第三章静力学平衡问题教材

第三章静力学平衡问题6/12/20241力系的主矢：力系的主矢和主矩OFR’Mo对O点的主矩：力系主矢的特点：

对于给定的力系，主矢唯一；

主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢与简 化中心O的位置无关。力系主矩的特点:

力系主矩MO与简化中心O的位置有关。对于主矩必须指明简化中心。2

平面一般力系简化的结论平面一般力系向一点O简化，可得一力和一力偶，该力的大小和方向等于力系的主矢，作用于简化中心；该力偶的力偶矩等于力系对O点的主矩。OFR’Mo3OFR’问题：(2) FR’

0,MO

=0

作用于O点的FR’是合力吗？此时，原力系与一个力等效，合成为合力。OFR’Mo’(3) FR’

0,MO

0

这种情况下，可以进一步简化。平面一般力系简化结果(1) MO

0,FR’=0

此时，原力系与一个力偶。4平面一般力系简化结果OFR’Mo’(3) FR’

0,MO

0

最后可得作用于O’点的合力FR。平移的距离为：OFR’MoO’FRd平移的方向：与Mo的转向相反。这种情况下，可以进一步简化。5平面一般力系简化结果的讨论（续）(4) FR’=0,MO=0这是平衡的情况。6平面一般力系简化结果小结(3) 平衡(1) 合力偶 只有当主矢为零时，才可能为合力偶。(2)合力 当主矢不为零时，一定可以简化为合力。 如主矩为零，则作用于简化中心的主矢即 为合力； 如主矩不为零，则可进一步简化为合力。7平面一般力系简化的步骤1.任选一个简化中心O；2.计算各力的投影,得到主矢在坐标轴上的投影;3.计算主矢的大小和方向；4.计算各力对简化中心的矩，从而求出主矩。8合力矩定理平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和若合力为：则：证明:由平面一般力系简化为合力的情况,有：OFR’MoO’FRd而：所以：9两种典型的分布载荷均布载荷qP合力P=?合力P的作用点位置在哪？三角形分布载荷q0P合力P=?合力P的作用点位置在哪？10Pxxdxh例题已知：载荷集度q,梁长l。求：分布力的合力的大小及合力作用线位置。解：分布力的载荷集度q

单位长度上的力，单 位为：N/m,或

kN/m

。1)求合力的大小设合力为P，作用线距A点为h

。建立x坐标如图。取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。q(x)111)求合力的大小取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。则：所以：由相似三角形关系，有：Pxxdxhq(x)122)求合力作用线位置用合力矩定理求合力作用线位置。所以：即：合力的作用线通过三角形的形心。对于分布力，有结论： 合力的大小等于分布力的面积，合力的作用线通过分布力的形心。Pxxdxhq(x)13第3章工程构件的静力学平衡问题

第一篇静力学工程力学（静力学与材料力学）14

平面力系的平衡条件与平衡方程

简单的刚体系统平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

平面桁架问题第3章工程构件的静力学平衡问题返回总目录15

平面力系的平衡条件与平衡方程第3章工程构件的静力学平衡问题返回16

平面一般力系的平衡条件平面一般力系都可简化为一个力FR’加一个力偶MO如果FR’

不为零，则物体将沿FR’

方向加速运动如果MO不为零，则物体将沿MO方向加速转动所以平面一般力系的平衡条件是17平面一般力系的平衡方程受平面一般力系作用的刚体,平衡即:平面一般力系的平衡方程由于式中FR’是向量，所以上式实际有三个分量式平面一般力系有三个独立的方程，可解三个未知量。投影轴可任选，力矩方程的矩心也可任选。18当汇交力系时,合成的结论是:平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭边表示。二、平衡平衡的结论受平面汇交力系作用的刚体，平衡19平面汇交力系的平衡力多边形法时，多边形是自行封闭的！F1F2F3F4F520解析法表示的合成由合力投影定理，合力的投影为：式中a为R与x轴的夹角合力的大小和方向为：21解析法表达的平衡条件前面已得到平衡的结论：受平面汇交力系作用的刚体，平衡而所以22例已知：P=10kN，AC=CB，角度如图，各杆自重不计。求：A处反力和CD杆受力。解：取AB为研究对象，受力如图。ABCFAxFAyPFCsdsABCPFCEFA

45o建立坐标如图。列平衡方程：xy23由几何关系：解出：说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设 方向相反。解题要求sdsABCPFCEFA

45oxy24例如图2-15(a)所示，重量为G=5kN的球悬挂在绳上，且和光滑的墙壁接触，绳和墙的夹角为30°。试求绳和墙对球的约束反力。25例解GRTGRT26例2-8重G=1kN的球放在与水平面成30°角的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳AB系住(图2-16a)。试求绳AB受到的拉力及球对斜面的压力。NT27例解28例解方便29例平面刚架如图2-17(a)所示，P和a为已知，不考虑自重，求支承A和D处的约束反力。活动铰支座固定铰支座RDRAYRAX30解31解三力汇交32例题*一均质杆AB重W=50N，两端分别放在与水平面成30°和45°倾角的光滑斜坡上。求平衡时这两斜坡的反力以及杆与水平面间的夹角a。30°45°a3330°45°a解34解30°45°WR1R235解WR1R236例题压路的碾子O重W=20kN，半径R=400mm。试求碾子越过厚度d=80mm的石块时，所需最小的水平拉力Pmin。设石块不动。WPmind37题解WPminNRW注意：N=0aWPminRWa38例题均质杆AB如图在铅垂位置时搁支在光滑斜面上，A处由水平力P限制在图示位置。求平衡时

