专题强化训练一：导数在研究函数单调性、极值、最值参数问题 -高二数学精讲与精练高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页专题强化训练一：导数在研究函数单调性、极值、最值参数问题【题型归纳】题型一：由单调性求参数范围问题1．（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的符号求解.【详解】，由条件知当时，，即，令，是减函数，；故选：D.2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B3．（2023下·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，令，则，故当单调递增，当单调递减，且即，故选：BD题型二：由函数的区间求单调性问题4．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，对任意的，，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，因为函数在区间单调递增，则对任意的，，即，当时，，故.因此，实数的取值范围是.故选：C.5．（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以在上有解，且，所以，，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，且，所以当时，由最大值，即.故选：D6．（2023下·四川眉山·高二统考期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，由在上有解，求出a的范围作答.【详解】函数，求导得，因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解，而，当时，，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题7．（2023下·广东江门·高二校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)当时，讨论函数的单调性．【答案】(1)单调递增区间有和(2)答案见解析【分析】（1）当时，对相应求导（此时不含参），即可研究的单调增区间；（2）直接对求导（此时含参），再结合即可进一步讨论的单调性．【详解】（1）当时，，对其求导得，令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格：因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和.（2）对函数求导，得，令，接下来对分两种情形来讨论：情形一：当时，有，即在上单调递增.情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格：由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，而第二问的关键是要对进行分类讨论.8．（2022上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调性；（2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值．【详解】（1）的定义域是，，时，恒成立，在上是减函数；时，时，，时，，所以在上是减函数，在上是增函数，综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数．（2）由（1）当时，在上递减，；时，即时，在上递减，；，即时，在上是减函数，在上是增函数，．综上，或时，，时，．9．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；(2)函数求导，对分类讨论，进而求得单调性.【详解】（1）当时，，，所以，曲线在处的切线方程为.（2），①当时，，所以函数在上单调递增；②当时，令，则(舍)或，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.③当时，令，则或(舍)，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减

当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增题型四：由函数的极点（极值）求参数问题10．（2023下·高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.【详解】∵，∴，∵函数既存在极大值，又存在极小值，∴导函数有两个不相等的变号零点，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是，故选：B．11．（2023下·北京海淀·高二统考期末）已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据极值点的条件，先可推出的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解.【详解】，则，由题意，得到，从而，而，故，令，由，于是有两个根，满足，注意到二次函数开口向上，对称轴为，故，解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，.故选：D12．（2023·全国·高二随堂练习）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)不存在符合题意的使,理由见解析.【分析】（1）对求导，对参数进行分类讨论即可.（2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，根据题意列出等式，由分析法判断方程的解的情况即可.【详解】（1）对求导得，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以当时，有，所以此时在上单调递增；当时，令，解得，又，所以，所以此时、随的变化情况如下表：由上表可知：此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中.（2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，，由题意，又由（1）可知是方程即方程的两根，所以由韦达定理有，所以，由题意若，所以有，且注意到，所以，又因为，所以有，不妨设，则，求导得，所以函数在上严格单调递减，且注意到，所以只能又，所以，注意到且，所以不可能成立，综上所述：不存在符合题意的使.题型五：已知函数的最值求参数问题13．（2022上·陕西延安·高二校考期末）设函数．(1)讨论函数的单调性；(2)如果对所有的，都有，求a的取值范围．【答案】(1)在单调递减，在单调递增(2)【分析】（1）求出函数定义域，求导，得到函数单调性；（2）在（1）基础上，由单调性求出，从而求出.【详解】（1）的定义域为，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故在单调递减，在单调递增；（2）由（1）知，在上单调递增，又，，故，则，故a的取值范围为.14．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）根据给定条件，求出函数的导数，分类讨论求解最小值即可作答.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数在点处切线方程为，即.（2）函数，求导得，，当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾，当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增，因此，解得，从而，当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾，所以.15．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，．(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)记函数，若的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知在区间内恒成立，由参变量分离法可得在区间内恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最小值可求得实数的值.【详解】（1）解：因为，则，由题意知在区间内恒成立，所以，在区间内恒成立．令，，因为恒成立，所以在区间内单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为．（2）解：，其中．因为，①当时，对任意的恒成立，所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；②当时，令，则或（舍去），当时，；当时，.所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则是函数的极小值点，也是最小值点，所以，解得，合乎题意.综上所述，.【专题强化】一、单选题16．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．17．（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案.【详解】由，由已知递减区间，则得：，故，1是的两根，，，故选：A18．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】函数定义域为，且，依题意在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数在上单调递减，且当时，所以，即实数的取值范围是.故选：D19．（2023下·广东韶关·高二统考期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.【详解】已知函数，函数的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．此时最小值为，①当时，由于，故只有一个零点；②当时，即，故没有零点；③当时，即，又；，由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．所以有两个零点，a的取值范围为；故选:A．20．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，极值，即可得出答案．【详解】由，，，当时，恒成立，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以没有极小值点，只有极大值点，不合题意，当时，令，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，，当时，且当时，，①若，则存在，，使得，即，所以在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递增，所以当时，有两个极小值点，不合题意，当时，，即，在上，单调递减，在上，单调递增，所以有唯一极小值点，无极大值点，综上所述，当时，有唯一极小值点．故选：A【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点、，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域与导函数，令，依题意可得在区间上有两个不相等实数根，求出函数的导函数，对分类讨论，解得即可．【详解】解：因为定义域为，，令，函数有两个极值点，则在区间上有两个不相等的实数根，，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个不相等的实数根，应舍去；当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减．当时，函数取得极大值即最大值．而当时，，当时，，要使在区间上有两个不相等实数根，则，解得，实数的取值范围是.故选：A22．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的单调性，结合即可求解.【详解】，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，而，所以函数在区间上的最小值为2e，必有，即.故选：B23．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可.【详解】1.因为，则，若在上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，则，解得；2.因为，则，①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，此时只有最大值，没有最小值不满足题意；②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，此时只有最小值，没有最大值不满足题意；③当时，令，解得；令，解得；则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，若在上既有最大值，又有最小值，则且，解得：；综上所述：．故选：B.24．（2022下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.【详解】当x＜0时，，当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，即在x＞0时恒成立即在x＞0时恒成立即设当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故选：C．二、多选题25．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）函数，的最大值为，最小值为，则（

