第三章 统计描述

海南大学应用科技学院(儋州校区)魏宏三章数据分布特征描述第一节统计表与统计图第二节分布的集中趋势第三节分布的离中趋势第四节分布的偏度和峰度第三章统计描述1、掌握统计资料的两种基本表达方法：统计表和统计图2、理解和领会平均数的概念及其特点，掌握平均数各种计算方法的概念及计算公式3、区分算术平均数与强度相对数的不同4、离散趋势指标的计算是本章的又一重点，应该在理解的基础上掌握标准差的计算公式５、

掌握标准差系数的意义、计算及应用条件6、分析平均数、中位数与众数之间的关系以及相互之间的推算学习目标第一节统计表与统计图

统计表的概念：对统计调查所获得的原始资料进行整理，得到的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格上，就形成了统计表。广义的统计表包括统计工作各个阶段中所用的一切表格，如调查表、汇总表或整理表等。本节所讲的统计表是狭义的统计表，即将汇总结果按一定顺序排列在由横行、纵列交叉结合而成的表格中，这种表现统计资料的表格称为统计表一、统计表（一）统计表的定义和结构第三章统计描述统计表的结构：

1、从表式上看，统计表是由纵横交叉的线条组成的一种表格，包括总标题、横行标题、纵栏标题和指标数值四个部分。总标题是统计表的名称，它扼要地说明该表的基本内容。它置于统计表格的正上方。横行标题是横行的名称，一般位于表格的左方。纵栏标题是纵栏的名称，一般位于表格的上方。指标数值列在横行和纵栏的交叉处，用来说明总体及其组成部分的数量特征，它是统计表格的核心部分。

2、从内容上看，统计表由主词栏和宾词栏两个部分组成。主词栏是统计表所要说明的总体及其组成部分；宾词栏是统计表用来说明总体数量特征的各个统计指标。我国2002年国内生产总值按三次产业分国内生产总值（亿元）比上年增长率(%）

第一产业

148832.9

第二产业529829.9

第三产业34522

7.3

合计1023988.0纵栏标题数字资料

主词

宾词横行标题总标题

（3）复合表：主词按两个或两个以上标志进行分组的统计表，也称复合分组表。

（二）统计表的分类

1、按主词的结构分类，根据主词是否分组和分组的程度，分为简单表、分组表和复合表。

（1）简单表：主词未经任何分组的统计表称为简单表，也称一览表。主词罗列各单位的名称。

（2）分组表：主词只按一个标志进行分组形成的统计表，也称简单分组表。

2、按宾词设计分类，可分为宾词简单排列、分组平行排列和分组层叠排列等。（1）宾词简单排列宾词不进行任何分组，按一定顺序排列在统计表上。（2）宾词分组平行排列宾词栏中各分组标志彼此分开，平行排列。

（3）宾词分组层叠排列统计指标同时有层次地按两个或两个以上标志分组，各种分组层叠在一起，宾词的栏数等于各种分组的组数连乘积。

（三）统计表的设计

统计表设计总的要求是：简练、明确、实用、美观、便于比较。

（1）线条的绘制。表的上下端应以粗线绘制，表内纵横线以细线绘制。两端一般不划线，采用“开口式”。

（2）合计栏的设置。统计表各纵列若需合计时，一般应将合计列在最后一行，各横行若需要合计时，可将合计列在最前一栏或最后一栏。

（3）标题设计统计表的总标题，横栏、纵栏标题应简明扼要，以简练而又准确的文字表述统计资料的内容、资料所属的空间和时间范围。

（4）指标数值表中数字应该填写整齐，对准位数。当数字小且可略而不计时，可写上“0”；当缺某项数字资料时，可用符号“

”；不应有数字时用符号“－”表示。

（5）计量单位统计表必须注明数字资料的计量单位。当全表只有一种计量单位时，可以把它写在表的右上方。如果表中各格的指标数值计量单位不同，可在横行标题后添一列计量单位。

（6）注解或资料来源必要时，在统计表下应加注解或说明，以便查考。

首先建立直角坐标系，横轴代表分组变量，纵轴表示频数或频率。以各组距为宽，各组的频数或频率为高，绘制代表各组的直方块，便形成直方图。1512963105110115120125130135140