角与W、P及斜面倾角

之间的关系。RARB解:因题要求平衡时

角与W、P及斜面倾角

之间的关系，D故对D点取矩即可由

mD=0可得39代入上式并简化得40cos=0即

=90°不合题意，因此只能所以，有：41欲求RA及RB由

mA=0可得b-

最后由

mB=0可得42（2）多个力偶的合成按上述方法可以同样合成多个力偶，有：即：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶 的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和。注:

遵守正负号规定很重要，其正负号规定同力矩的正负号规定(逆正顺负)平面力偶系合成简化为代数和432、平面力偶系的平衡条件受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要条件是各力偶的力偶矩的代数和为零。即：受平面力偶系作用的刚体，平衡定理：

由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡。此方程可解一个未知量平面力偶系的平衡方程44

已知:

结构受力如图所示,图中M,r均为已知,且l=2r.

试:

画出AB和BDC杆的受力图;

并求A,C二处的约束力.例245例2解2.取BDC杆，

B处受力的方位可以判断出。1.取AB杆为研究对象;AB杆为二力杆，受力如图。问题：能否确定C处受力的方位？FAFB’根据力偶只能用力偶来平衡，可以确定出C处受力的方位。46根据力偶只能用力偶来平衡，可以确定出C处受力的方位。3.计算力偶臂EC为：解出：求出的值为正，说明实际方向与所设方向相同。H45º45º47题3-12机构OABO1，在图示位置平衡。已知OA=400mm,O1B=600mm,作用在OA上的力偶的力偶矩大小|m1|=1N·m。试求力偶矩m2的大小和杆AB所受的力S。各杆的重量和各处摩擦均不计。48解：1.取AB为研究对象AB为二力杆受力如图FAFB2.取OA为研究对象A处受力方位可以判断出根据力偶只能由力偶平衡，可以判断出O处受力方位FA’FO493.计算AB杆受力而所以FA’

=5NFA’FO即S=FA=FA’

=FB=5N4.取O1B为研究对象B处受力大小、方位可以判断出由力偶平衡方程有：FB’FO1O1处受力方位可以判断出所以|m2|=3N·m50平面平行力系的平衡条件xyo设平面平行力系如图，取y

轴与各力平行。由平面任意力系的平衡方程其中，x方向的方程成为恒等式F1F2FnF351平面平行力系的平衡方程当然也可以使用两矩式所以，平面平行力系的平衡方程为两个独立的平衡方程附加条件：AB连线不与各力平行52例题P2FAFB已知：自重P1=700kN,最大起重量

P2=200kN。求：能安全工作时，平衡重P3=?解：取整体，受力如图。53可能的不安全情况？1满载时，绕B顺时针翻倒；2空载时，绕A逆时针翻倒。不翻倒的条件？不绕B顺时针翻倒的条件：

FA

0不绕A逆时针翻倒的条件：FAFBP2取整体，受力如图。FB

0541满载时

MB(F)=0则：令：FA

0,得：FAFBP255FAFB2空载时空载时，P2=0

。令：FB

0,得：则：∴安全时：75

kN

P3

350kNP2

MA(

F

)=056例4-10一汽车起重机如图。车身重W1，起重机吊臂重G，转盘重W2已知。尺寸如图，单位是m。试求当吊臂在汽车纵向对称面内时，不致使汽车翻倒的最大起重量Pmax。57例4-10说明支撑腿支撑腿伸出并支撑稳定前不得移动吊臂，更不得起吊重物58重心和形心

(CenterofGravityandCentroid)6/12/202459朱雀铜灯东汉铜奔马半坡尖底罐60什么是重心？在重力场中，物体受重力作用，其合力的作用点即为该物体的重心物体的重心是一个点，该点可能在物体上，但也可以不在该物体上抛弃重力的概念，而取质量中心，显然与重心位置相同。但重心只有在重力场中才存在，质心则与重力场无关质心？61重心在工程中的意义(1)重心位置影响物体的平衡与稳定性；(2)对于高速旋转机械，若重心不在转轴上，将会引起剧烈振动，甚至引起破坏。所以，确定重心的位置很重要。62重心的坐标公式一、重心坐标的一般公式二、均质物体的重心坐标公式三、均质等厚薄板的重心、均质等截面线段的重心63一、重心坐标的一般公式Ci

GiCGOzyx

G1C1x1y1xCyCxiyi设坐标系与物体固连,重心坐标为xc,yc,zc。总的重力为

G，小微块的重力为

Gi

，则：64用合力矩定理求重心坐标。求

xc

:用对y轴的合力矩定理CGOzyxxCyCxiyiCi

Gi65求yc:用对x轴的合力矩定理CGOzyxxCyCxiyiCi

Gi求zc:将各力的方向转过90度，然后用对x轴的合力矩定理G

Gi66重心坐标的一般公式67二、均质物体的重心坐标公式设物体材料的比重为

，代入求和形式的重心坐标公式，得到：则=rg，r为材料的密度，g为重力加速度68三、均质等厚薄板的重心Oxyz69三、均质等厚薄板的重OxyVi=·AiV=·A设厚度为