）A．或 B．若，则C．若，可得 D．或【答案】AB【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出合适的选项.【详解】因为，，则，当时，则为常值函数，不合乎题意；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，，则，又因为，，因为，则，解得；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，，解得，又因为，，因为，则，解得.综上所述，或，AB都对，CD都错.故选：AB.26．（2023下·广东汕头·高二校考阶段练习）已知函数有两个不同的极值点，则（

）A．有两个不同的解B．实数的取值范围是C．两个极值点同号D．极大值大于极小值【答案】AD【分析】利用导数与极值的关系逐项进行检验即可求解.【详解】，函数有两个不同的极值点有两个不同的解1有两个不同的交点，故A正确；如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当或时有两个不同的交点，故B错误；因为切点，将切线倾斜，与的两个交点即为极值点，显然在处，与相交，即的一个极值点为0，故C错误；设的另一个极值点为，当时，有，当时，，当时；当时，有，当时，，当时，故的图象先增后减再增，数形结合显然极大值大于极小值，故D正确，故选：AD．

【点睛】求函数极值的步骤：（1）

确定函数的定义域；（2）

求导数；（3）

求方程的解；（4）

检查方程的解的左右两侧导数的符号，确定极值点.27．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设，若函数在上单调递增，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】分析可得在上恒成立，进而分析可得在上恒成立，求出的取值范围，分析选项可得答案．【详解】因为函数，则，若函数在上单调递增，则在上恒成立，，则有在上恒成立，因为，则，所以，必有在上恒成立，由于，则，必有，即，所以，解得，即的取值范围为，分析选项：和符合．故选：CD．28．（2023下·河南新乡·高二统考期中）已知函数的导函数为，则下列结论正确的有（

）A．当时，有3个零点 B．当时，有2个极值点C．若为增函数，则 D．若为增函数，则【答案】ABD【分析】对于A，利用零点的定义直接求解即可，对于B，对函数求导后，由，可得有两个零点，再由极值点的定义判断，对于C，由于导函数为二次函数，所以其不可能为增函数，对于D，由判断即可.【详解】当时，由，得，则或.由，可知有两个非零实根，故有3个零点，A正确.由，得.因为，所以恰有2个零点，且在这两个零点周围的符号发生改变，所以有2个极值点，B正确.因为是二次函数，所以不可能是增函数，C不正确.若为增函数，则恒成立，则，解得，D正确.故选：ABD29．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知，则下列说法正确的有（