统计图：统计图是借助几何图形或具体形象来显示统计数据的一种形式。（一）直方图二、统计图

（二）折线图

也称多边形图，是在直方图的基础上绘制的。1512963105110115120125130135140频数(人)

将每个直方块的顶端中点，即组中值画一个小圆点，然后将这些小圆点用直线相连，即形成折线图。起点通常放在距左边最低组半个组距的横轴上，终点通常放在距右边最高组半个组距的横轴上。

（三）曲线图

当变量数列的组数无限时，折线便表现为一条平滑曲线。曲线图的绘制方法与折线图基本相同，只是在连接各组次数坐标点时应当用平滑曲线。频数(人)1512963

（四）累计曲线图

累计曲线图的绘制。累计频数（频率）分布图分为向上累计频数（频率）分布图和向下累计频数（频率）分布图。不论是向上累计还是向下累计均以分组变量为横轴，以累计频数（频率）为纵轴。在直角坐标系上将各组组距的上限与其相应的累计频数（频率）构成坐标点，依次用折线（或光滑曲线）相连，即是向上累计曲线。对于向下累计频数分布图，在直角坐标系上将各组组距下限与其相应累计频数（频率）构成坐标点，依次用折线（或光滑曲线）相连，即是向下累计分布曲线图。圆形图（饼图Pie）。环形图。环形图与饼形图类似，但又有区别。A、B城市居民对住房的满意度散点图（Scatter）

第二节分布的集中趋势

（一）平均指标含义

一、描述分布集中趋势的主要指标及其分类

（二）平均指标的特点具有代表性和抽象性。

概括地描述统计分布的一般水平或集中趋势的数值。4、分析现象之间的依存关系。规模和利润率（三）平均指标的作用

统计平均数具有重要作用，主要体现在以下几点：1、反映总体各变量分布的集中趋势和一般水平。平均劳动生产率2、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平。不同行业平均工资3、能够比较同类现象在不同时间的发展变化趋势或规律。居民收入平均收入水平（个体受偶然影响，总体受人数影响）

位置平均数根据标志值某一特点位置来确定的平均数。它不是对统计数列中所有各项数据进行计算所得的结果，而是根据数列中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的。（四）平均数的分类

平均数根据其具体的代表意义和计算方式不同，可分为：

数值平均数是以统计数列的所有各项数据来计算的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。众数中位数平均数位置平均数数值平均数

算术平均数调和平均数几何平均数幂平均数二、位置平均数（一）众数

1、众数的直观含义：总体中出现次数最多、频率最高的标志值。众数（Mode）,在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平（众数可以不存在或多于一个）。修正定义：是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。用M或Mo表示。按日产量分组（件）工人数（人）2015213022202310

2、确定众数的方法。（1）单项数列确定众数（2）由组距数列确定众数2、计算公式：比例差值法1、确定众数组：等距：次数最多；异距：频数密度最高例：年人均纯收入（千元）农户数（户）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合计3000农户年人均收入众数计算表众数的确定（组距数列）月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—中位数的位次：计算该企业该日全部工人日产量的中位数。众数特点

1、众数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，它不受分布数列的极大或极小值的影响，从而增强了众数对分布数列的代表性。

2、当分组数列没有任何一组的次数占多数，也即分布数列中没有明显的集中趋势，而是近似于均匀分布时，则该次数分配数列无众数。3、如果与众数组相比邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；如果与众数组比邻的上一组的次数较多，而下一组的次数较少，则众数在众数组内会偏向该组下限；如果与众数组比邻的上一组的次数较少，而下一组的次数较多，则众数在众数组内会偏向该组上限。

4、缺乏敏感性。这是由于众数的计算只利用了众数组的数据信息，不象数值平均数那样利用了全部数据信息。（二）中位数

1、中位数的含义将总体各单位按其标志值大小顺序排列起来居于中间位置的那个数就是中位数。2、确定中位数的方法（1）由未分组资料确定中位数中位数的作用：不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。