，则有：70四、均质等截面线段的重心设截面为S，则有：所以均质等截面线段的重心为：71重力可以表示为：代入重心坐标公式，有：在认为重力加速度为常数时，有：

质心坐标公式在重力场中，认为重力加速度为常数时，质心与重心重合。质心坐标公式72确定重心位置的具体方法(1)简单几何形体的重心用定积分计算。高等数学定积分的应用中已介绍。见有关手册简单形体重心表。73积分法求均质物体的重心74均质对称物体的重心若均质物体具有对称面,则重心必在此对称面上;若均质物体具有对称轴,则重心必在此对称轴上;若均质物体具有对称中心,则重心必在此对称中心上。75(3)用实验方法测定物体重心的位置(a).悬挂法76(b).称重法称出总重量P;量出长度l

;称出B处的受力;则：77思考题机床重2500N。称重时，机床在水平位置时A处秤上读数1750N，当

=20°时秤上读数为1500N。求xC、yC。78思考题解xCGRA1.求xC考虑水平放置时画受力图列平衡方程即

RB79思考题解GRAw2.求yC考虑斜放时画受力图列平衡方程EF

mRB80平面一般力系的平衡方程受平面一般力系作用的刚体,平衡即:平面一般力系的平衡方程由于式中FR’是向量，所以上式实际有三个分量式平面一般力系有三个独立的方程，可解三个未知量。投影轴可任选，力矩方程的矩心也可任选。81例1已知：F,力偶M，均布载荷q，长度a。求：支座A、B处反力。解：取AB为研究对象，受力如图。FAxFAyFB分布力用合力代替：Fq82xyo

Bb例2已知：有一平面一般力系，满足：

X

≠0,

Y

=0,

MA(F)=0,MB(F)=0,A为x轴上的点，B为y轴上的点，OB=b,

角已知。求：OA=？解：因为

X

≠0A主矢R’

≠0可以合成为合力。因为

MA(F)=0合力作用线过A点因为

MB(F)=0合力作用线过B点合力作用线过AB连线。因为

Y

=0,而R’

≠0，R’⊥y轴。83平衡方程的其它形式1二矩式：

X

=0

MA(

F

)

=0

MB(

F

)

=02三矩式：

MA(

F

)

=0

MB(

F

)

=0

MC(

F

)

=0BAxCACA、B

连线不垂直于x轴A、B、C三点不在同一条直线上附加条件：附加条件：B84平面一般力系平衡的二矩式的证明必要性即要证，平衡二矩式成立∵平衡∴FR’＝0，MO＝0力系的主矢在任一轴上的投影为零；对任一点的矩为零。∴

二矩式成立。即要证，平衡二矩式成立充分性∵

MA(

F

)

=0∴力系只可能合成为合力或平衡85平面一般力系平衡的二矩式的证明由

MA(

F

)

=0若有合力，则合力作用线过A点由

MB(

F

)

=0若有合力，则合力作用线过B点。合力作用线过ABBAx又有

X

=0且x轴不与AB连线垂直∴必有：合力为零，即力系平衡。证毕86例3如图所示起重机，自重P=10kN，挂钩上吊有重Q=40kN的重物。求在止推轴承A和轴承B处的约束反力。解：1选起重机为研究对象，画受力图2列平衡方程zAzB87例4图示梁AB，支座及受力如图。梁的自重及各处摩擦均不计，试求A和B处的支座反力。RARB问题：A处为什么无水平分力？使用二矩式解88

平面力系的平衡条件与平衡方程

平面一般力系的平衡条件与平衡方程例题2

A端固定的悬臂梁AB受力如图示。梁的全长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。求：固定端处的约束力。89

解：1．研究对象、隔离体与受力图本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解除A端的固定端约束，代之以约束力FAx、FAy和约束力偶MA。于是，可以画出梁AB的受力图。

平面力系的平衡条件与平衡方程

平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题2

图中、M、q为已知的外加载荷，是主动力。

2．将均布载荷简化为集中力作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与作用长度的乘积，即ql；合力的方向与均布载荷的方向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。

ql90

解：3．建立平衡方程，求解未知约束力通过对A点的力矩平衡方程，可以求得固定端的约束力偶MA；利用两个力的平衡方程求出固定端的约束力FAx和FAy。

平面力系的平衡条件与平衡方程

平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题2

ql91例题3

图示结构，若FP和l已知，确定A、B、C三处约束力lACBllFP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题3

平面力系的平衡条件与平衡方程92

分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题3

平面力系的平衡条件与平衡方程93

MA(F)=0:FBC

d-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题3

平面力系的平衡条件与平衡方程

建立平衡方程求解未知量94

MB(F)=0:-FAy

l-FP

l=0FAy=-FPdDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题3

平面力系的平衡条件与平衡方程

建立平衡方程求解未知量95

Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题3

平面力系的平衡条件与平衡方程

建立平衡方程求解未知量96M=FPlllACBlD例题4

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡条件与平衡方程

图示结构，若FP和l已知，确定A、B、C三处约束力97ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy´FBx´FCx´FCy´llACBlDM=FPl

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题4

平面力系的平衡条件与平衡方程分析BC和ABD杆受力98ABDFAxFByFBxFAy考察ABD杆

的平衡

MB(F)=0:

MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx

=0:

FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题4

平面力系的平衡条件与平衡方程99CB'M=FPlFBy´FBx´FCx´FCy´考察BC杆的平衡Fx

=0:

FBx´-

FCx´=0

FCx´=FBx´=

FBxFy

=0:

FBy´-

FCy´=0

FCy´=FBy´

=FBy=0

MB'

