湖南省邵阳市邵东市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

2024年中考数学模拟试题一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.在，，0，1这四个有理数中，最小的数是（）A. B. C.0 D.1答案：A解析：解：，，又∵，，在，，0，1这四个有理数中，，最小的数是，故选：A．2.如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形．故选：A．3.芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（）m．（

）A. B. C. D.答案：D解析：解：由题意得在前面有个，在前面有个，．故选：D．4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：，故A选项不符合题意；，故B不选项符合题意；，故C选项符合题意；，故D选项不符合题意．故选：C．5.如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，，∴，∴阴影部分的面积为．

故选：B．6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A. B. C. D.答案：D解析：解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得，故选：D．7.伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（）A. B. C. D.答案：D解析：解：阻力和阻力臂的函数关系式为，点在该函数图象上，，解得，阻力和阻力臂的函数关系式为，，，当时，，小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，故选：D．8.如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：∵与相切于点，∴，即，∵，∴，∴，即的度数是．故选：A．9.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵光线平行于主光轴，∴，又，∴，∵，∴，∴，故选：B．10.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C.周长的最小值为6 D.四边形面积的最小值为答案：A解析：解：如图所示，延长，依题意∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四边形是平行四边形，则为的中点如图所示，设的中点分别为，则∴当点上运动时，在上运动，当点与重合时，即，则三点共线，取得最小值，此时，则，∴到的距离相等，则，此时此时和的边长都为2，则最小，∴，∴∴，或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，此时故A选项错误，根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；周长等于，即当最小时，周长最小，如图所示，作平行四边形，连接，∵，则如图，延长,，交于点，则，∴是等边三角形，∴，在与中，∴∴∴∴∴，则，∴是直角三角形，在中，∴当时，最短，∵∴周长的最小值为，故C选项正确；∵∴四边形面积等于∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11.分解因式：______．答案：解析：解：．故答案为：．12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是___小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数62410答案：9.1解析：解：（小时），即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．故答案为：9.1．13.如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．答案：##解析：解：设围成的正方形的边长为a，则正方形的对角线长为，五号板的直角边为，∴六号板的一边为，另一边为：∴六号板的面积为正方形的面积为：所以停在1号板区域的概率是故答案为：14.已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_____．答案：1解析：，得，∵∴解得，故答案为：1．15.如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________．答案：解析：解：∵矩形中，，，∴，，又，∴，∴，∵，，∴，，∴，在和中，∴，∴．故答案为：．16.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________；答案：解析：解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，，．故答案为：．17.如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．答案：解析：∵正方形的面积为7，正方形的面积为9∴，即，∴故答案为：18.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③，④．其中正确的为_____．（填序号）答案：解析：①∵四边形为正方形，为对角线；∴；，，；∵是等边三角形；∴，°；∴；在中，；∴，∵，∴，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，即，∴，故结论①正确．②∵，，∴，∴，故结论②正确．③过点H作于T，于K，如图所示：∵，∴四边形为矩形，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，，∴，故结论③不正确．④∵，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故结论④正确；综上所述：正确的结论是；故答案为：．三．解答题（共8小题，满分66分）19.计算：．答案：解析：解：原式．20.先化简，再求值：，其中．答案：，解析：解：当时，原式．21.如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．答案：见解析解析：证明：∵是等边三角形，∴，在与中，∴，∴．22.1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央、中国残联等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，确定每年6月6日为“全国爱眼日”．2022年6月6日，某中学在全校七、八年级共1200名学生中开展“全国爱眼日”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10．七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数7.47.4中位数ab众数7c合格率85%80%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）估计该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，你认为两个年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异．（一条理由即可）答案：（1）7.5，7，7（2）330人（3）七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由见解析小问1解析：由统计图与已知数据可得：a==7.5，b=，c=7．故答案为：7.5，7，7；小问2解析：1200×=330（人），答：该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数约为330人；小问3解析：七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由如下，∵七年级的中位数与合格率高于八年级的中位数与合格率，∴七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异．23.党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．答案：（1）每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元（2）最多购买乒乓球拍副小问1解析：解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解且符合题意，∴（元）．答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元；小问2解析：设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，根据题意得：，解得：，又∵为正整数，∴的最大值为．答：最多购买乒乓球拍副．24.2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为；后飞船到达处，此时从处测得仰角为．已知飞船从处到处的平均速度为，求雷达站到飞船发射点的距离．（结果精确到，）答案：解析：解：由题意得，（）（），，，，设，在中，，，，解得：；故雷达站到飞船发射点的距离．25.如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．（1）求证：为切线；（2）求证：；（3）若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长．答案：（1）见解析（2）见解析（3）小问1解析：证明：为直径，，，，，，，即，是直径，为切线．小问2解析：证明：，，，，，小问3解析：解：，，，，，在中，，在中，，过点F作，垂足为点G，如图，点E是弧的中点，，，，，，，又，．26.定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求