2020-2021学年泸州市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年泸州市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.经过15分钟分针转过的角的弧度数是（）

A.oB.-7oC.-7ZD.Z

2.已知角a的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P（-47n,3m）（m>0）是角a终边上的一点，

则sina4-2cosa=（）

A.-1B.-gC.1D.:

3.设取是平行四边形/BCZ）的对角线的交点，O为任意一点，则与+砺+无+砺=（）

A.QMB.2OMC.3OMD.4OM

4.设全集霭=感翅=国城值:普徵Y1%通建耳舒<一联则图中阴影部分

表示的集合为（）

A.3*

B.卬禽

C.

D.G蹲•-源

5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔

离分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质,也常用函数解析式来

分析函数图象的特征.如函数y=2Wlsin2x的图象大致是（）

A.B.不

•X#X

7.23>54，log32的大小关系是()

--

A.25<5z<log32B.5-2<23<log32C.log32<5z<25

D.5~2<log32<25E.5"<log32<25

8.若函数/'(x)=e'+e-x与g(x)=e*-e-x的定义域均为R,贝!!()

A./(x)与g(x)与均为偶函数B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C.f(x)与g(x)与均为奇函数D.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

9.某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元,

如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会

剩下多少钱()

A.8元B.16元C.24元D.32元

10.已知(a-，)3+cos(y-a)=2m,(0—^)3+cos(y-。)=-2m,其中m&R,则cos(a+£)=

()

A.-在

Bc

2T-4

11.函数/(X)=遍cos(3x+》图象的对称中心是()

A.(卜兀+，4)(k€Z)B.(/c7r+^,0)(fcGZ)

C.穹+9佝(keZ)D.寻+〈0)(k€Z)

12.偶函数/"(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在xe[0,1]时，/(x)=x,则关于％的方程/Q)=舄尸,

在xG[0,4]上解的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知事函数/'(X)过点(2,鱼)，若/(10—2a)</(a+l),则实数a的取值范围是.

14.已知向量胃=(1,1一cos。)，ft=(1+cosd,^),且有〃3，则锐角。=.

15.已知函数/(x)=2s讥(3%+£)+acosa)x(a>0,a)>0)对任意与,x2GR都有/(x。+f(x2)<

4V3.若/。)在［0,利上的取值范围是［3,2g］,则实数3的取值范围是.

16,已知△ABC中,8(-1,0),C(l,0),匕,后分别是直线48和AC的斜率.

关于点4有如下四个命题：

①若4是双曲线/-?=1上的点，贝收］.七=2.

②若七・七=—2,则4是椭圆J+y2=1上的点.

③若%1，々2=-1，贝!M是圆/+y2=1上的点.

④若［4B|=2|4C|,贝必点的轨迹是圆.

其中所有真命题的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.(1)己知x>0,y>0,若xy=3,求x+y的最小值.

(2)已知%>3,求x+展的最小值.

18.已知全集U={0,1,2，…,9),若(C/)n(CM)={0,4,5},An(C„F)={1,2,8},4nB={9},试

求AUB.

19.设函数j=f(x)=百二上两闾Pi(0J1).Pi(x”,若“鲁嘤且P点的横

坐标为;.

(I)求P点的纵坐标;

a)若%=/(「+《m+LL+/(汩+超求陷

(HI)记匕为数歹I」1>的前n项和，若7；va(S”［+JI)对一切都成立,

国+何S"⑸

试求a的取值范围.

20.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件的销售价格p(千元

)与时间久(天)组成有序数对(/p),点(％P)落在下图中的两条线段上，

且日销售量q(件)与时间x(天)之间的关系是q=-尤+60(%6N*).

(I)写出该产品每件销售价格千元)与时间x(天)之间的函数关系式；

(H)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售金额=每件产品的销

售价格x日销售量)

21.已知函数/'(x)=V3cos2a)x+sincoxcoscox>0)的最小正周期为兀.

(1)求3的值；

(2)将f(x)图象上所有的点向左平移三个单位长度，得到函数丫=9。)的图象，若对于任意的%1，X2G

(P，-^+(P),当与>必时，/Oi)—/(%2)>-9(必)恒成立，求9的取值范围.

22.己知函数/(x)=1。鼻.

(I)试用函数单调性定义证明：/"(X)在其定义域上是减函数；

(11)要使方程/(%)=%+胞［-另］上恒有实数解，求实数b的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：分针顺时针旋转一周为60分钟，转过的角度为-2兀，

经过15分钟，分针转过的角的弧度数是占x(-2兀)=-，

6UZ

故选：C.