(F)=0:FCx´

l+M

=0FCx´=FBx´=

-FP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题4

平面力系的平衡条件与平衡方程100llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题4

平面力系的平衡条件与平衡方程101关于平衡对象的选择能不能以整体为平衡对象FAxFAyFAxFAyACBM=FPllllDllACBlDM=FPl

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题4

平面力系的平衡条件与平衡方程102lllFPACBD例题5

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡条件与平衡方程

图示结构，若FP和l已知，确定A、C二处约束力103ACBDllFPlFCyFAFCx

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题

5

平面力系的平衡条件与平衡方程104ACBDllFPlFCyFAFCx

ME(F)=0:

MA(F)=0:

MC(F)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FA

l=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题

5

平面力系的平衡条件与平衡方程105lllACBDM=FPl例题6

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡条件与平衡方程图示结构，若FP和l已知，确定A、C二处约束力106lM=FPlllACBDFAFC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题6

平面力系的平衡条件与平衡方程107lM=FPlllACBDFAFC

MC(F)=0:

FA=FC=FPFA×l+M=0

平面一般力系平衡方程的其他形式－例题6

平面力系的平衡条件与平衡方程108

简单的刚体系统平衡问题第3章工程构件的静力学平衡问题返回109

静不定问题的基本概念对于每一种力系，独立的平衡方程的个数是一定的，当未知力的个数超过独立的平衡方程的个数时，就无法仅由平衡方程解出全部未知力。这种问题称为静不定问题，或超静定问题。若：未知约束力的个数

独立的平衡方程数

静定(StaticallyDeterminate)问题。若：未知约束力的个数

独立的平衡方程数

静不定(StaticallyIndeterminate)问题。110静不定次数未知约束力数-独立平衡方程数

=

静不定次数

或超静定次数静定问题静不定问题（1次）MM对于超静定问题：111系统静定性的判断静定问题静不定问题（1次）例112例

例

113ACBlllFPFAyFAxFCxFCyFQllFPABDFAyFAxFByFBxBCFCxFCyF’ByF’BxFQ例题FF取整体，受力如图取AD,受力如图取CB,受力如图所以，是静定问题。114一个由N个刚体组成的系统，若受到平面一般力系的作用，则可列出3N个独立的平衡方程。当未知力的个数

3N

时，即为静定问题。一般地：115简支梁、外伸梁116连续梁117多跨静定梁中间铰基本部分附属部分118物体系统的平衡问题常常需要求内力；虽只需求外力，但取整体时，独立的方程 数少于未知外力的个数。

在这两种情况下，都需要将系统拆开，取一部分为研究对象。119物体系统的平衡问题求解求解物体系统的平衡问题，需要选择适当的平衡方程，尽量避免求解联立方程。（投影轴和矩心

的选取）正确选择研究对象；120例1

连续梁已知：F=5kN,q=2.5kN/m,M=5kN·m,尺寸如图。求：支座A、B、D处反力。解：AC梁基本部分；CD梁附属部分。分析：取什么为研究对象？先分析是否是静定问题是静定问题。FCyFCxFD若取整体，受力如图。若取CD，受力如图。FAyFAxFDFB1211）取CD，受力如图。FCyFCxFD将分布力用合力来代替。FQ11222）取整体，受力 如图。FAyFAxFDFB将分布力用合力来代替。FQ123解法2

1）取CD，受力如图。FCyFCxFDFQ1FD，FCx，FCy

2）取AC，受力如图。FB，FAx，FAy

。FAyFAxFBF’CxF’Cy124FQ解法3

对整体，将分布力用合力来代替。取CD，将C铰链连在CD上，受力如图。FCyFCxFDFQ问题:这样求出的FD与前面求出的不同。哪一种方法是正确的?125例

2

三铰拱物体系统的平衡：例题2左半跨内作用有均布载荷，集度为q，拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。分析：取什么为研究对象？FAxFAyFBxFByF’CxFCyF’Cy

FAxFAyFCxFBxFBy126物体系统的平衡：例题2

解：1.取整体，画受力图由有：由有：由有：FAxFAyFBxFBy127物体系统的平衡：例题2由有：2.取BC思考：如果AB不等高，如何求支反力？1.取整体FAxFAyFBxFByFCyFCxFBxFBy128第三章静力学平衡问题6/12/2024129求解刚体系统平衡问题小结1、选取研究对象时，要选最佳方案。 一般可先考虑取整体(当未知力为3个，或可求出一部分未知力时)；拆开取分离体时，可取受力相对简单的部分。物体系统的平衡：总结对于连续梁，先取附属部分为研究对象因为附属部分支座少，对于三铰拱，先取整体为研究对象因为AB等高程，三个未知力经过同一点，约束反力少，可以一个方程解一个未知量。可以求出一部分未知力。130物体系统的平衡：总结、列平衡方程时，选恰当的投影轴（与未知力垂直）；选恰当的矩心（未知力的交点）；、对于分布载荷注意应用等效与简化的概念。尽量做到一个方程解一个未知量。注意：要先取分离体，然后再简化。131解：1、取整体，受力如图。例3已知：F=200N,M=2400Nm,尺寸如图，单位为m。求：A，E处反力。FAyFAxFEyFEx有四个未知量，不能全部求出，但本题中，可求出一部分。(1)下面需求出FAx

