2024年高考数学一轮复习（新高考版）等差数列

§6.2等差数列

【考试要求】I.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.3.能在具体的

问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函

数、二次函数的关系.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母2表示，定义表达式

为a“一a“-i=d(常数)522,“GN*).

(2)等差中项

由三个数a,A,b组成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且有2A=a+b.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：<7,,—<71+(71~1W.

!

⑵前n项和公式：Sn=na1+^~^d或5.=幽产应

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,m£N*).

(2)若｛斯｝为等差数列，且％+/=根+九(%,/,m,〃£N*),则④：+。/=。/72+斯.

(3)若｛斯｝是等差数列,公差为d,则。公四+川，ak+2m，…(k,zn£N*)是公差为侬L的等差数列.

(4)数列S阳，S2m~Sm,S3祖-512根，…也是等差数列.

(5»2八-1=(2〃-1)斯.

(6)等差数列｛诙｝的前n项和为S”，小，为等差数列.

【常用结论】

1.已知数列｛为｝的通项公式是a”=p〃+q(其中p,q为常数)，则数列｛斯｝一定是等差数列，

且公差为p.

2.在等差数列｛分｝中，ai>0,d<0,则S”存在最大值；若的<0,40,则S”存在最小值.

3.等差数列｛斯｝的单调性：当d>0时，｛斯｝是递增数列；当dVO时，｛〃〃｝是递减数列；当

d=0时，｛斯｝是常数列.

4.数列｛念｝是等差数列O&=A/+3〃(A,B为常数).这里公差d=2A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数

列.（X）

⑵数列｛斯｝为等差数列的充要条件是对任意“GN*,都有2出+1=出+出+2.（V）

（3）在等差数列｛斯｝中，若。加+。"=他+的，则机+〃=p+q.（X）

（4）若无穷等差数列｛a〃｝的公差d>0,则其前“项和S,不存在最大值.（V）

【教材改编题】

1.在等差数列｛诙｝中，已知。5=11，。8=5,则。10等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

fll=ai+4J,fai=19,

解析设等差数列｛4〃｝的公差为d,由题意得「,,解得，

[5—ai+7d,[d——2.

,*.a„=-2n+21..\aio=-2X10+21=1.

2.设等差数列｛。〃｝的前w项和为S”，若叉=8,58=20,则ag+aio+au+aiz等于（）

A.12B.8C.20D.16

答案D

解析等差数列｛斯｝中，$4,S&—S4,S12-&仍为等差数列，即8,20—8,ag+aio+aii+ai2

为等差数列，所以。9+。1。+。11+。12=16.

3.设等差数列｛诙｝的前w项和为S,.若的=10,$4=28,则S.的最大值为.

答案30

解析由ai=10,$4=4.1+6d=28,解得d=-2,所以S"=wai+“。；”"二一层+11几当〃

=5或6时，S,最大，最大值为30.

■探究核心题型

题型一等差数列基本量的运算

例1（1）（2023・开封模拟）已知公差为1的等差数列｛。“｝中，d=a3a6,若该数列的前n项和S„

=0,则n等于（）

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析由题意知（。1+4）2=（°1+2）（勾+5）,D=0,解得的=—6,"=13.

（2）（2020・全国II）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板（称为天心石）,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下

一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同,

且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

答案C

解析设每一层有〃环，由题意可知从内到外每环之间构成d=9,的=9的等差数列.由等

（）（

差数列的性质知Sn,S2n-S„,S3.一成等差数列，且S3.—S2.—S2“一则9序=729,

得〃=9,

27X26人

则三层共有扇面形石板S3.=S27=27X9f—5—X9=3402（块）.

思维升华（1）等差数列的通项公式及前"项和公式共涉及五个量ai,n,d,an,S„,知道其

中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.

（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项ai和公差d.

跟踪训练1（1）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨

水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、

春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为

（一丈=十尺=一百寸）（）

A.一尺五寸B.二尺五寸

C.三尺五寸D.四尺五寸

答案B

解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{“〃},

设公差为d,

•••冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,

。1+。4+。7=3的+94=315,

,9X8

Sg—9ai+2d=855,

tzi=135,

解得

，芒种日影长为。12=的+11/=135—11X10=25（寸）=2尺5寸.

（2）数歹（Jj]）是等差数列，且0=1,<23=—那么。2024=.

