2022-2023学年山东省德州市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022-2023学年山东省德州市统招专升本数

学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

、单选题（30题）

1.

设'=47—［（H>°）,其反函数I在，=0处导数是)

A-fB-TC--I

2.

.微分方程虫+虫=o的通解是

)

yx

A..r2+jr2=25B.3I+4y=C

C.X2+/D.y-V=7

3.

函数.尸（］）=arcsin（,r—2）的定义域是）

B.(―8.+OO)

9—2L92L1

-2十2JD.(1.3)

已知/'(4)=2,贝fg+ft)）。

EfQh

A.4C.2D

4.B二-3

下列等式正确的是（)

迎sinx,

A.limWB.lim------=1

x2-l2x

1-cos2x

C.D.lim=1

XTO

5.

微分方程y"+2y'-3y=0的通解是()

x3xI

A.y-Cg*■"+C2eB.j=C1e-+e

xxx

6C.y-C^+C2e-D.y=e+3e-"

7.

设=F(x)+C,则jz/Xora+d)dj-=

()

A.F-G+CB.#"+6)

C.yF(ar5+6)+CD.^F(a,r2+6)+C

8.

下列级数中发散的是)

A.L

rt=1M=10

no

C.D.SsE

n-l0

9.

,八

a--s-i-i-k--r-K0.

已知函数/Q)=则在点,r=0处.下列结论正确的是

1.H=0.

A.a=1时・/Q)必然连续B.a=0时・/(①)必然连续

C.a=1时./(i)不连续D.a=-1时・/(①)必然连续

10.

lim.rsin-=()

—0JT

A.一1B.1C.OD.不存在

11.

定积分j[MsinxcLr=<)

A.-1B.0C.1D.2

12.

.函数-y)在点"，y。)处有两个偏导数普和空存在，则它在点5,y。)处

a_r3y

()

A.连续B.可微C.不一定连续D.一定不连续

13.

函和y=In(工-1)+——的宗义域为()

716-x2

A.(1,4]B.[1,4)

C.(1.4)D.[l,4]

14.

若函数fQ)=(ln.r)”.r>1),则/(1)=()

A.(lnT)r1B.(lnj)r1+(lnx)rln(lnj)

C.(lnj-)rln(lnj)D.j(lnj-)1

15.

.函数u=/Q”)在点5,%)处有两个偏导数叠和竽存在，则它在点5,W)处

A.连续B.可微C.不一定连续D.一定不连续

16.

已知函数/(x)=工，则/[/(!)]=()

C

A.rB.r2-7D.9

17.

.若1(7)廿=二时：/(rcoW,厂sinj)川厂，则区域D可表示为

Ad+A<AB.x2+yz<a\x>0

C.a2+y24心，aV0D.x2+a?<心，a>0

18.

ydx+(2—x)dy=0的通解为

A.y=%+2)B.3=CT

C..y=C(.r-2)D.y=ln(x—2)

19.

.若『f(w，,y)d0=「，/(厂co加心iMrdr,则区域D可表示为

D~2

A.x2+y2&a?B.x2+y2W/・工》0

C.x2+y<qvoD.x2+y?&ar,a>0

20.

曲线y=的水平及垂直渐近线共有

x["一—5yx二+6

A.1条B.2条C.3条D.4条

21.

设函数/(X)在工=工。可导，且『5)=l.flijlim1工。+-

A.1B.2C.3D.5

22.

.设D={(1•?)1144,.20,»20}.则二重积分〃出“1»=

[)

A.16KB.8K

C.47rD.3九

23.

设/(z)=+l)(i+3),则/'(i)=0有个根.()

A.3B.2C.lD.O

24.

.微分方程y+y=cosx的特解可设为()

A.y9=acosx+6sin.rB.y9=axcosx

C・y"=I?(acosi+分siru)D.y*=x(acosx+6sin.r)

25.

试确定当a-o时,下列哪一个无穷小是对于I的三阶无穷小()

A.>/~ir—B.\/1+1-1

C.'+0.0002.Z2D.7sin；r"

26.

当TfO时，比1-cos]高阶的无穷小是()

A.4卫+]-1B.ln(1+M)

C.sin.rD.arctan.r3

27.