或FEx

。物体系统的平衡：例题3132下面求FAx

2、取AC，受力如图。FAyFAxFBFCyFCx

这时，还是有四个未知量。3、取BDH，受力如图。F’B

FDyFDx对AC：再由(1)式物体系统的平衡：例题3133法二(求FEx

)1、与法一相同，取整体。求出FAy

,FEy,得到(1)式。

2、与法一相同，取BDHF’B

FDyFDx3、取BDH+CE，受力如图FEyFExF’BF’CyF’Cx再由(1)式物体系统的平衡：例题3134法三(求FEx

)1、与法一相同，取整体。求出FAy

,FEy,得到(1)式。

2、与法一相同，取BDHF’B

FDyFDx3、取CE，受力如图再由(1)式FEyFExF’CyF’CxF’DyF’Dx物体系统的平衡：例题3135答案：由本题可看出：虽然外载荷F沿铅垂方向，力偶M也可用两个铅垂方向的力来表示，但支座A，E处的水平方向的反力并不为零。FAyFAxFEyFEx物体系统的平衡：例题3136例4

已知：连续梁，P=10kN,Q=50kN,CE

铅垂,不计梁重

求：A,B和D点的反力

物体系统的平衡：例题4137解：1取起重机，FFFGFDFCyFCxFG’2取CD，受力如图。受力如图。物体系统的平衡：例题41383取整体，受力如图。FDFAyFAxFB物体系统的平衡：例题4139例5已知：

F=180kN,尺寸如图，单位为m。求：A，H及D处反力。解：1.取整体，受力如图。FAyFAxFH或物体系统的平衡：例题5140FAyFAxFH3、取DH，受力如图。FDyFDxFEyFExFH2、取BE(带轮)，受力如图F’EyF’ExFByFBxFC=F物体系统的平衡：例题5141FAyFAxFH法二3、取AD，受力如图F’EyF’ExFByFBxFC1、与法一相同，取整体，2、取BE(带轮)，受力如图FAxF’ByF’DyFAy求出FAx

,FAy

,FH.F’DxF’CF’Bx物体系统的平衡：例题5142答案：FAyFAxFH物体系统的平衡：例题5143例6已知：M=36kNm,尺寸尺寸如图,单位为m.求:

A,B及C处反力.解：1.取AC+CH+EG,

受力如图。FAxFAyFDxFDy取整体分析,受力如图。物体系统的平衡：例题6FAxFAyFBxFBy144FAxFAyFBxFBy1.取AC+CH+EG2.取整体,受力如图3.取CH,受力如图。FGFC物体系统的平衡：例题6145法二1.取CH,受力如图FGFC2.取ADC,受力如图3.取整体,受力如图FAxFAyFDxFDyFAxFAyFBxFByF’GF’C物体系统的平衡：例题6146答案：FAxFAyFBxFBy物体系统的平衡：例题6147思考：多拱结构已知：P,Q,

拱的自重不计。求：A,B支座的约束反力。FAxFAyFByFBx答案：物体系统的平衡：思考题148已知：，求：A,B处的约束反力。物体系统的平衡：思考题149求解刚体系统平衡问题小结1、选取研究对象时，要选最佳方案。 一般可先考虑取整体(当未知力为3个，或可求出一部分未知力时)；拆开取分离体时，可取受力相对简单的部分。2 、列平衡方程时，尽量做到一个方程解一个未知量。

选恰当的投影轴（与未知力垂直）；选恰当的矩心（未知力的交点）；、对于分布载荷注意应用等效与简化的概念。注意：要先取分离体，然后再简化。150平面桁架的内力桁架的定义；桁架的力学模型；平面简单桁架的内力计算。151一、桁架的定义桁架的优点是：用材经济，结构的重量轻由一些细长直杆按适当方式分别在两端连接而成的几何形状不变的结构桁架152桁架分类木桁架钢桁架钢筋混凝土桁架按材料可分为：153桁架分类平面桁架平面结构，载荷作用在结构平面内；按空间形式可分为：

对称结构，载荷作用在对 称面内。154桁架分类空间桁架

结构是空间的，载荷是任意的；平面桁架平面结构，载荷作用在结构平面内；对称结构，载荷作用在对称面内。结构是平面的，载荷与结构不共面。155二、桁架的力学模型1.节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点156榫接木桁架节点157钢桁架节点铆接焊接158钢筋混凝土桁架节点刚接159二、桁架的力学模型基本假定：1.桁架的杆件均为直杆；2.所有节点处均为光滑铰链；3.载荷只作用在节点处；4.杆件的重量忽略不计。满足以上假设的桁架称为理想桁架。节点杆件160各杆件都用光滑铰链相连接161各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心162所有外力，包括荷载及支座约束力都作用在节点上163二力杆轴向力ABFAFBAB理想桁架的内力特点：164三、平面简单桁架内力计算无余杆桁架一种典型的无余杆桁架：本节讨论平面简单桁架的内力计算。有余杆桁架——静定桁架。——静不定桁架。——平面简单桁架165取一部分为考察对象节点法截面法取各节点为考察对象取一部分为考察对象1661、节点法以节点为研究对象，每个节点所受的力系是

平面汇交力系；桁架在外力作用下平衡，每个节点也应保持平衡求内力时从只有两个未知力的节点开始节点力的作用线已知，指向可以假设；逐个地取节点为研究对象，就可求出各杆的受力。167例1已知：

F1=800N，F2=1000N。求：各杆的内力。解：1取整体，受力如图。FDFCyFCx

X

=0

Y

=0

MC(F)=0

FCx=0FD=2600NFCy=-800N1682取节点A，受力如图

X

=0

Y

=0FS1

=1600N(拉)