利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2兀，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案.

本题主要考查弧度的定义：一周对的角是2兀弧度.考查顺时针旋转得到的角是负角，属于基础题.

2.答案：A

解析：解：•・•角a的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，

点P(-4m,3巾)(6>0)是角a终边上的一点，

:.r=y/(—4m)2+(3m)2=5m1

.-.Sina+2cOSa=^+2x^=-l.

故选：A.

先求出r=5m,再由任意角三角函数定义能求出sina+2cosa的值.

本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.答案：D

解析：解析：考查向量加法的运算法则；由已知得原式

=Wtt®且翻是/町翻的中点，所以■礴江藤荫，

所以原式=^0'，选D

4.答案：B

解析：根据题意，由于管=五感=如:喙叫等y瞬，廊=轲鼾《：-加那么可知阴影部分表示的为集

合4,B得交集，那么结合数轴法可知，集合4=｛国-如：断::嘤二幕=蠹，「於《:-及，因此交集为

[-鼠一砥，选B.

考点：Penn图

点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Uemi图的应用等基础知识，考查数形结合思

想.属于基础题.

5.答案：D

解析：

根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当］<X<兀时，/(X)<0,利用排除法进行求解即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的对称性以及函数值的对应性，利用排除法是解决

本题的关键，是基础题.

解:/(-%)=2l-x|sin(-2x)=-2Msin2x=-/(x),函数为奇函数，图象关于原点对称，排除4,B,

当］<%<兀时，/(%)<0,排除C,

故选：D.

6.答案：C

解析：

本题考查了单位向量的计算方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

与向量荏=(1,3)平行的单位向量=土点p

解：|荏|=J/+(V3)2=2.

与向量荏=(1,3)平行的单位向量为土&?).

故选：C.

7.答案：D

解析：解：；23>2°=1-

1>log32>log3V3=p

5~2<4-I=

2

贝<log32<25-

故选：D.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用

8.答案：D

解析：解:由于/'(-x)=e-x+e-(-x)=1+e-x=/(x),故/'(x)是偶函数，

由于g(—x)=e~x—e-(T)=e~x—ex=—(ex—e-x)=一g(x)，故g(x)是奇函数，

故选D

根据函数奇偶性的定义进行判断并作出正确的判断即可.

题主要考查函数的奇偶性的判断，根据函数的奇偶性的定义是解决本题的关键.

9.答案：D

解析：解：设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，

+5y=a+8

+3y=a-8'

<两式相加得8x+8y=2a,[x+y=[a,

v5%4-3y=a—8,:.2x+(3x+3y)=a-8,

・,•2%+3xZQ=a—8,BP2%=工。—8,得8%=a—32,

44

即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，

故选：D.

设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，由题意列x,y与a的关系式，整理可

得8x=a-32,即可得到结论.

本题考查根据实际问题选择函数模型，考查整体运算思想及运算求解能力，是中档题.

10.答案：D

解析：解:设/(%)=x3+sinx,则尸(%)=3x2+cosx,

所以/'(x)是偶函数；

当0Wx<l时,3x2>0,cosx>0,所以/'(x)>0；

当x21时，3x2>3,cosx>-1,所以f'(x)>0；

所以尸(x)>。恒成立，即/(x)在定义域内单调递增；

因为/(—x)=(-x)3+sin(—x)=—x3—sinx=—/(%),

所以/(x)是定义域R上的奇函数，函数图象关于原点对称；

又cos(*-a)=cos碎-(a-：)]=sin(a-)

所以(a一铲+COS(Y—a)=(a—铲+sin(a—=2m,

同理可得(S-7)3+cos(?-0)=犀—£)3+sin(0-g)=-2m,其中巾GR,

所以/(a—一0=0,

所以口―3+(0-9=0,

OD

即a+/?=m，所以cos(a+/?)=；.

故选：D.

构造/(x)=/+sEx,判断/(x)的奇偶性和单调性，把cosg-a)化为sin(a-)cosg—/?)化

为sin(0-)利用/(x)的奇偶性和单调性求出a+£的值，再计算cos(a+夕)的值.

本题考查了三角函数求值的应用问题，解题的关键是构造函数f(x)=x3+sinx,利用函数的奇偶性

和单调性求出a+£的值，是难题.

11.答案：D

解析：解：函数f(x)=V5cos(3x+g),

O

令3x+£=B+k兀，k€Z,解得％=2+竺，kEZ,

所以/(X)的对称中心为(g+^,o)(kez).

故选：D.

利用余弦函数的对称中心以及整体代换的思想，列出等式求解即可.