①标志值的个数是奇数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数

①标志值的个数是偶数【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的位次为中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即（2）由单项数列确定中位数例：中位数为第40名和41名日产量的平均值按日产量分组（件）x工人数（人）f累计次数向上累计向下累计20101080221525702430555526258025合计80——（3）由组距数列确定中位数计算公式（比例差值法）通过累计次数找出中位数所在组合计数向上累计至中位数组的前一组例年人均纯收入（千元）农户数（户）向上累计次数5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合计3000—(1)计算累计次数(2)确定中位数组(6—7)(3)根据中位数计算公式计算中位数中位数位次：【课练】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的中位数。其它分位点中位数是二分位点与中位数类似的还有四分位数（quartile）、十分位数（decile）和百分位数（percentile）等。它们分别是用3个点、9个点和99个点将数据四等分、10等分和100等分后各分位点上的值。这里只介绍四分位数的计算，其他分位数与之类似。一组数据排序后处于25％和75％位置上的值，称为四分位数，也称四分位点。1.四分位数位置的确定设下四分位数为QL

，上四分位数为ＱＵ，对于未分组的原始数据，各四分位数的位置分别为：（1）未分组数据：当四分位数的位置不在某一个位置上时，可根据四分位数的位置，按比例分摊四分位数两侧的差值。[例3.2]在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位:元），1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，计算人均月收入的四分位数。解：即QL在第2个数值（780）和第3个数值（850）之间0.5的位置上，因此QL＝（780＋850）÷2＝815（元），即QU在第7个数值（1500）和第8个数值（1630）之间0.5的位置上，因此QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元）QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我们可以说有一半的家庭人均月收入在815～1565元之间。（2）组距分组数据：上四分位数下四分位数:

数值型分组数据的四分位数(计算公式略)三、数值平均数总体单位数：

表示的是一个总体内所包含的总体单位数。在上面计算公式中，总体标志总量必须是总体各单位标志值的总和，标志值和单位之间存在一一对应关系。

数值平均数是对总体各单位某一标志值的平均，表明总体单位标志值的一般水平。基本计算公式是：

总体标志总量/总体单位数。总体标志总量：

总体各单位某种数量标志值的总和。总体平均数样本平均数公式中，（一）算术平均数1、算术平均数的计算计算算术平均数有两种式：（1）简单算术平均数

适用于未分组资料，用总体各单位标志值加总得到标志总量除以总体单位总量而得。计算公式为：代表算术平均数。

表示各单位标志值。

表示总体单位数。5名学生的学习成绩分别为：75、91、64、53、82。则平均成绩为：

例

①根据单项数列计算加权算术平均数计算公式：

应用条件：单项式分组，各组次数不同。（2）加权算术平均数

例:某车间20名工人加工某种零件资料：

按日产量分组（件）x工人数（人）f日产总量

xf14228154601681281758518118

合计20319②根据组距数列计算加权算术平均数应用条件：组距式分组，各组次数不同。按日产量分组（公斤）工人数f组中值x日产总量xf20—301025

25030—407035245040—509045415050—6030551650合计200—8400例：某车间200名工人日产量资料：

权数在平均数中的权衡轻重的作用，是直接通过各组单位数占总体单位数的比重，也就是各组的频率－相对数的大小体现出来的。频率的大

2、权数（1）概念

对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均数总是趋向于出现次数最多的哪个标志值。（2）权数的表现形式绝对数形式（次数）相对数形式（比重）（3）权数的作用

当各组的次数都相同时，各标志值对平均数的影响都相同时，那就无所谓权数的“权衡轻重”了。在这种情况下，加权算术平均数就等小体现出来的。频率的大小就直接表明了该组标志值在平均数中占据的地位，频率越大，该标志值计入平均数的份额也越大，对平均数的影响就越大；反之，频率越小，该标志值计入平均数的份额就越小，对平均数的影响就越小，这就是权数权衡轻重作用的实质。（4）权数不起作用的场合可以说，简单算术平均数实际上是加权算术平均数的特例。于简单算术平均数。即当时，

一般说来，次数就是权数，但在计算相对指标的平均数时，经常遇到次数不是权数的情况。故在求相对指标的平均数时，应根据相对指标的含义选择适当的权数。（5）权数的选择（6）由比重权数计算加权算术平均数例按日产量分组（公斤）人数比重（%）组中值x20—30