FS2=-1385.6N(压)

3取节点D

，受力如图

X

=0

Y

=0FS3

=-1800N(压)

FS5=-1600N(压).1694取节点B

，受力如图

X

=0FS4=1385.6N(拉)

工程上，将所有杆件的力设为拉力。本题中，不求支座反力，也可求出1，2，3，4号杆的内力。170零力杆的判断一定荷载作用下，桁架中内力为零的杆件零杆xyFN=0FPFN1

=0FN2=0节点上无外力作用？171FFF1231，2，3杆的内力为多少？（答案：0，F，0）172FPFPABCDEGHI1732截面法用假想截面将桁架截为两个部分； 因为各杆均为二力杆，截断后，内力沿杆的 方向。考察局部桁架的平衡，求出杆件的内力。平面一般力系所截断的含有未知力的杆件数不超过3个174例2已知：P1=10kN，P2=7kN。各杆的长度均为1m。求：杆1,2,3的内力。解：1取整体，受力如图。

X

=0

Y

=0

MA(F)=0FAx=0FB=8kNFAy=9kNFAxFAyFB175FAxFAyFBmn2用m—n截面，

MD(F)

=0

Y

=0

ME(F)=0F3

=9.81kNF1=-10.4kNF2=1.15kN注意：1用截面法时,必须截为完全分开的两部分；

2只能截在杆件上，不能截在节点上。取左半部分，受力如图。176例3

试求平面桁架中1、2杆的内力。FP12AKBCDEOGHIJa4×ah177FP12AKBCDEOGHIJa4×ahFAyFK178123KOGHIJFKFN1FN2FN3FP123AKBCDEOGHIJa4×ahFAyFKmm179讨论一：FPABCDEOGHIJKLa180FPABCDEOGHIJKLaFPa①FPa②FPa③a④nFPa①③nn④②181①OFN1FN212FP12FN1FN2讨论二：xyFPABCDEOGHIJKLa182判断零力杆DE、EF、FG、GBAC、AB、BC、BD183例题解:

(1)求支座反力求图示简单桁架各杆的内力184取节点A取节点B（2）求各杆内力A30kNNACNAB

BNAB’NBCNBD185取节点C取节点D

至此，桁架各杆内力均已求出，剩余的三个平衡条件可用来验证计算结果。186

为直观起见，将各杆内力标于杆旁。正值表示该杆内力为拉力，负值表示该杆内力为压力。ABDCE7515-2550-40-400单位：kN187

用截面法求简单桁架中AC、BC两杆的内力。

作截面I—I切断AC、BC及BD三杆，并取右边部分为研究对象，画受力图。AB

30kNNACNBCNBD由平衡方程解得：188解得：或者：AB

30kNNACNBCNBD189PAFDCBE154326798aaa例题节点法：按A、B、F、C、E、D的顺序依次求出1、2、3、4、5、6、7、8、9各杆的内力截面法：直接求出6、7、8各杆的内力190节点法PAFDCBE154326798aaaPAN2N1191PAFDCBE154326798aaaN2BN3N4192PAFDCBE154326798aaaN5FN3N6N1193PAFDCBE154326798aaa截面法同时截断6、7、8三杆，使上半部成为独立的分离体194PAFDCBE154326798aaaN8N7N6195PAFDCBE154326798aaa有时也可灵活应用截面法，如此处截8、9杆N8N9注意：由于E点为固定铰支座，故由不能得到N9的值！196第三章静力学平衡问题6/12/2024197

考虑摩擦时的平衡问题

第3章工程构件的静力学平衡问题返回198梯子不滑倒的最大倾角θ

考虑摩擦时的平衡问题

199钢丝不滑脱的最大直径

考虑摩擦时的平衡问题

200夹纸器的最小倾角

考虑摩擦时的平衡问题

201夹持器的最小倾角

考虑摩擦时的平衡问题

202磨削工具利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

203磨削工具利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

204利用摩擦力锚紧泊船

考虑摩擦时的平衡问题

205刹车器利用摩擦力

考虑摩擦时的平衡问题

206轮轴承轴承中摩擦力越小越好

考虑摩擦时的平衡问题

207赛车后轮的摩擦力是驱动力WFNFs

考虑摩擦时的平衡问题

208放大后的接触面

考虑摩擦时的平衡问题

209接触面的计算机模拟

考虑摩擦时的平衡问题

210滑动摩擦(SlidingFriction)摩擦定义由于物体相互接触而产生的一种阻碍物体间相对运动(趋势)的现象。流体摩擦—流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。摩擦的类型干摩擦—固体与固体之间无润滑的摩擦；有润滑时：湿摩擦；内摩擦—物体材料内部的摩擦。211干摩擦的类型本节只讨论：滑动摩擦。

滚动摩擦(rollingfriction)

滑动摩擦(slidingfriction)静滑动摩擦动滑动摩擦按运动形式分为：212

考虑摩擦时的平衡问题

摩擦(friction)是一种普遍存在于机械运动中的自然现象。实际机械与结构中，完全光滑的表面并不存在。两物体接触面之间一般都存在摩擦。在自动控制、精密测量等工程中即使摩擦很小，也会影响到仪器的灵敏度和精确度，因而必须考虑摩擦的影响。研究摩擦就是要充分利用有利的一面，克服其不利的一面。