宏案一申

口本1012

解析设等差数列七裔的公差为d,因为0=1,的=一/所以汁7=匕11=3.所以

2222022

3—1+2d,解得d=1.所以.+]=1+"—1=",所以"一L所以々2024=2024-1=-20^4

1011

——1。2

题型二等差数列的判定与证明

例2（2021•全国甲卷）已知数列｛诙｝的各项均为正数，记S,为｛斯｝的前〃项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛出｝是等差数列；②数歹!J｛低｝是等差数列；③雹=30.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①③0②.

已知｛。〃｝是等差数列，。2=3即

设数列｛斯｝的公差为d,

则。2=301=的+4,得d=2°i,

—1）

所'以Sn~~几。1+几%].

因为数列｛斯｝的各项均为正数，

所以低=a标，

所以4工二一4无=（〃+1）*\/£一周£=4£（常数），所以数列｛、氐｝是等差数列.

①②今③.

已知｛斯｝是等差数列，｛低｝是等差数列.

设数列｛斯｝的公差为d,

ri,〃（a一1）19.fd\

贝USn=nai+—2—d=-^ird+\a\―2\n.

因为数列｛而｝是等差数列，所以数歹乜低｝的通项公式是关于〃的一次函数，则0—^=0,

即d=2〃i,所以〃2=〃i+d=3〃i.

②③今①.

已知数列｛、氐｝是等差数列,〃2=3。1,

所以=S2=〃l+〃2=4〃I.

设数列｛低｝的公差为d,d>3

则^^一信=W^i—gi=d,得〃1="，

所以低=a+(〃-1)d=nd,

22

所以Sn=nd,

222

所以an=Sn—Sn-i=n^—(n-1fd=2—J(n2),是关于n的一次函数，且满足

上式，所以数列｛斯｝是等差数列.

思维升华判断数列｛斯｝是等差数列的常用方法

(1)定义法.

(2)等差中项法.

(3)通项公式法.

(4)前n项和公式法.

跟踪训练2已知数列｛〃〃｝的各项都是正数，〃£N*.

(1)若｛为｝是等差数列，公差为d,且打是斯和斯+i的等比中项，设金=扇+1—磅，〃£N*,求

证：数列｛金｝是等差数列；

(2)若M+后+----\-an=Sn^为数列｛斯｝的前几项和，求数列｛〃〃｝的通项公式.

(1)证明由题意得bn=斯斯+1,

则Cn^n+1bn〃〃+1。〃+2八+12d,

因此金+1—金=2d(〃〃+2—诙+1)=2,(常数)，

・,・｛Q｝是等差数列.

(2)解当〃=1时，司=曷，V«i>0,.•・〃i=L

—的，①

当〃22时,裙----卜若T=S>I,②

=

①一②得，a｝i=Sn~Sn-l(Sn—Sn-\)(Sn+Sn-i).

•斯＞0,••欣=5〃+S〃-i=2S〃-a〃，③

也符合上式,・••当时，底T=2S〃-L斯-1，④

③一④得星一忌-i=2(S〃-1)一斯+。〃-1=2斯一斯+。〃-1=斯+斯-1，

•4〃+。〃-1>0,••Cln11，

・・・数列｛斯｝是首项为1，公差为1的等差数列，可得。〃=儿

题型三等差数列的性质

命题点1等差数列项的性质

例3⑴已知在等差数列｛斯｝中，若圆=8且1唯(2%・2%…・2%)=22,则、等于()

A.40B.65C.80D.40+log25

答案B

解析log2(2"i・2/•2'1)=log22'+log22^2+・.・+k)g22ali=〃]+〃2T・+〃]]=]]%=

”讦]、/雨q13(%+〃13)13(恁+〃8)

22,所以。6—2,则S13—2—2—65.

(2)己知数列｛斯｝,｛》“｝都是等差数列，且仁=2,bi=-3,ai—bi=Vl,则q024—列024的值.

为.

答案4051

解析令cn=an-bn,因为｛斯｝,｛6.｝都是等差数列，所以｛c.｝也是等差数列.设数列｛金｝的

公差为<7,由已知，得ci=ai-6i=5,C7=17,则5+64=17,解得4=2.故。024—62024=02024

=5+2023X2=4051.

思维升华等差数列项的性质的关注点

(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.

⑵项的性质常与等差数列的前n项和公式S,相结合.

跟踪训练3(1)若等差数列｛诙｝的前15项和Si5=30,贝ij2/一四一aio+ai4等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析VSi5=30,.".^(ai+ai5)=30,

•・・2。8=4,・・〃8=2.

••2的一〃6-。1。+〃14=。4+〃6-。6-。1。+414=。4­=。8-〃10=。8=2.