52530—40353540—50454550—601555应用条件：已知的是比重权数（次数是比重）公式：4、根据相对数（平均数）计算的加权

某局所属的三个企业的资料：

企业产值计划完成%x计划产值（万元）f实际产值（万元）xf甲95300285乙105900945丙115300345

合计—？？15001575（1）根据相对数计算的（2）根据平均数计算的某企业各班组工人劳动生产率资料:班组平均劳动生产率x实际工时f产品产量(件)xf一101001000二122002400三153004500四203006000五302006000合计？？

—110019900

3、是非标志的平均数

是非标志:也称交替标志，当总体单位某种品质标志的具体表现为“是”与“非”或“有”与“无”两种情况时，这种品质标志就称为是非标志。

是非标志x单位数

f比重

1

0

合计N1

平均数的计算：把具有某种特征的用“1”表示，不具有该种特征的用“0”表示。例：某工厂生产某种产品合格率为95%，不合格率为5%，求是非标志平均数。4、算术平均数的数学性质（2）各个变量值与其平均数离差平方之和为最小值（1）各个变量值与其平均数离差之和等于零思考几何意义（3）给每个变量值增加或减少一个任意数A，则算术平均数也相应增增加或减少这个任意数A。（4）给每个变量值乘以或除以一个任意数A，则算术平均数也相应扩大或缩小A倍。（二）调和平均数（H）

是社会经济统计中常用的另一种平均指标，它是根据标志值的倒数计算的，所以又称倒数平均数。与算术平均数一样，调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。例:一个人步行两里，走第一里时速度为每小时候10里，走第二里时为每小时20里，则平均速度为：应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是1。计算公式:1、简单调和平均数不能为02、加权调和平均数计算公式：速度

x行走里程

m所需时间201

152103

合计6

例1：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。例2班组平均劳动生产率x实际工时产品产量(件)m一

101001000二12200

2400三15300

4500四203006000五

302006000合计

—110019900调和平均数的应用【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710计算该企业该日全部工人的平均日产量。解即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。

是另一种形式的平均数，是N个变量值乘积的N次方根。主要用于计算平均比率和平均速度。几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数两种。

（三）几何平均数（G）1、简单几何平均数车间投入量产出量合格率

%x一100080080

二80072090三72050470例：某企业生产某种产品需经过三个连续作业车间才能完成。应用条件：资料未分组（各变量值次数都是1）。计算公式：2、加权几何平均数计算公式：年份累计存款额本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%例：将一笔钱存入银行，存期10年，以复利计息，10年的利率分配是第1年至第2年为5%、第3年至5年为8%、第6年至第8年为10%、第9年至第10年12%，计算平均年利率设本金为应用条件：资料经过分组，各组次数不同。本利率x年数f105%2108%3110%3112%2合计10平均年利率=8.77%[课练]某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。该流水线产品平均合格率为：解：几何平均数的计算方法思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即【课练】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：第2年的计息基础第12年末的本利和为：第12年的计息基础则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：4幂平均幂平均（powermean）也叫广义平均（generalizedmean）或赫尔德平均（Höldermean），是毕达哥拉斯平均（包含了算术、几何、调和平均）的一种抽象化。K=1,算术K=-1,调和K0，趋近于几何（三）众数、中位数、和算术平均数和的关系对称分布左偏分布右偏分布

众数、中位数和算术平均数数量关系的经验公式为：算术平均数和众数的距离约等于算术平均数与中位数距离的三倍：第三节分布的离中趋势一、描述分布离中趋势的主要变异指标及其作用

变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的变异程度越大。它是反映总体各标志值间差异程度的,且能衡量总体平均数的代表性。变异指标的含义常见的变异指标有：极差四分位差