按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，有滑动摩擦和滚动摩擦之分。根据接触物体之间是否存在润滑剂，滑动摩擦又可分为干摩擦和湿摩擦。本课程只介绍干摩擦时，物体的平衡问题。

213

滑动摩擦定律

考虑摩擦时的平衡问题

214FPWFFN库仑定律干摩擦时的摩擦力F

fs

FN215滑动摩擦力静止状态：F＝Fmax

F

Fmax运动状态：临界状态：此时，摩擦力的大小由平衡方程确定.F=

Fd

FFPO45°FmaxFd运动状态静止状态临界状态FPWFFN216最大静摩擦力(MaximumStaticFriction)最大静摩擦力指两个接触面之间的极限摩擦力值在接触的材料、表面光洁度、润滑介质、温湿度不变的前提下，最大静摩擦力正比于正压力

fs

静摩擦系数(coefficientofstaticfriction)

查表，或由试验确定217动滑动摩擦力(Movingfriction)Fd=f

FN

f

动摩擦系数(coefficientofmovingfriction)

查表，或由试验确定一般地：

f略小于fs，可认为218滑动摩擦力小结摩擦永远存在，区别只在大小静摩擦力-随主动力的大小而变最大静摩擦力-取决于正压力、相互接触的材料、表面光洁度、润滑介质、温湿度等动摩擦力小于静摩擦力219滑动摩擦力小结从约束的角度看， 摩擦力是最大值有限制的切向约束力。摩擦力的方向与相对运动(趋势)的方向相反。其大小有三种情况：静止时：F＝Fmax

＝

fs

FNFd

＝

f

FN0F

Fmax滑动时：临界时：此时，摩擦力的大小由平衡方程确定.220考虑摩擦时的平衡问题干摩擦时的摩擦力

总约束力FR与法向约束力FN作用线之间的夹角用表示。FR

FNFs摩擦角(angleoffriction)221摩擦角开始运动前,

角随FP的改变而改变，临近运动时达到最大值

m

0

m

m摩擦角。考虑摩擦时的平衡问题干摩擦时的摩擦力FNFmaxFR

m2222用摩擦角表示的平衡条件是：0

3摩擦角与摩擦系数的关系：即：关于摩擦角：1摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。FNFmaxFRA

FRA

223FNFmaxFRA

三维受力状态下，摩擦角成为摩擦锥。上面是物体有向右运动趋势时的摩擦角，当物体有向左运动的趋势时，也可画出一个摩擦角。

FmaxFRA224考虑摩擦时的平衡问题

主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁(selflocking)。自锁及其应用225考虑摩擦时的平衡问题

主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。自锁及其应用226考虑摩擦时的平衡问题

主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。自锁及其应用227考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用228自锁及其应用斜面自锁条件：

螺纹的自锁条件229

考虑摩擦时构件的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

放置于斜面上的物块重FW＝1000N；斜面倾角为30º。物块承受一方向自左至右的水平推力，其数值为FP＝400N。若已知物块与斜面之间的摩擦因数fs＝0.2。

求：1.物块处于静止状态时，静摩擦力的大小和方向；

2．使物块向上滑动时，力FP的最小值。

例题

9230

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

解：根据本例的要求,需要判断物块是否静止。这一类问题的解法是：假设物体处于静止状态，首先由平衡方程求出静摩擦力F和法向反力FN。再求出最大静摩擦力Fmax。将F与Fmax加以比较，若物体处于静止状态，所求F有意义；若，物体已进入运动状态，所求F无意义。231

考虑摩擦时的平衡问题

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

以物块为研究对象，假设物块处于静止状态，并有向上滑动的趋势，受力如图示。其中摩擦力的指向是假设的，若结果为负，表明实际指向与假设方向相反。由

F＝－153.6N

负号表示实际摩擦力F的指向与图中所设方向相反，即物体实际上有下滑的趋势，摩擦力的方向实际上是沿斜面向上的。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

232

考虑摩擦时的平衡问题

最大静摩擦力为

因此，物块在斜面上静止；摩擦力大小为153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

FN＝1066N

F＝－153.6N

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

233

考虑摩擦时的平衡问题

仍以物块为研究对象，此时，物块处于临界状态，即力FP再大于FPmin，物块将发生运动，此时摩擦力F达到最大值Fmax。这时，必须根据运动趋势确定Fmax的实际方向。

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

234

考虑摩擦时的平衡问题

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

联立，解得：FPmin＝878.75N

当力FP的数值超过878.75N时，物块将沿斜面向上滑动。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

235

考虑摩擦时构件的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题

梯子的上端B靠在铅垂的墙壁上，下端A搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束。已知：梯子与地面之间的摩擦因数为fs；梯子的重力为W。1．设梯子在倾角

1的位置保持平衡，求:A、B二处约束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:倾角的范围。

例题

9236

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:1.梯子在倾角

1的位置保持平衡时的约束力

这种情形下，梯子的受力如图示。其中将摩擦力FA作为一般的约束力，假设其方向如图示。于是有

由此解得

237

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:1.梯子在倾角

1的位置保持平衡时的约束力

由此解得

所得FA的结果为负值，表明梯子下端所受的摩擦力与图中所假设的方向相反。

238

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

这种情形下，摩擦力FA的方向必须根据梯子在地上的滑动趋势预先确定，不能任意假设。解:2.求梯子不滑倒的倾角

的范围

平衡方程和物理方程分别为

239

考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:2.求梯子不滑倒的倾角

的范围

联立，不仅可以解出A、B二处的约束力，而且可以确定保持梯子平衡时的临界倾角由常识可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡时梯子对地面的倾角范围为

