标，可计算的面积；（2）设直线的斜率为，表示出直线方程，得到A、B两点坐标，由求直线l的斜率k的取值范围.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：，所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，故的面积为.（2）根据题意，直线的斜率存在且，所以直线的方程为：，整理得：所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，所以，解得，所以的面积，由于的面积满足，所以，整理得：，解不等式得：，故直线的斜率的取值范围.21．已知直线l：，点.求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解之可得答案；（2）在直线m上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出m与l的交点N，由m′经过，N两点，利用点斜式即可求得直线m′的方程；（3）法一：在l上任取两点，由中点坐标公式得到它们的对称点，再由点斜式即可求得直线l′的方程；法二：任取l′上一点，求得其对称点，代入直线l的方程即可求得直线l′的方程.【详解】（1）设，由l：得，则，解得，故.（2）在直线m上取一点，如，则关于直线l的对称点必在m′上，设对称点为，则，解得，即，设m与l的交点为N，则由，解得，又m′经过点，故，所以直线m′的方程为，即.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.由中点坐标公式可得，故所以l′的方程为，即.法二：设为l′上任意一点，则关于点的对称点为，因为Q′在直线l上，所以，即直线l′的方程为.22．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；(2)求△OAB面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用中点坐标公式分别求得，，再代