7.3 组合（九大题型）-高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（解析版）

第第页7．3组合课程标准学习目标（1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养．（2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题．（3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题．（1）了解组合及组合数的概念.（2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点01组合1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．知识点诠释：（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．【即学即练1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.知识点02组合数及其公式1、组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．知识点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．2、组合数公式：（1）（，且）（2）（，且）知识点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．【即学即练2】（2024·山东潍坊·高二统考期末）（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】由.故选：C.知识点03组合数的性质性质1：（，且）性质2：（，且）知识点诠释：规定：．【即学即练3】（2024·福建宁德·高二统考期末）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得，故.故选：D.知识点04组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．（3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．（5）相同元素分组问题用“隔板法”【即学即练4】（2024·江西萍乡·高二统考期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有种．（用数字作答）【答案】50【解析】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种，当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种，根据分类计数原理得到共有（种）.故答案为：50题型一：组合概念的理解【典例1-1】（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】ABC【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．故选:ABC．【典例1-2】（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合【答案】BCD【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，则共有种排法，是排列问题；对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.故选：BCD.【变式1-1】（多选题）（2024·高二课前预习）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（

）A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1，2，3组成两位数的不同方法数D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数【答案】AB【解析】A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题；B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.故选：AB.【变式1-2】（2024·山西晋中·高二校考期末）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，故选：D【方法技巧与总结】排列、组合辨析切入点（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．题型二：简单的组合问题【典例2-1】（2024·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）.(1)写出每场比赛的两支球队；(2)写出冠亚军的所有可能情况.【解析】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合：{甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}.（2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式（符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、（乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）.【典例2-2】（2024·高二课时练习）从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．【解析】先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．【变式2-1】（2024·高二课时练习）写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合．【解析】可按顺序写出，所以所有组合为.【变式2-2】（2024·甘肃天水·高二校考阶段练习）在A、B、C、D四位候选人中，(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．【解析】（1）选举种数(种)，所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC.（2）选举种数(种)，所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD.【方法技巧与总结】利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．题型三：组合数公式的应用【典例3-1】（2024·全国·高二随堂练习）求证：．【解析】由组合数公式可知，等式成立.【典例3-2】（2024·高二课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且．求证：(1)；(2)．【解析】（1）根据组合数公式，可以得到．（2）根据组合数公式，可以得到．【变式3-1】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．（2）求等式中的n值．【解析】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程变形为，即，显然，因此，化简整理，得，而，解得，所以.【变式3-2】（2024·河南焦作·高二统考期末）已知为正整数，且，则.【答案】5【解析】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得.故答案为：.【变式3-3】（2024·江西·高二校联考期末）方程（且）的解为．【答案】2或4【解析】由题意，可知，则，所以或.故答案为：2或4.【变式3-4】（2024·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）计算：【答案】9【解析】.故答案为：9【方法技巧与总结】（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．题型四：组合数的性质【典例4-1】（2024·高二课时练习）求满足等式的所有正整数k．【解析】因为，所以或，解得或，所以满足等式的值为.【典例4-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）若，则（

）A．2 B．8 C．2或8 D．2或4【答案】A【解析】由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得或（舍去）.故选：A.【变式4-1】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由组合数性质知，，所以，所以，得.故选：A.【变式4-2】（2024·辽宁·高二校联考期末）（

）A．120 B．119 C．110 D．109【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.【变式4-3】（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）（

）A．84 B．120 C．126 D．210【答案】D【解析】因为，所以．故选：D【方法技巧与总结】计算时应注意利用组合数的两个性质：；②．题型五：多面手问题【典例5-1】（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（