本题考查了三角函数的对称性，解题的关键是掌握余弦函数的对称中心，考查了整体代换的运用，

属于基础题.

12.答案:D

解析:解:-1)=/(%+1)/(%)=/(%+2),

・•・原函数的周期T=2.

又•・•/(%)是偶函数，・•・/(-x)=/(%).

又,.・尤£[0,1]时，/(%)=%,函数的周期为2,

・•・原函数的对称轴是％=1,且f(一%)=/(%+2).

设%=/(%),、2=(即尸，

方程/'(>)=(*尸根的个数，

即为函数%=/(X)的图象(蓝色部分)与

y2=(看尸的图象(红色部分)交点的个数.

由以上条件，可画出乃=f(x),刈=舄尸的图象：

又因为当x=l时，yi>丫2,；•在(。，1)内有一个交点•

结合图象可知，在［0,4］上%=/(X),y2=舄尸共有4个交点.

••.在［0,4］上，原方程有4个根.

故选D.

根据己知条件推导函数f(x)的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求

解.

本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于基础题.

13.答案:(3,5］

解析：

求出函数f(x)的解析式，根据函数的单调性和定义域得到关于a的不等式组，解出即可.

本题考查了求函数的解析式，利用函数单调性解不等式，考查幕函数的性质，是一道基础题.

解：设黑函数的解析式为f(x)=xa,

由‘暴函数/(X)过点(2,夜)，得：2a=e故a=T，

故f(x)=石，/(%)在［0,+8)递增，

若f(10-2a)</(a+l),

a+1>0(a>-1

所以卜0—2aNO，解得aW5，

.10-2QVa+1(a>3

所以3VQW5,

故答案为：(3,5］.

14.答案：E

解析：解：•.•日=(1,1一cos。)，K=(1+COS0,|),且五〃方，

・•・(1-cos6)(l+cos。)—1=0,

即1—cos20-^=0,

即cos?。=I，

。为锐角，・•・cosO=—»

2

则”

p4

故答案为：

根据向量平行的坐标公式进行化简求解即可.

本题主要考查向量平行的坐标公式的应用以及三角函数函数求值，比较基础.

15.答案：［焉］

解析：解：/(x)=2sin(cox+£)+acosa)x=Msincox+(1+a)cosa)x=73+(1+a)2sin(o)x+(p),

其中tanw=詈，

因为函数f(x)对任意看,x2eR都有fQi)+f(x2)<4V3，

所以/'(x)的最大值为26，所以J3+(1+a)2=2遍,即(l+a)2=9,a>0,所以a=2,

所以f(x)=2V3sin(wx+^),

因为OSXSTT,所以;W+gW3兀+某

若/(x)在［0,网上的值域为［3,2b］,

所以？<sin(a)x+^)<1

结合正弦函数的性质可知，注即+三拳

解得*<w

即实数3的取值范围是G,二

OD

故答案为：oJ

由辅助角公式可得/(x)=J3+(1+a)2sin(3X+办由题意可知/(x)的最大值为2b，可求得a,

然后结合已知函数的值域及正弦函数的图象的性质可求实数3的取值范围.

本题主要考查了正弦函数性质，三角函数的最值，解题的关键是灵活利用函数性质，属于中档题.

16.答案：①③④

解析：解：对于①，8(—1,0)，C(l,0),设4(x,y),贝卜2一1=1今产一1=3，

自=点=为七=f=占卜也=右=*2,所以①对；

2

对于②,8(-L0)，C(l,0),设A(%,y),

则心二与^二七，攵2=之一=七，^1^2=~r~=-2=>—4-%2=1，所以②错；

1x+lx+14x-1x-11zx2-l2

对于③，C(l,0),设4(%,y),

则的=£^=上，"2=F=三，七B=矢=-1=M+y2=1,所以③对；

对于④，5(-1,0),C(l,0),设4(x,y),

则|AB|=2\AC\=\AB\2=4\AC\2=(x+l)2+(y-0)2=4((x-l)2+(y-0)2)；

=%2+y2_畀+]=0=(%_|)2+y2=学则4点的轨迹是圆，所以④对.

故答案为：①③④,

①求出斜率验证即可；②求出动点轨迹方程对比即可；③求出动点轨迹方程对比即可；④求出动

点轨迹方程验证即可.

本题以命题的真假判断为载体，考查了曲线轨迹方程问题，属于中档题.

17.答案：解：(1)由于x>0,y>0,xy=3,所以x+y22/石=2遮，当且仅当x=y=遮时

等号成立.

