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文档简介
2023-2024学年湖南省株洲市7校数学高一下期末检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是()A.8π B.6π C.4π D.π2.已知,若关于x的不等式的解集为,则()A. B. C.1 D.73.在三棱锥中,平面,,,点M为内切圆的圆心,若,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.4.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c依次成等差数列,,,依次成等比数列,则的形状为()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形 D.直角边不相等的直角三角形5.某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验,各次实验互不影响,则3次实验中至少成功2次”,现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0~9十个整数值的随机数,指定0,1表示单次实验失败,2,3,4,5,6,7,8,9表示单次实验成功,以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数,如下表:752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根据以上方法及数据,估计事件A的概率为()A.0.384 B.0.65 C.0.9 D.0.9046.如图所示,在四边形中,,,.将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论中正确的结论个数是()①;②;③与平面所成的角为;④四面体的体积为.A.个 B.个 C.个 D.个7.为数列的前n项和,若,则的值为()A.-7 B.-4 C.-2 D.08.若变量,满足条件,则的最大值是()A.-4 B.-2 C.0 D.29.某三棱柱的底面是边长为2的正三角形,高为6,则该三棱柱的体积为A. B. C. D.10.若正数满足,则的最小值为A. B.C. D.3二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.数列定义为,则_______.12.在空间直角坐标系中,点关于原点的对称点的坐标为__________.13.下图是2016年在巴西举行的奥运会上,七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为__________.14.下列命题中:①若,则的最大值为;②当时,;③的最小值为;④当且仅当均为正数时,恒成立.其中是真命题的是__________.(填上所有真命题的序号)15.记等差数列的前项和为,若,则________.16.直线x-3三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求方程的解构成的集合.18.设数列的前项和为,满足,且,数列满足,对任意的,且成等比数列,其中.(1)求数列的通项公式(2)记,证明:当且时,19.某超市为了解端午节期间粽子的销售量,对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量(单位:g)进行了问卷调查,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;(Ⅱ)求这1000名消费者的棕子购买量在600g~1400g的人数;(Ⅲ)求这1000名消费者的人均粽子购买量(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表).20.已知,函数,,(1)证明:是奇函数;(2)如果方程只有一个实数解,求a的值.21.如图,在三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,点是棱的中点.(1)证明:平面.(2)若三棱锥的体积为4,求点到平面的距离.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】设正方体的棱长为a,则=8,∴a=2.而此正方体的内切球直径为2,∴S表=4π=4π.选C.2、B【解析】
由韦达定理列方程求出,即可得解.【详解】由已知及韦达定理可得,,,即,,所以.故选:.【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等,属于一般基础题.3、C【解析】
求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径,则球心到底面的距离为,根据正切和MA的长求PA,再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R,则表面积.【详解】取BC的中点E,连接AE(图略).因为,所以点M在AE上,因为,,所以,则的面积为,解得,所以.因为,所以.设的外接圆的半径为r,则,解得.因为平面ABC,所以三棱锥的外接球的半径为,故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.【点睛】此题关键点通过题干信息画出图像,平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置,根据几何关系求解即可,属于三棱锥求外接球半径基础题目.4、A【解析】
根据a,b,c依次成等差数列,,,依次成等比数列,利用等差、等比中项的性质可知,根据基本不等式求得a=c,判断出a=b=c,推出结果.【详解】由a,b,c依次成等差数列,有2b=a+c(1)由,,成等比数列,有(2),由(1)(2)得,又根据,当a=c时等号成立,∴可得a=c,∴,综上可得a=b=c,所以△ABC为等边三角形.故选:A.【点睛】本题考查三角形的形状判断,结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系,从而求解,考查综合分析能力,属于中等题.5、C【解析】
由随机模拟实验结合图表计算即可得解.【详解】由随机模拟实验可得:“在实验条件相同的情况下,重复3次实验,各次实验互不影响,则3次实验中最多成功1次”共141,601两组随机数,则“在实验条件相同的情况下,重复3次实验,各次实验互不影响,则3次实验中至少成功2次”共组随机数,即事件的概率为,故选.【点睛】本题考查了随机模拟实验及识图能力,属于中档题.6、B【解析】