）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种；③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有种．综上分析，共可开出种．故选：B．【典例5-2】（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______【答案】92【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、，①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种；②若和两人只去一人参加比赛，(i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；(ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；③若和两人均去参加比赛，(i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种；(ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，则选派方法为种；(iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种，综上所述，不同的选派方法共有种.故答案为：92.【变式5-1】（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．【方法技巧与总结】有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．题型六：分组、分配问题【典例6-1】（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有种.【答案】【解析】由题意可知，5位教师的分组情况为2，1,1,1的分组，再分配到4所学校，所以分配方案有.故答案为：240【典例6-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．【答案】84【解析】去生物且生物只去一人：种，去生物且生物只去两人：种，去影视且生物只去一人：种，去影视且生物只去两人：种，一共种，故答案为：84【变式6-1】（2024·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）10个人分成甲､乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为.（用数字作答）【答案】210【解析】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组，共有种分法.故答案为：210.【变式6-2】（2024·全国·高二假期作业）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）【答案】【解析】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法，若两个盒子中均放个球，则有种放法，综上可得一共有种放法.故答案为：【变式6-3】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案.（用数字作答）【答案】【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为或或；第一步先分组，分组方式共有种；第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案；第三步根据分步乘法原理总计种按排方案.故答案为：.【方法技巧与总结】“分组”与“分配”问题的解法（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．题型七：与几何有关的组合应用题【典例7-1】（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个.【答案】8【解析】根据题意，如图：在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法，其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法，则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个．故答案为：8．【典例7-2】（2024·高二课时练习）在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为.（用数字作答）【答案】56【解析】求不同的取法种数可分为三类：第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5点中任取3点，有4种取法；第二类，从每个对角面上除点P外的4点中任取3点，有2种取法；第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4种取法，所以满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.故答案为：56【变式7-1】（2024·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期末）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是．【答案】6【解析】由题意可得：四棱锥的顶点为三棱柱的顶点，底面为三棱柱的侧面且与该顶点不共面，所以四棱锥的个数是.故答案为：6.【变式7-2】（2024·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期末）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是.【答案】69【解析】从9个点中任取3个的全部组合数为，三角形三个边上三点共线的组合数为，所以能构成三角形的个数为.故答案为：.【变式7-3】（2024·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成个四面体．【答案】4【解析】从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点，有＝5种取法，其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体，故取出的四点能组成四面体的个数为5－1＝4．故答案为：4【变式7-4】（2024·高二课时练习）一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是．【答案】111【解析】不共线的三点可以确定一个平面，所以10个点最多可以确定个平面，而那5个共面的点，则可以确定个平面，而没有其他4点共面的，所以减少了个平面，所以一共可以确定的平面数为111.故答案为：111【方法技巧与总结】（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．题型八：隔板法【典例8-1】（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为．【答案】【解析】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，所以，不同的分法种数为种.故答案为：.【典例8-2】（2024·高二单元测试）“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法.在解决本题时，我们可以将8个球排成一行，8个球出现了7个空档，再用两块隔板把8个球分成3份即可，故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目:（答案不唯一，合理即可）.【答案】将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一）【解析】将m个人，分成n组，每组至少1人，只需用个隔板插入到m个人所成排的个空中，求分配方法数.故答案为：将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一）【变式8-1】（2024·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期末）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有个．【答案】【解析】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为，故共种，故答案为：45．【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为（用数字作答）．【答案】【解析】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，所以，不同的分法种数为种.故答案为：.【变式8-3】（2024·全国·高二专题练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是.【答案】10【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.故答案为：.【变式8-4】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）若方程：，则方程的正整数解的个数为.【答案】35【解析】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有种.故答案为：35.【变式8-5】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有组正整数解.【答案】【解析】方程，且的正整数解的组数等价于将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数则所求的正整数解的组数有故答案为：．题型九：分堆问题【典例9-1】（2024·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有种．【答案】25【解析】由题知，共有两种分法：这种分法数为种；这种分法数为种，所以，共有25种．故答案为：【典例9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有种不同的分堆方法.【答案】15【解析】6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.故答案为:.【变式9-1】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期末）已知有9本不同的书．(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．【变式9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.【变式9-3】（2024·高二课时练习）有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；(2)一人分4本，另两人各分1本.【解析】（1）依题意分书可分为以下三步：第一步：先从6本里面选一本给甲，有种分法；第二步：再从剩下的5本里面选两本给乙，有种分法；第三步：将剩下的三本给丙，有种分法.由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.（2）依题意分书可分为以下两大步：第一步：先从6本里面选4本，再从3人里面选1人将刚刚选取的4本分给他，由分步乘法计数原理可知有种分法；第二步：先从剩下的两本中选一本给剩下两人中的其中一人，最终将最后一本给剩下一人,由分步乘法计数原理可知有种分法.因此由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.一、单选题1．（2024·江苏常州·高二统考期末）（

）A．63 B．10 C．21 D．0【答案】C【解析】由题意得，故C正确.故选：C.2．（2024·江西上饶·高二统考期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生则不同的分配方法种数为种.故选：B.3．（2024·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（

）A．18 B．21 C．23 D．72【答案】A【解析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成：①让甲在三个项目中任选一个，有种方法；②让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.故选：A.4．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（

）A．360种 B．120种 C．60种 D．30种【答案】C【解析】由题意安排方法共有．故选：C．5．（2024·江西九江·高二统考期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（

）A．36 B．24 C．64 D．81【答案】A【解析】由题意可知必有2名同学去同一个小区，故不同的安排方法种数是（种）.故选：A6．（2024·江苏南通·高二统考期末）某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（

）A．12 B．30 C．34 D．60【答案】B【解析】由题意共分两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有种选法；②高一年级选2人，高二年级选1人,共有种选法；由分类计数原理可得共有种选法.故选：B7．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（

）

A．20 B．18 C．12 D．9【答案】B【解析】计算最短路径条数需要两步，从到的最短路径条数为，从到的最短路径条数为，所以可以选择的最短路径条数为.故选：B8．（2024·河南·高二校联考期末）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，这是分3步完成的，故有种方案；有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，所以这类办法有种.故不同的分配方案有:.故选：D二、多选题9．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）若，则的值可以是（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】AC【解析】由组合数性质知，或，所以，或，都满足且．故选：AC．10．（2024·四川·高二校联考阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（

）A．只有1人未参加服务的选择种数是30种B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种C．只有1人未参加服务的选择种数是60种D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种【答案】AD【解析】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法，再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，故选：AD11．（2024·福建漳州·高二统考期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（）A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法B．共有14种安排方法C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法【答案】AB【解析】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；按去，展馆参展有种方法；因此不同的安排方法种数是，正确.C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.故选：AB三、填空题12．（2024·河南·高二校联考专题练习）某道路亮起一排13盏路灯，为节约用电且不影响照明，现需要熄灭其中的3盏.若两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么所有不同熄灯方法的种数是.（用数字作答）.【答案】84【解析】两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，相当于在10盏亮光灯的9个空隙中安置熄灭的灯，那么所有不同熄灯方法的种数是.故答案：84.13．（2024·北京海淀·高二清华附中校考期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有个．【答案】72【解析】根据题意，完成这个事情可分为三步：第一步骤