微分方程jlnjdv+(y—Inj)cLr=。满足y|,=’.=1的特解为()

A4(lnr+nb)B4(r+nb)

C.l(In.4-1)7-T)

28.

fl.

—sinx+a,x<0A,

X

若函数/(x)=，0,x=0,在x=0连续，则。=()

,1

xsin-,x>0A

x

A.2B.0C.1D.-1

29.

当才-»0时，若2a—cos]〜；万，则可确定&的值一定是()

A.0B.1C.JD.一十

30.

已知函数f(z)在开区间(a,〃)内有：/'(3<。且/'(.?)>0,则在开区间(a")内，

/(.r)是()

A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸

C.单调递减且形状为凹D.单调递增且形状为凹

二、填空题(20题)

31.

如果存在，且/(.r)=+2lim/(.r),则=

j“*N7V上

—4=0・(JC-2V—之一1

+2=。与直线

33.

如果函数f(1)在忆0处可导，且f(H0)为/(Q的极大值，则/"(j,o)=

34.

S

若lim于(I)=A,则当n—时，f(z)—A称为

7fhe

35.

已知函数/“)=匚»一•则定积分f2",,)1七、•的值等于

1+式J11W1----------------

8

事级数ZJ的收敛半径R=

36.1小3

37.忌卢

38y=x-e*的极大值点是,极大值是.

曲线/(x)=sinx在处的切线方程是

39.

40.

设函数/(无)=log2jr(.r>0),贝Ijlim------------')

xlr-*0

,土空dX

=a

T1+X2

(21、,43、

已知矩阵/=,B=,则|/且=

42.I,V(2\)

43.

设/(X)在［0,1］上有连续的导数且八1)=2,J'/(.r)dx=3.则

曲线y=2sin.rcosx在区间［0,n］上的拐点是

45.

要使函数/⑺=占一告在/=I处连续，应补充定义/（I）

limxsin-+—sinx-__________

46.xx)

fsin2/)八

——；—,iV。，

设/(-=Y在1=0处连续,则k

An3Y—2z+£,z>。

已知x->0时,无穷小1—cos.r与asin\r等价.则a

当x->0时./(2、)与1—COST等价?则lim[).=

49.厂*0wsinw

设响数'C"=o处连续.-炳数公

—+2X才40

50.e

三、计算题（15题）

5]设y=xyll-x2+arcsinx,求y'.

求极限lim处七N.

x-»。x-sinx

52.

X1+x2+x3=-l,

设非齐次线性方程组，w+2工3=3,

533%+2%2+%3=。

(1)。为何值时方程组无解？。为何值时方程组有解？在有解时，方程组有唯一解还是

无穷多解？

(2)如果方程组有唯一解，求出该解；如果方程组有无穷多解，求出用导出组的基础解

系表示的全部解.

54.

求函数,之)=xy2+2?—xyz在点P(>(―1,1,2)处沿方向/={—1,1,—1}的

方向导数.

55.

设曲线积分£=[A[e"x+/(x)]j^dx-/(x)dy与路径无关，其中/(x)

JAB

有一阶导数且/(0)=—1,彳为(0,0),B为(1,1),试求/(x)和2的值.

计算定积分|Harctaruxb.

56.

57.

求微分方程/+2yz+j=0满足初始条件)(0)=4和y(0)=-2的特解.

58.

在区间[0』给定函数y=/,问/为何值时，图中S1与§2的面积之和最小，何时最

大？

32

求不定积分一——dz.

Xy/x2—1

59.

已知/具有二阶连续偏导数,若Z=/（silKT,1/）,求.

dxdxdy

60.'

.rt.(Zi1)2(J7I2尸上t

y=­；---------2ky-

61./r+3(.r+4)

62.

设函数・/（/—“2一），其中函数/具有二阶连续偏导数，求痣.

（0,1V0.

设函数于（工）=<2,①=0,

J：-.J：>0.

OJ.

（1）求/（兀八—2）］｝；

（2）求,⑵）;

（3）讨论3一0时，/Q）的极限是否存在？

将/（x）=F_J——展开成x的森级数，并写出其收敛区间.

2

64.x-3%+2

65.

ln(1+ar，)

1VO,

JC-arcsin.r

6,“=°'问。为何值时，/(工)在才=0连续;

设/(x)=y

e"+x2-ax-1

j->0,

•x

wsin—

4

a为何值时=0是/(])的可去间断点.