⑵(2023•保定模拟)已知等差数列｛斯｝满足詈=—2,则下列结论一定成立的是()

恁[

A硒1D

A.­=—1B.­=—1

44〃3

c〃101

D.—=—1

〃4

答案C

解析由状=—2得〃5会0,2。5+〃8=〃4+。6+。8=3〃6=0,

所以〃6=0,。3+"9=2a6=0,

因为。5/0,46=0,

所以叱0,g=-1.

命题点2等差数列前〃项和的性质

q2九—3

例4⑴设等差数列｛〃〃｝,｛为｝的前〃项和分别为斗，T”若对任意的〃£N*,都有关=五［与，

则谓日的值为()

答案c

解析由题意可知83+813=65+力u=bi+bi5=2Z?8,

・，2.防4〃2+〃14〃8S152X15-3279

,•人3+/?1365+6112b8/?87154X15—35719,

(2)已知等差数列｛诙｝共有(2〃+1)项，其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则为+i的

值为()

A.30B.29C.28D.27

答案B

解析奇数项共有(〃+1)项，其和为1)=等1g+1)=290,

.•.(几+1)斯+1=290.

偶数项共有〃项，其和为丝爱・〃=与力=〃即+1=261,

an+1—290—261=29.

思维升华等差数列前〃项和的常用的性质是：

在等差数列｛斯｝中，数列S“，S2„-Sm,珀加一S2孙…也是等差数列，且有52,=〃31+。2")=…

川(〃〃+〃〃+1)；S2n~1(2〃1)。〃.

跟踪训练4⑴设等差数列｛斯｝的前n项和为与，若54=20,S5=30,即=40,则m等于()

A.6B.10C.20D.40

答案C

解析由S4=20,S5=30,得的=8-54=10,由等差数列的性质，得S5=30=5〃3,故的

=6,而小一。3=10—6=4=2d,故d=2,〃m=40=〃5+2(m-5),解得根=20.

(2)已知S.是等差数列｛诙｝的前〃项和，若m=—2020,篇^一黑1=6,则S2023等于()

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析..•拗为等差数列，设公差为优，

^,1&020_&0147,_久.,/

川2020—2014—b"—3・・〃T,

首项为率=—2020,

；,2^3=—2020+(2023-1)X1=2,

•••52023=2023X2=4046,故选C.

课时精练

《基础保分练

1.首项为-21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是()

A.(3,+°°)9

C[3,I)D.(3,j

答案D

解析an=-21+(〃一l)d,因为从第8项起为正数，所以劭=—21+6dW0,“8=—21+7J>0,

7

解得3<dW].

2.设&是等差数列｛斯｝的前〃项和，若S50—%7=12,则的7等于()

A.198B.388C.776D.2023

答案B

解析•S50-547="48+。49+。50=12,..049=4,

97X(.1+497)

597=---------^2-------=97049=97X4=388.

3.已知等差数列｛斯｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,

则该数列的中间项为()

A.28B.29C.30D.31

答案B

解析设等差数列｛飙｝共有2〃+1项，

则S♦=al^-a3+«5^--------

S倩=02+04+。6H-------FtZ2«,

该数列的中间项为an+i,

又S<—S®=tii+(cz3—42)+(。5一44)+…+(。2”+1-<i2")=ai+d+d+…+d=ai+"d=a”+i,

所以斯+i=S哥一S借=319—290=29.

4.天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙

寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，

之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制

帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立,

请推算新中国成立的年份为（）

A.己丑年B.己酉年

C.丙寅年D.甲寅年

答案A

解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从

1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，

则38=3X10+8,则1949年的天干为己，38=12X3+2,则1949年的地支为丑，所以1949

年为己丑年.

5.设S“为等差数列｛斯｝的前〃项和,若3a5=7.1,且.则使S,<0的〃的最小值为（）

A.30B.31C.32D.33

答案B

解析根据题意，设等差数列他.｝的公差为d,

若3a5=7。]],且。1>0,

则3（ai+40=7（ai+l（W）,

变形可得4m+58d=0,则的=—当d,

济“0—.n(n~l)d

所以-na\+2

-箓叶^^=和-30”),

因为的=—券d>0,所以d<0,

若Sso,必有〃2—30">0,又由“GN*,贝11〃>30,故使S“<0的〃的最小值为31.

6.（多选）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若石廿，石焉，石力依次

成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）

A.a,b,c依次成等差数列

B.g,y[b,加依次成等差数列

C.《，,2依次成等差数列

D.〃，。3依次成等差数列

答案ABD

解析在中，若康，百福，康依次成等差数列，则磊=康+康，整理得奇鬻

黑十^，利用正弦定理和余弦定理得2-+=看7+*，整理得

2b2=a2+c2,即〃2,/，，依次成等差数列，此时对等差数列〃2,庐，，的每一项取相同的

运算得到数列mb,。或g,y[b,&或〃，。3,这些数列都不一定是等差数列，除非〃

=b=c,但题目中未说明△ABC是等边三角形.