）A．若恒成立，则实数的取值范围是B．若有极值，则实数的取值范围是C．若，则实数的取值范围是D．若有极值点，则【答案】BCD【分析】对于A，由已知可得，利用导数求的最大值，可得的取值范围，判断A，对于B，根据极值的导数的关系，列不等式可求的取值范围，由此判断B，对于D，结合函数的单调性，判断D，对于C，由已知可得在单调递增，结合导数与单调性的关系可求的取值范围判断C.【详解】因为，恒成立，所以恒成立，设，则，当时，，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，的最大值为，故A错误；因为函数的定义域为，导函数，若有极值，则方程有两个不等的实数根，且至少有一个正根，设其根为，且，则，所以，又，所以，，所以，B正确；当时，，函数在上单调递增，当时，时，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，可知，所以D正确；对C，若，不妨设，可得，可得在单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，所以，C正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、填空题30．（2023下·福建福州·高二校联考期中）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【答案】【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．【详解】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．31．（2023下·河南郑州·高二校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是【答案】【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解．【详解】函数，定义域为，若函数有两个不同的极值点，则有两个不同正根，即有两个不同正根，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：32．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且在上的最大值为1，则的值为.【答案】或【分析】先求得的导函数，进而按t讨论得到的单调性，利用题给条件列出关于的方程，进而求得的值.【详解】由（），可得由函数在处取得极值，可得，若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则在处取得极大值即最大值，则，解之得.若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则在处取得极大值，又由在上的最大值为1可得，，即，不等式组无解.若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则在处取得极小值，在处取得极大值又由在上的最大值为1可得，，解之得.综上，的值为或.故答案为：或.33．（2021上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）设函数，，其中a为实数．在上是单调减函数，且在上有最小值，则a的取值范围是．【答案】【分析】由在上恒成立求得的范围，由在上有解求得的范围，并验证此时取得的是最小值，然后两者取交集可得．【详解】，在上是单调减函数，则在上恒成立，，而，所以，，在上有最小值，首先在上有解，，，此时，时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，满足题意．综上，．故答案为：．四、解答题34．（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.(1)若，求在定义域内的极值；(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．【答案】(1)极小值，无极大值(2)【分析】（1）当时，可得出，利用导数分析函数在定义域上的单调性，即可求得函数的极值；（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求得实数的值.【详解】（1）解：当时，，的定义域是，且，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在有极小值，无极大值.（2）解：因为，则，因为，

①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，所以，所以（舍去）；

②当时，即当时，由可得，由可得，所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，所以.

综上，.35．（2023下·四川绵阳·高二统考期中）已知函数．(1)讨论函数的单调区间；(2)当时，函数在上的最大值为，求实数的值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出的导函数，对分类讨论分析导函数的符号，可得函数的单调性；（2）由题意，令，利用的单调性可得，从而在上单调递减，即可确定在上的最大值，从而得解.【详解】（1）由题意得，当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，上单调递减．（2）由题意，，，令，，当时，，单调递减，则，则，则在上单调递减，故在上的最大值为，所以.36．（2022下·北京·高二校考期中）设函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论：的单调性；(3)当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）将代入的解析式，求导，并分别计算,的值，再由点斜式写出切线方程，即可；（2）求导得，分和两种情况，讨论与0的大小关系，即可得解；（3）结合（2）中所得，可知，且，再构造函数，由在上恒成立，即可得解．【详解】（1）当时，，所以，所以，故曲线在处的切线方程为，即为，（2）由，知，定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，则，在上单调递增；令，则，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）由（2）知，若有最大值，则，且，因为的最大值大于，所以，即在上恒成立，设，问题转化为在上恒成立，因为恒成立，所以在上单调递增，又，所以，所以，故的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．37．（2023下·福建厦门·高二统考期末）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围【答案】(1)在单调递减，在单调递增；(2)【分析】(1)利用导数解决函数的单调性；(2)先利用导数找到函数的最小值，使得最小值恒大于或等于0即可.【详解】（1）当时，，定义域为，在定义域上单调递增，令，得，则当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；所以在单调递减，在单调递增.（2）由函数，，，由于在为增函数，且值域为，所以在上有唯一的实数根，即，得，则，则当时，所以，则在单调递减；当时，所以，则在单调递增；当时，取得最小值，，令，即在上恒成立，令，则，则当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；所以，所以只需，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.38．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知函数的定义域为，其中.(1)若是函数的一个驻点，求a的值；(2)函数在区间上严格增，求a的取值范围；(3)当时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由是函数的一个极值点，知，代入导函数即可；（2）由题意，区间是函数增区间的子集，求导，对分类讨论可解；（3）要求函数，在处取得最大值，即求函数的极值并将之与函数端点值进行比较大小，得出在函数上的最大值只能为或，再根据条件在处取得最大值，得到即可．【详解】（1），.是的一个驻点，，解得.时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，是的一个驻点.综上，.（2）①当时，在区间上是增函数，符合题意；②当时，，令得：，当时，对任意，(符合题意)，当时，当时，，(符合题意)，综上所述，.（3），，令，即，显然有，设方程的两个根为，由式得，不妨设，当时，为极小值，所以在上的最大值只能为或，当时，由于在上是单调递减函数，所以最大值为，所以在上的最大值只能为或，又已知在处取得最大值，所以，即，解得，又因为，所以.39．（2023下·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最小值是，求a的值．(3)讨论在上的最大值【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）先求得切点坐标，再根据导数的几何意义可求得切线斜率，最后根据点斜式方程可求解；（2）求导后，分、、讨论求得最小值，从而可求得a的值；（3）分、、、讨论求得最大值.【详解】（1）当时，，，所以切点为，，则，所以切线方程为，即.（2），，若，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，不满足题意；若，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，解得，满足题意；若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，解得，不满足题意，综上，.（3）由（2）可知若，则在上恒成立，所以在上单调递增，若，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，①即时，，②即时，，若，则在上恒成立，所以在上单调递减，，综上：当时，；当时，.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的最值，首先要求函数的单调性，当导