四、证明题(10题)

66.

设“工)在［o，a］上连续•且/(n)+/(az)>0,试证明：

1_____/(.)_____>_a_

Jo/(x)-F/(a—JT)"2"

67.

证明不等式：当a>b>e时，-<hlZ?<^(e=2.71828).

aInab

68.

设〃=靖/(工)，其中/⑺可微，谜月：x区+j，°z=3〃

ydx"分

69.

证明：当i〉0,0VaV1时，k—ar&1—a.

70.

已知方程4.r+3—,r5=0有一负根w=-2,证明方程4+9J2—5Z=0必有一个

大于一2的负根.

71.

已知方程w"*—x7—工十丁=o有一正根r=1.证明方程1141°-716—3〃+1=0

必有一个小于1的正根.

72.

求抛物线丁=1—/及其在点（1,0）处的切线和？轴所围成图形的面积，并计算该图

形绕3-轴旋转一周所成旋转体的体积.

73.

已知方程J*11—x7—工+r=o有一正根x=1.证明方程11上/°—7/6—3〃+1=0

必有一个小于1的正根.

74.

设平面图形D由曲线jr=2y［y,y=/—Z与直线y=1围成，试求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形。绕7轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

75.

舸如⑴在［。』］上醪,并联刊J］上的髓I解她献酎⑴陋

0</（《K1,证明:在［0,1］上至少有一点&使得/（f）=8

五、应用题（10题）

76.

平面图形由抛物线与该曲线在点处的法线围成.试求：

(1)该平面图形的面积；

(2)该平面图形绕工轴旋转一周形成的旋转体体积.

证明：对1>o,有竺。二>i+4.

77.4

78.

过点P(l,o)作抛物线、=的切线,该切线与上述抛物线及1轴围成一平面图

形.求此图形绕w轴旋转一周所成的旋转体的体积.

79.

设以向量a和P为边做平行四边形.求平彳j-四边形中垂直于a边的高线向量.

80.

设函数以素=(1+2尸/"),其中/(:)在［-2,5］具有二阶导数//(5)=0,

证明:存在95-2,5),使尸片)=0.

81.

设平面图形D由曲线y=-和直线y=n=2及.r轴围成.求：

(1)平面图形D的面积；

(2)这图形绕T轴旋转一周所得旋转体的体积.

82.

设抛物线y—a/+/)▲、+(、过原点，当041时,y>0,又已知该抛物线与1轴及

.r=1所围图形的面积为《，试确定a,>,c,使此图形绕;r轴旋转一周形成旋转体的体积最小.

证明：对才＞0,有岂亨二＞1+(.

83.却右

84.

设D是曲线y=x?以及该曲线在(1,1)处的切线和y轴所围成的平面区域。求：(1)

平面区域D的面积S；(2)D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V。

平面图形。由曲线3,=G，直线)=N—2及X轴所围成.

(1)求此平面图形的面积；

_(2)求此平面图形绕7轴旋转一周而成的旋转体体积.

六、综合题(2题)

86.

设f(x)在二。,瓦|上连续且设工)>0./(X)=[7(t)df+「77；-.

JuJJ\

证明：(D/'(H)

(2)方程/(T)=0在(a,ZO内有且仅有一个根.

27常数a和切点(4,强)；

O/.

参考答案

1.A

【精析】丁=4+,且、=。时，得1=十或父=一会舍)，3/4)=8.

12,故应选A.

7=＜p(y)在y=0处的导数为一

fo

y

2.C

【精析】由皿+业=0,得叱=-3,分离变量一1也=ydy,

y彳y］

两边积分，得-犷+G=pV2.H|l.r2+y=C为原微分方程的通解.故选C.

3.A

1答案」A

【精析】要使函数有意义.则须一1<.r-2w1.即1c,r<3.故函数的定义域为11.3」.

4.A

5.A

A

6.A【评注】本题考查的是二阶常系数微分方程的通解.

7.D

［答案］D

【精析】卜/(ar?+6)cLr=

ar2+6)d<axs+6)=克F("+b)+C.

8.C

［答案］C

【精析】1R0,则级数发散，故选C.