根据题意,依次分析命题:对于①,可利用反证法说明真假;对于②,为等腰直角三角形,平面,得平面,根据勾股定理逆定理可知;对于③,由与平面所成的角为知真假;对于④,利用等体积法求出所求体积进行判定即可,综合可得答案.【详解】在四边形中,,,则,可得,由,若,且,可得平面,平面,,这与矛盾,故①不正确;平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,由勾股定理得,,,,故,故②正确;由②知平面,则直线与平面所成的角为,且有,,则为等腰直角三角形,且,则.故③不正确;四面体的体积为,故④不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角,以及三棱锥的体积的计算,考查了空间想象能力,推理论证能力,解题的关键是须对每一个进行逐一判定.7、A【解析】
依次求得的值,进而求得的值.【详解】当时,;当时,,;当时,;故.故选:A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项,属于基础题.8、D【解析】
由约束条件画出可行域,将问题转化为在轴截距最小,通过平移可知当过时,取最大值,代入可得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:当取最大值时,在轴截距最小平移直线可知,当过时,在轴截距最小又本题正确选项:【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过直线平移来进行求解,属于常考题型.9、C【解析】
计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形,所以底面的面积为,则该三棱柱的体积为.【点睛】本题考查了棱柱的体积公式,属于简单题型.10、A【解析】
由,利用基本不等式,即可求解,得到答案.【详解】由题意,因为,则,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为,故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题,其中解答中合理构造,利用基本不是准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
由已知得两式,相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列,分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和,再相加得原数列前的和【详解】两式相减得数列的奇数项,偶数项分别成等差数列,,,,数列的前2n项中所有奇数项的和为:,数列的前2n项中所有偶数项的和为:【点睛】对于递推式为,其特点是隔项相减为常数,这种数列要分类讨论,分偶数项和奇数项来研究,特别注意偶数项的首项为,而奇数项的首项为.12、【解析】
空间直角坐标系中,关于原点对称,每个坐标变为原来的相反数.【详解】空间直角坐标系中,关于原点对称,每个坐标变为原来的相反数.点关于原点的对称点的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了空间直角坐标系关于原点对称,属于简单题.13、【解析】由平均数公式可得,故所求数据的方差是,应填答案。14、①②【解析】
根据均值不等式依次判断每个选项的正误,得到答案.【详解】①若,则的最大值为,正确②当时,,时等号成立,正确③的最小值为,取错误④当且仅当均为正数时,恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【点睛】本题考查了均值不等式,掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.15、10【解析】
由等差数列求和的性质可得,求得,再利用性质可得结果.【详解】因为,所以,所以,故故答案为10【点睛】本题考查了等差数列的性质,熟悉其性质是解题的关键,属于基础题.16、π【解析】
将直线方程化为斜截式,利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为x-3所以y=33x-33则tanα=33,α=【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用二倍角公式化简函数,再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数,代入最小正周期公式即可得解;(Ⅱ)由得,则,求解x并写成集合形式.【详解】(Ⅰ),所以函数的最小正周期.(Ⅱ)由得,,解得因此方程的解构成的集合是:.【点睛】本题考查简单的三角恒等变换,已知三角函数值求角的集合,属于基础题.18、(1).;.(2)证明见解析.【解析】
(1)当时,由,两式相减得,用等差中项确定是等差数列再求通项公式.令,根据成等比数列,求得,从而得到(2)由(1)知根据证明的结构使用放缩法,得到,再相消法求和.【详解】(1)当时,由,得,两式相减得,当时,,所以是等差数列.又因为,所以,所以,所以..令,因为成等比数列,所以,所以,所以,又因为.,所以.(2)由(1)知,因为,所以,.同理所以所以.所以当且时,【点睛】本题主要考查了数列递推关系和等比数列的性质,放缩法证明数列不等式问题,属于难题.19、(Ⅰ)a=0.1(Ⅱ)2(Ⅲ)1208g【解析】
(Ⅰ)由频率分布直方图的性质,列出方程,即可求解得值;(Ⅱ)先求出粽子购买量在的频率,由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数;(Ⅲ)由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质,可得(0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025)×400=1,解得a=0.1.(Ⅱ)∵粽子购买量在600g~1400g的频率为:(0.00055+0.1)×400=0.62,∴这1000名消费者的棕子购买量在600g~1400g的人数为:0.62×1000=2.(Ⅲ)由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为:(400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025)×400=1208g.【点睛】本题主要考查了频率、频数、以及频率分布直方图的应用,其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.20、(1)证明见解析(1)1【解析】
(1)运用函数的奇偶性的定义即可得证(1)由题意可得有且只有两个相等的实根,可得判别式为0,解方程可得所求值.【详解】(1)证明:由函数,,可得定义域为,且,可得为奇函数;(1)方程只有一个实数解,即为,即△,解得舍去),则的值为1.【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件,考查方程思想和定义法,属于基础题.21、(1)见解析(2
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