7.(2022•全国乙卷)记S”为等差数列｛©,｝的前”项和.若2s3=38+6,则公差d=.

答案2

解析由2S3=3S2+6,

可得2(。1+。2+。3)=3(。1+。2)+6,

化简得2。3=。1+。2+6,

即2(ai+2</)=2ai+d+6,

解得d=2.

8.设S,是等差数列｛斯｝的前〃项和，Sio=16,SIOO-S9O=24,则Sioo=.

答案200

解析依题意，S10,S20-Sio,$30-$20,…，Slot)—S90依次成等差数列,设该等差数列的公

o

差为d又Sio=16,Sioo-590=24,因此No。一$90=24=16+(10—l)d=16+94,解得d=§,

e„10X9,10X98

因此5wo—10Sw+r-;—d=10X16+—;—Xg=200.

9.已知｛如｝是公差为d的等差数列，其前〃项和为且%=1，.若存在正整数”,

使得必有最小值.

(1)求｛斯｝的通项公式；

⑵求S"的最小值.

从①的=一1，②d=2,③d=—2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问

题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解选择①作为补充条件：(1)因为恁=1,侑=—1,所以d=l,所以以=1+(〃-5)X1="

—4("GN*).

naia

(2)由(1)可知m=—3,所以Sn=^^~"^=^n(n—7).

因为“GN*,所以当w=3或4时，S.取得最小值，且最小值为一6.故存在正整数〃=3或4,

使得S“有最小值，且最小值为一6.

选择②作为补充条件：(1)因为的=1,d=2,所以斯=1+("—5)X2=2w—9(neN*).

⑵由⑴可知两=—7,所以斗=幽产=层一8”.

所以当〃=4时，S.取得最小值，且最小值为一16.

故存在正整数几=4,使得工有最小值，最小值为一16.

不可以选择③作为补充条件.

10.在数列｛诙｝中，。1=8,44=2,且满足〃〃+2—2斯+1+斯=0(〃£N*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

⑵设4=|的|+|〃2H---卜|编，求Tn.

解（1）;。〃+2—2斯+1+。〃=0,

,,+2a〃+1〃"+19

数列｛斯｝是等差数列，设其公差为",

・41=8,44=2,

==

••an(n—V)d10—2n,〃£N*.

(2)设数列｛斯｝的前〃项和为Sn,则由(1)可得，

5“=8〃+迪式义(-2)=9〃一/,wGN*.

由(1)知斯=10—2〃，令斯=0,得〃=5,

当n>5时，an<0,

则+21H卜|斯|

=。1+〃2+…+〃5—(〃6+〃7+…+

=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn

=2义(9义5—25)—(9〃一层)=/一9〃+40；

当〃W5时，源20,

则Tn=|«1|+|«2|4卜1斯1

=。1+。2+~+斯=9几一〃2,

\9n-n2,〃£N*,

n〔层一9〃+40,几26,〃£N*.

立综合提升练

11.(多选)己知数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，前〃项和为S”满足01+5%=S8，下列

选项正确的有()

A.aio=OB.Sio最小

C.S7=S12D.S20=0

答案AC

解析根据题意，数列｛公｝是等差数列，若两+5的=&,

即ai+5°i+10d=8ai+28d,变形可得ai=-9d.

又由斯=。1+(〃-l)d=(〃-10)4,

得aio=O,故A正确；

不能确定的和d的符号，不能确定Sio最小，故B不正确；

一,,n（n—l）d,n（n~l）ddo

=

又由Snriai+-------2---=-9〃d+---5---=2义（层—19〃）,

得S7=S12,故C正确;

120X19.

$20—200+——d=—180d+190d=1Od.

因为dWO,

所以S20W0,故D不正确.

公+20+麴*贝噂等于（）

12.已知等差数列｛〃〃｝的前几项和为工，>

。3+。6

A.1r1-5八5

B-6C-TTD.4

答案D

〃2+2〃7+〃82〃5+2〃74疑20所以。65

解析

。3+〃6。3+"6〃3+。611'〃3+〃611'

51111616114/65

所以，

S84（〃1+。8）4（。3+。6）中

13.将数列｛2〃一1｝与｛3〃一2｝的公共项从小到大排列得到数列｛念｝,