A、B项可用比值审敛法Jim但=pV1判断其收敛.

sin

D项用比较审敛法的极限形式Jim—上=白收敛,故力sin^收敛.

L8_5,«-13O

3。

9.A

lim/(①)=lim吧”"*=a.又知/(0)=1,故a=1时，/(①)必连续.

-0JT-0JC

10.C

【精析】当1-0时,1为无穷小量，sin^〈l.sin^为有界函数.由于无穷小量与

有界函数的乘积仍为无穷小量.故limisin工=0.

L0X

11.B

L答案」B

【精析】由于八/)=1%in.r为奇函数.且积分区间关于原点对称.则'.一疝口dr：。.故

应选B.

12.C

【精析】偏导数存在不一定连续，只有存在连续的偏导数时•函数可微，进而连续，故

应选C.

［答案1C

,«,?—1>0,

【精析】自变量工应满足二，.解之即得1<工<4.

13c1,16一厂>0,

14.B

［答案］B

【精析】./(J)=(lnz)r=/2,

f'(.r)=ejln(ln,)［.rIn(lnjr)］'=(Ina)*Fln(ln.r)+.r••—

In.rx

=(ln^-)r1+(Irur)，ln(ln*r),

故应选B.

15.C

【精析】偏导数存在不一定连续，只有存在连续的偏导数时•函数可微，进而连续，故

应选C.

16.c【精析】因为/⑺=.「,则/(：)=j所以小(例］-»)=；•故应选C.

17.D

【精析】极坐标积分区域为D={(r⑻I0=r〈acos，，一号《夕W告}，其积分区

域的边界方程为r=acosj,即M+y2=Q,a>0,故应选D.

18.C

L答案］c

【精析】分离变量得,心:’7心：，两边分别积分得屁311屋上一2|门口门.

丁工一N

即y=C(.r—2).

19.D

【精析】极坐标积分区域为D={(r⑻I0&r〈acos/一年告}，其积分区

域的边界方程为r=acosff.即M+y2=or,a>0,故应选D.

20.C

/__3?|L

【精析】因为y=/(x)==¥j-----京，---言Jim/(7)=1,从而y=1

JT—51-6(1—-3)lr

是水平新近线；=ooJim/(jr)=8,从而工=2,/=3是垂直渐近线；故该曲

L2JT-*3

线共有3条渐近线.

21.D

../(Xc+3ft)-/(Xo)+/(z)-/(x-2ft)_„../(Xo+3/i)-/(x)

【精析】urn•*；00,—jnm0’

A-*Ohi。3h

+2limJ52",5)=5/(x)=5.

A-*O—ch0

22.D

【精析】由二重积分的性质可知!k&rd»=4||d.rd5'=4S0,SD为D的面积.Sr,=

DD

!(兀•22—n•I2)=4"K，故『4drdy=4"gn=3K.

44JDJ4

23.B

【精析】函数/⑴在定义域内连续可导，且/(0)=/(-1)=/(-3)=0,故由罗尔

定理可得至少存在两点&€(-1,0),&e(-3,—1)使得/(a)=0,『(&)=0,又

/'(①)=0为二次方程，因此，(力=0有两个根.

24.D

【精析】因为八#=e"cos1中O+i=i是对应齐次方程/+y=0的特征根，因

此特解可设为y'xe0x(ucos.r+6sin>r),即_y*=x(.acosx+Asinr).故应选D.

25.B

［答案1B

3,___lr，

【精析】Ihn极限不存在.则A错；lim=limM-=••则

/I+.rs-1在才-0时是”的三阶无穷小.故B正确；lim+亿=1+

z*n、r

lim2°5忆=g.故C错;lim=limA-=limL=8,故D错.

.«••；JCz7x'.«-•；x'.••».r-

26.D

因为①f0时,1—COST〜172，A/N"+1—1〜.ln(1+./)〜上",

siikr〜x,arctan.r3〜工，.所以/fo时，比1—COST高阶的无穷小是arctan.r3,故选D.

27.A

［答案1A

【精析】将方程变形得.y'++=工，此为一阶非齐次线性微分方程,利用其通解公

rInj,.r

式可得v=』去""(I—eldr+C)=(I^^-cLr+C)=^—(-^-ln\r+C)=r^—

j.rln.rJ_rIn.r2In.r

+yInj.