所以x+y的最小值为2遮；

(2)v%>3,%—3>0

••-x+-^-=x-34--^-4-3>7当且仅当％-3=即％=5时+七取得最小值7,

x-3x-3x-3x-3

x+喂=%-3+±+322J(x-3)(-)+3=7,当且仅当x=5时，等号成立，

所以x+白的最小值为7.

解析：(1)利用基本不等式的性质即可得出，

(2)x+三=%-3+二+3,再利用基本不等式的性质即可得出.

••A\JB=[1,2,3,6,7,8,9).

解析：由韦恩图得:A={1,2,8,9),8={3,6,7,9},由此能求出4UB.

本题考查集合的并集的求法，是基础题，解题时要注意韦恩图的合理运用.

19.答案：（1）1；（口）,=竺IzHL（m）a>-.

2n29

解析：试题分析：（I）求户点的纵坐标，由于户点满足僦=普晶],由向量加法的几何意义

可知，庐是质的中点，则忖+七=1,而多上两点在函数V=/（X）=---=上,故

,21+0

Jp=3jl+jJ,而b'l+丸=/（芭）+/（七1=1，从而可得户点的纵坐标；（11）根据忖+±=1,

|/（x1）+/（x,）=y1+y,=1，/⑴=2-0,可利用倒序相加法求和的方法，从而可求的

口（乐符。可硝的值；⑺记匕为数歹|（“）：…}

的前n项和，若T”<a]S2+J可对一切卜wN*都成立,试求叵的取值范围，由（II）可知

=?，二-7一,从而.—------=可用拆项相消法求和，若

”2瓣,泮垂;飒内竭獭^翼懑#哪

T“<a（S—+0）对一切小©JV*都成立,即卜〃+]+9,只需求出卜^^的最大值，从而得

回的取值范围.

ui\_i----『---------

试题解析：（I）••，。夕=三|0Pl+op2），，F是同g的中点，则忖+w=1---（2分）

[）X>

力H㈤+/M止三

yp=1（y1+y2）=^>所以伊■点的纵坐标为:.（4分）

（H）由（I）知忖+巧=1,|>'!+y2=f（.Xi）+/（.V,）=1,/Il）=2-V2.

两式相加得

n-1

2s“=〃1)+L+f\+f到+〃1)

*n

[2〃1)+〃-1=〃+3-20.•£="+3-2V5；伊分)

二果：=霓_1-普」普10分

若踪“:碱晶夜泮&岁对一切做把嫌都成立

又凡小旨即燃

…鼠—宴_卷

“,3)=您普喳电年缴二二?不12分

设吸E产证螃湎同崂上是增函数题场1减函数，而g(4)=g⑸=9

3.

二g(n)的最小值为9,二阐泊一《八

螂14d分

考点：数列与函数的综合；数列的求和.

20.答案：解：(I)根据图象，每件的销售价格p与时间x的函数关系为：p=

(x+400(0<x<20,xe/V)

(60(20<x<30,xe/V)'

X6(X2G

(口)设第x天的日销售金额为y(千元)，贝物={^Jo-^(2O<x<fo/eW)")，

nn_(—x2+20%+2400,0<x<20,xEN

'y~l-60x+3600,20<x<30,x&N'

当0cxW20,xCN*时，y=-%2+2Ox+2400=-(%-10)2+2500,.••当x=10时，加眨=2500,

当20cxs30,X6N*时，y=-60x+3600是减函数，Ay<-60x20+3600=2400,

因此，这种产品在第10天的日销售金额最大.

解析：本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力.

(I)根据已知条件，利用分段函数写出该产品每件销售价格p〔千元)与时间x(天)之间的函数关系式;

(n)利用分段函数通过二次函数以及函数的单调性分别求解最值，推出结果即可.

21.答案:解：(l)/(x)=yf3cos2a)x+sina)xcosa)x—(<o>0)

Gl+cos2co%,1.V3

=V3------------F-sin2oa)x-----，

222

1V3

=-sin2a)x-V—cos2a)x

22

=sin(2wx+；),

所以丁=翁="，解得3=L

(2)由(1)可知/(x)=sin(2x+^).

所以gQ)=f(x+》=sin(2x+j+7)=cos(2x+)

当％i>不时，f(%i)-f(次)>g(%i)-g(%2)恒成立，

所以当为1>%2时，f(Xl)-ff(xl)>f(%2)-g〉2)恒成立，

令九(%)=/(%)—g(x)=sin(2x+；)-cos(2x+g)

nTInn

—sin2xcos—+cos2xsin——cos2xcos—4-sin2xsin—

3