方差

变异系数

标准差异众比率

平均差2、反映现象变动的均衡性。均匀性变异指标的作用1、用于衡量平均指标的代表性。变异越大，代表性越低

3、研究总体标志值分布离散的情况。二、定类数据离散趋势的测度——异众比率

非众数组的频数占总频数的比率(variationratio)，称为异众比率异众比率的计算公式为：式中：为变量值的总频数；为众数组的频数一家市场调查公司为研究不同品牌饮料的市场占有率，对随机抽取的一家超市进行了调查。调查员在某天对50名顾客购买饮料的品牌进行了纪录。整理得不同品牌饮料的频数分布资料，要求根据资料计算异众比率。极差也称全距，用R表示三、极差与四分位差极差公式：

R=最大值—最小值【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900优点：计算简便，易懂缺点：易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中四分位差用Q1代表第一个四分位数（下四分位数），Q3代表第三个四分位数（上四分位数）

四分位数通过三个点将全部数据分为四个部分，每部分包含25%的数据，处在分位点上的数值就是四分位数。很显然中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指第一个四分位数（下四分位数）和第三个四分位数（上四分位数）。也称内距或四分间距，它是上四分位数与下四分位数之差，用Q.D表示

四分位差Q.D=Q3-Q1四分位差反映了中间50%数据的离散程度,其数值越小,说明中间的数据越集中,数值越大,说明中间的数据越分散。四分位差不受极值的影响，主要用于测度顺序数据的离散程度。四平均差(Meandeviation)平均差是各变量值与其算术平均数离差绝对值的平均数。根据掌握资料的不同，平均差有以下两种计算方法：1.简单平均法对于未分组资料，采用简单平均法。其计算公式为：

MD=某厂甲、乙两组工人生产某种产品的产量资料

==加权平均法在资料分组的情况下，应采用加权平均式：

=某企业100名工人的月工资资料

平均差计算简便，意义明确，而且平均差是根据所有变量值计算的，因此它能够准确地、全面地反映一组数值的变异程度。但是，由于平均差是用绝对值进行运算的，它不适宜于代数形式处理，所以在实际应用上受到很大的限制。五、方差与标准差是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；它是测度数值型数据离散程度的最主要方法。标准差的平方标准差方差：计算公式资料未分组资料已分组例1

某车间5名工人生产零件的日产量（件）分别为20、22、23、24、26，试计算其方差及标准差，日产量（件）209221230241269合计20某车间5名工人日产量例2日产量（公斤）工人数f组中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合计200—12190某企业加工车间200名工人日产量（件）资料如下表所示，某加工车间200名工人日产量【课练】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。即该售货小组销售额的标准差为109.62元。【课练】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000解：即该公司职工月工资的标准差为167.9元。标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.标准差的简捷计算避免离差平方和计算过程的出现目的变量值平方的平均数变量值平均数的平方简单标准差加权标准差总方差、组间方差和组内方差。

组内方差反映组内标志值对组平均数的方差，组间方差反映组平均数对总平均数的方差。它们之间的关系为

变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。方差与标准差的数学性质

变量对算术平均数的方差小于对任何常数的方差。

n个同性质独立变量平均数的方差等于各变量方差平均数的1/n。

变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。

n个同性质独立变量和的方差等于各个变量方差的和是非标志的方差与标准差如前是非标志的平均数为P标志值x单位数f10合计N___由于标准差有良好的数学性质，相比较而言，它的应用最为广泛。例：某工厂生产某种产品合格率为95％，不合格率为5％，求是非标志的方差及标准差。

上面介绍的极差、方差和标准差等都是反映数据分散程度的绝对指标，而且一般都是带有计量单位的有名数。这些标志变异指标的大小不仅受总体各单位标志值离散程度的影响，而且还受到标志值自身水平高低的影响。因此在比较不同总体的标志变异程度及其平均指标代表性大小时，不能直接用上述各种标志变异指标来比较，而必须采用反映标志变异程度的相对指标，即标志变异系数（也称标志变动系数或离散系数）来比较。

标志变异系数计算公式为例如，将极差与其平均数对比，得到极差系数；将标准差与其平均数对比，得到标准差系数。最常用的标志变异系数是标准差系数。各种变异指标与其算术平均数之比。一般用V表示。用来对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小:——标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:变异系数指标身高的差异水平：cm用变异系数可以进行比较体重的差异水平：kg不可比

某地区工薪阶层人员的月平均收入为1000元，标准差为2