240FQ

A例1已知：

A块重FP,

,,物块与斜面间的摩擦系数为f。求：能使A块保持平衡的FQ的值。解：取A块，分析受力

FNFPFsFTxy摩擦力的方向？此时，摩擦力方向如图。建立坐标系如图。1、设有上滑趋势。考虑摩擦时物体的平衡问题241

FNFPFsFTxy设达到临界状态，则有：解出：记为：2422、设有下滑趋势

FNFPFTxyFs这时，摩擦力方向向上。解出：记为：结论：平衡时,FQ的值为：设达到临界状态，则有：243例2

已知：

P=120N，提起砖的力F。砖夹与砖之间fs=0.5,尺寸如图。求：b为多大才能把砖夹起？解：1.取整体，受力如图。(1)FGxFGyFFNAFAs2.取AGB，受力如图。244FGxFGyFFNAFAs(2)摩擦力：(3)3.取砖，受力如图。F’NAF’AsFDsFND(4)式(4)代入式(3)上式代入式(2)245法二取GCED为研究对象。GCED为二力杆。平衡时，受力如图。FRGFRD

由摩擦角的概念，平衡时必有：则：由图：A’所以：246

已知：三角块和矩形块的质量分别为20kg和10kg；各部分之间的摩擦系数均为f

=0.4。

求：二物体均不发生运动时，所能施加的最大力FP。例3247解：分析有几种可能的运动趋势1 矩形块不动， 三角块滑动；2 矩形块不动， 三角块翻倒；3 三角块与矩形 块一起滑动；4 三角块与矩形块一起绕C翻倒。2481 矩形块不动，三角块滑动

X

=0FP=

78.48N取三角块，受力如图。约束力作用点在A、B两点之间。Fs

-

FP=0Y

=0FN-W1=0摩擦力：Fs

=f

FN

FsFNW1249

MA(F)

=0FP=98.1N2矩形块不动,三角块翻倒取三角块，受力如图。翻倒临界状态时，FN作用于A点。FP

1.0FsFNW1-

W1

0.5=0250

X

=0

Fs2

-FP=0Y

=0

FN2-W1

-W2

=0摩擦力

Fs2

=f

FN2

FP=117.7N3二者一起滑动取整体，受力如图。Fs2FN2W1W2251FP=220.5N4二者一起绕C翻到取整体，受力如图。

MC(F)

=0FP2

Fs2W1W2FN2-(W1+W2)

1.5=0252结论上述结果表明,当FP从零逐渐增加时，先发生三角块滑动，所以,可以施加的最大力为FP=78.48N1

三角块不滑动，所能施加的最大力为

FP=78.48N2三角块不翻倒，所能施加的最大力为

FP＝98.1N3

三角块与矩形块都不滑动，所能施加的最大力为

FP=117.7N4

三角块与矩形块都不绕C翻到，所能施加的最 大力为

FP＝220.5N253

结论与讨论

求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题

正确地进行直观判断，提高定性分析能力

摩擦角与自锁的概念

求解超静定问题的方法简述

受力分析的重要性254

结论与讨论

受力分析的重要性

读者从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的重要部分，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取得正确的结果。

初学者常常不习惯根据约束的性质分析约束力，而是根据不正确的直观判断确定约束力。

错在哪里？255

结论与讨论

受力分析的重要性

读者从本章关于单个刚体与简单刚体系统平衡问题的分析中可以看出，受力分析是决定分析平衡问题成败的重要部分，只有当受力分析正确无误时，其后的分析才能取得正确的结果。

初学者常常不习惯根据约束的性质分析约束力，而是根据不正确的直观判断确定约束力。

错在哪里？256

结论与讨论

求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题257

结论与讨论

求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题

根据刚体系统的特点，分析和处理刚体系统平衡问题时，注意以下几方面是很重要的：

认真理解、掌握并能灵活运用“系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡”的重要概念。

某些受力分析，从整体上看，可以使整体保持平衡，似乎是正确的。但却不能保证每一个局部都是平衡的，因而是不正确的。

要灵活选择研究对象所谓研究对象包括系统整体、单个刚体以及由两个或两个以上刚体组成的子系统。灵活选择其中之一或之二作为研究对象，一般应遵循的原则是：尽量使一个平衡方程中只包含一个未知约束力，不解或少解联立方程。

258

结论与讨论

求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题

注意区分内约束力与外约束力、作用与反作用力。内约束力只有在系统拆开时才会出现，故而在考察整体平衡时，无需考虑内约束力，也无需画出内约束力。当同一约束处有两个或两个以上刚体相互连接时，为了区分作用在不同刚体上的约束力是否互为作用与反作用力，必须对相关的刚体逐个分析，分清哪一个刚体是施力体，哪一个是刚体受力体。

注意对主动分布载荷进行等效简化考察局部平衡时，分布载荷可以在拆开之前简化，也可以在拆开之后简化。要注意的是，先简化、后拆开时，简化后合力加在何处才能满足力系等效的要求。

259特点：满足平衡方程的约束力有无穷多组解。FA+FB=FPCBAllFPFAFB

结论与讨论

求解超静定问题的方法简述260

解法：不能再采用刚体模型，而必须采用变形体模型。CBAllFPFAFB

lAB+lBC=0

结论与讨论

求解超静定问题的方法简述261第四章材料力学的基本概念6/12/20242