又源一=1•所以c=J.则方程满足条件的特解为y=4(1-斗瓜才)

LLInj,

D

o【评注】本题考查的是连续函数的定义.

Z9o.nU

29.C

［答案1C

【精析】由2a-cosi〜(z->0).可知2a—cosO—2a—1=0,即a=J.故C

正确.

30.C

［答案1c

【精析】/'(.r)<0=>"力为(a”)内的减函数为(a,/»)内的凹函

数•本题选C.

31.1

【精析】两边取x-*时的极限.有limf(i)=lim^—F2lim/(J),于是

JJ-MJC冗J1-M

lim/(JT)=-1+2lim/Xj?),从而=1.

r•*JL-n

ijk

r精析】.V)=111=(0.2,-2),

1-1-1

32.垂直

ijk

s2=1—2—1=(3,1.1).

1—1—2

因S|・s?=0X3+2Xl—2X1=0.故两直线垂直.

33.0

【精析】因为八］)在了=工。处可导,且八1。)为函数的极大值，所以工。也一定是函

数的驻点,即/(/0)=0.

34.

无穷小量

【精析】依题意，由无穷小量的定义知当if的时外为一A为无穷小量.

35.

In|

【精析】，（+）=占1;+去=屈]+才）2

=ln3—ln2=

1+.rJi叶）"=i

Inj.

36.

3

37.

tanx+C【评注】［^^=Jsec2皿=tanx+C.

38.

0>—1

39.

y=1

【精析】f（1）=COS]./优）=cosy=0•故/（了）在传J）处的切线方程为了=1.

40.

1

jt'ln2

一△）仅柒一盘）一只工））

【精析】lim2"—/"=-lim=_八1=_1

dL0Ar-*0­△&'Jt,lnZ

41.0

42.4

43.

[产f'Ddi=jjrd/(x)=x/(jr)|—J/(jr)d^-=2—3=—1.

44.

【解析】方程两边同时对工求导.

2

93+；

则y+zy'-I-----4炉♦炉，可得y=—<1----

x4y-X

曲线y=/(x)在(1,1)处的切线斜率

(0)

f*k=y|(l)n-1.所以切线方程为，-1b工一1

45.

]_

9

【精析】加）=4一冷=3=J,要使/⑴在.］处连续，则

则⑴=川)，即岬$=+=}=*).

46.2

［答案］2

【精析】因为lim/Q）=lim空2=2,

limf(x)=lim(3x2—2x+4)=^,/(0)=k.所以k=2.

47.2….

48.

2

［答案］I

2

【精析】当i->0时.（1—cos.r）〜,。5也晨〜az，,由1—COST与asinT等价知

12

1-cos.r]_

limlim----=],于是a

J-oasin。才-0ax2a

49.

_1_

~2

【精析】由题意可知，/“）与1—cos.r等价，则

../(X)..1—cosa,「21

lim——：——=nm-----：------=lim-------=—.

LO.rsinjrLOxsmjx-o.r•w2

50.3

51.

解:y=i-Vi-x2+x--二”..+__1_=]_上%.土1=2>!\~X2

52.

12

解：原式=lim竣工一「1-cosX1+COSXc

-=lim-------------z—=lun———=2

XTO1-C0SXx-X)(l-COSX)CO?Xx-»0COfX

53.

I.解：⑴方程组的增广矩阵

。11-r411-1、I11-1、rl0-1-4、

01230123->01230123

、321\°-1-2。+3,(000[+6,、0000+6,

当a，-6时,及（4）=2,&（4）=3,方程组无解；当a=-6时，夫（/）=及（力）=2<〃=3,

方程组有无穷多解.

玉=一+与(/

2）。=-6时，由（1）的结果得到方程组的同解方程组（即一般解）：

x2=3-2%

是自由未知量），方程组的一个特解是毛=（~4,3,0尸，

方程组导出组的一个基础解系为乂=（1,-2,1）3

方程组的全部解为X=X,+KM=（f3,0）r+ML-2J）rAeR.

54.

【精析】?=y-»之•?=2.u-aw・?=3之2—33，

dxdydz

grad/(-1,1,2)=(一1,0,13),

55.

