2010年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)

PAGE7/142010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的值等于（）A.B.C.D.2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.B.C.D.3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于A.6B.7C.8D.94．函数的零点个数为()A.0B.15．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（）A.2B.3C.4D.56．如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）A.∥B.四边形是矩形C.是棱柱D.是棱台7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.B.C.D.8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B,的最小值等于()A.B.4C.D.29．对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于()A.1B.-1C.0D.10．对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:①,;②,;③,;④,.其中,曲线和存在“分渐近线”的是()A.①④B.②③C.②④D.③④二、填空题：11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式.12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于.13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。14．已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是。15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”。其中所有正确结论的序号是。三、解答题：16．（本小题满分13分）设是不等式的解集，整数。（1）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设，求的分布列及其数学期望。17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。18．（本小题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。19．（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数，。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）一、选择题：1.【解析】原式=，答案A2.【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即答案D3.【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。答案A4.【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，答案C5.【解析】由程序框图可知，该框图的功能是输出使和时的的值加1，因为，，所以当时，计算到，故输出的是4答案C6.【解析】因为∥，∥，所以∥，又平面，所以∥平面，又平面，平面平面=，所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，∥，所以平面，又平面，故，所以选项B也正确答案D7.【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是答案B8.【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为答案B9.【解析】由题意，可取，所以答案B10.【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于eq\o\ac(○,1)，当时便不符合，所以eq\o\ac(○,1)不存在；对于eq\o\ac(○,2)，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于eq\o\ac(○,3)，，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；eq\o\ac(○,4)当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)答案C二、填空题：11.【解析】由题意知，解得，所以通项。答案12.【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。答案13.【解析】恰好回答四道，且连续两道答对停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答错、三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以【答案】14、【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。答案15、【解析】eq\o\ac(○,1)，正确；eq\o\ac(○,2)取，则；，从而，其中，，从而，正确；eq\o\ac(○,3)，假设存在使，即存在，又，变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；eq\o\ac(○,4)根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4).答案①②④三、解答题：16、【解析】（1）由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为。（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，，，，故的分布列为0149P所以=。17、【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（-2，0），从而有，解得，又，所以，故椭圆C的方程为。（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，由于，所以符合题意的直线不存在。18、【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。19、【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20、【解析】（Ⅰ）（i）由得=，当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。（ii）曲线C与其在点处的切线方程为得，即，解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。21、（1）【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，