解:P(x，7)=[e-I+/(x)]y,0(国用=一/。).因积分与路径无关，故有丝=如，即

dxdy

-/'(x)=e-'+/(X)>或+/(x)=e-\

解得/(%)=/口"j(-e->^dx+C=e-31[[(-e-x)exdx+c]=e'x(-x+C).

由条件/(o)=_]得，-1=6^(-o+q,c=--1>故/(%)=-6-%*+1),

从而有Z=J；[e-x+/(x)]-Odx-/(x)dO+£[e-x卜/胡刈-y(i均

=o+jo'[-〃i)%=-/(i)=-k*(i+D]=-2e-1.

56.

【精析】原式=Jarctan.rd(力

=arctanz•乳TN

-d(arctanx)

K「X2].

——«dr

8nJ。A21+/

_K1「(1+公)一

-82Jo1+x2-djc

i

=告一—arctan工)

o20

____L

-T-T*

57.

【精析】特征方程为，-2r+l=0.特征根为八=r2=-1,因此所给方程的通解为

x

y=（C]—C:x）e-,

对通解求导.得y=（C,-G—

i'4=C,

将初始条件“0〉=4,y（0）=2代入上而两式，得W

2=G—G,

解方程组，得G=4.C2=2.

于是所求特解为、=（4十2x）e-\

58.

【评注】解：阴影部分的面积可用定积分来表示

则5=5|+52=:-一产+；，8（。=4/一2,3"。）=8?—2,令5'。）=0,贝卜=0或

/=；.因为s（g]=；,s（o）=g,s（i）=g，故当r=i时s最大，r=；时s最小，最大值为

S（D=g,最小值为

59.

【精析】当工〉1时，令1—sec/,——<£<ft=arccos—,

ZL.r

i.iii1iS6C/l（ni/i4]/、1]「

则----d,r=----------d/—tv—arccos—1（；

rJri_]sec/tan/.r

当r<-1时，令T=—〃,〃>1,利用I：述结论可得---d.r

,r

-------1d（一〃）=---1d〃=arccos—IC=arccos—C.

—U2—1U\Ju2—1U~J

综I：可得---1d.r=arccos—1C.

xy/r2—1i

60.

,【精析】察=fi•cos+/z,y2,

a

、f；2•2xy•COST+•2xy•丁+£•2y

didy

z

=2lyCOSJ7Z+2xyfzl+2yfi.

61.

【精析】两边同取自然对数,得

1”=21n(jr+1)+31n(z+2)--1-ln(x+3)一In(工+4),

两边分别对工求导，得

J_，=2,311

7•--工+1+工+22(工+3)―4+4'

，=(1+1)2(工+2-「2上3_]_1-1

/工十3(—+4)/+1”+22(x+3)i+4.

62.

【精析】察=/i-2X-/,

dJC2

—2z[/*u•1)+•2yl—1/li(-1)+/Z•2>Q

d/Xdfy1

=~2xftl-(4孙+1)/12-2yf2Afi2=A,).

63.

【精析】=/L/<O)J=/(2)=4;

0.2/<00./<0.

(2)/(2/)=<2.2f=0=y2.f=0.

4/2.2/>04z2.t>0；

(3)lim/(j')=limO=0.

、?：-*•。一

lim/(.r)=lim.r2=0.

.L•。十。+

则lim/Q)=lim/(_r)=0.所以f(..r)在.r=0处的极限存在且limf(.r)=0.

…一十、E

64.

MC\11111111

A?*f(x)==一=二

(x-l)(x—2)x—2x—11—x2—x1-x2]_±

=t-n4,收敛区间为（—1,】）,

65.

“精析】(1)/(0)=6

ln(1+az3)

(2)lim/(.r)=lim=lim——：-

工—arcsinert-a—arcsine

3az°

—6a;

i------L

e，+/-u-1limef[-1=21+4；

(3)lim/(JT)=lim

1-。41-卢.zsin;一o+J_r2

44

若/(T)在、r=0处连续.应有2a2+4=—6a=6.故a=-1.

若i=0是/(.r)的可去间断点，则应有limf(T)=lim/(#)#/(0).即2a2+4=

jr-*0+工-»0-

—6a#6.故aW—1,所以a=-2时=0是可去断点.

66.

令2=a—JC,贝I