高等数学（上下册全套）全套教学课件

高等数学（上下册全套）分上、下册，上册共7章，包括：函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、常微分方程、定积分和定积分的应用下册共7章，包括：无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、数学模型初步和MATLAB软件应用全套可编辑PPT课件高等数学（上册）第1章函数与极限极限概念是微积分学一个最基本、最重要的概念．一方面，它是建立微积分学的基础；另一方面，极限的思想和分析方法贯穿了微积分学的始终，函数的连续性、导数与积分等都将借助于极限方法来描述．本章主要讨论函数的极限与连续的基本概念、基本性质和基本运算，并介绍它们的一些实际应用．1.1函数1.1.1区间和邻域

高等数学主要研究函数的变化规律，而函数是在实数域内定义的．实数是全体有理数和全体无理数的统称，常用字母R表示．实数与直线通过数轴（规定了原点、单位长度和正方向的直线）建立了一一对应关系，因此，实数可以刻画几何图形，几何图形也可通过实数方程表示，这正是实数集的价值所在．1.1.1区间和邻域1.1.1区间和邻域1.1.2函数的概念在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系，就是下面我们要介绍的函数关系．1.1.2函数的概念1.1.2函数的概念1.1.2函数的概念1.1.2函数的概念1.1.2函数的概念1.1.2函数的概念根据函数的定义可知，定义域、对应法则构成了函数二要素．如果两个函数的二要素相同，那么就可以认为这两个函数是同一个函数．函数的表示方法一般有三种：图示法、表格法和公式法．其中图示法和公式法是数学学习过程中最常用的两种表示方法，常结合使用．1.1.3函数的几种特性1.1.3函数的几种特性1.1.3函数的几种特性1.1.3函数的几种特性1.1.3函数的几种特性1.1.4反函数与复合函数1.1.4反函数与复合函数1.1.4反函数与复合函数1.1.4反函数与复合函数1.1.4反函数与复合函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.1.5初等函数1.2数列的极限

极限是研究自变量在某一变化过程中函数的变化趋势问题．本节先讨论函数极限的特殊情况——数列的极限．1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.1数列极限的定义1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.2.2收敛数列的性质1.3函数的极限函数极限的定义是高等数学最基本的概念之一，函数极限是高等数学研究函数性态的工具．研究函数极限，就是研究函数的变化趋势，它为研究函数的微分和积分提供了有效方法．1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.1函数极限的概念1.3.2函数极限的性质1.3.2函数极限的性质1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量反映了自变量在某个变化过程中函数的两种特殊的变化趋势，即绝对值无限增大和绝对值无限减小．下面用极限来定义无穷小量与无穷大量这两种常用的变量．1.4.1无穷小量1.4.1无穷小量1.4.1无穷小量1.4.1无穷小量1.4.1无穷小量1.4.1无穷小量1.4.2无穷大量1.4.2无穷大量1.4.2无穷大量1.5极限的运算法则本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们还将介绍求极限的其他方法．1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.1极限的四则运算法则1.5.2复合函数的极限运算法则1.5.2复合函数的极限运算法则1.6极限存在准则与两个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.1准则Ⅰ与第一个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.6.2准则Ⅱ与第二个重要极限1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.7无穷小阶的比较1.8函数的连续性1.8函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.1函数的连续性1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.2函数间断点的分类1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.8.3初等函数的连续性1.9闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数具有许多重要的性质，这些性质有很多重要的应用，由于这些性质的证明还需比较深入的数学知识，本节我们仅以定理形式陈述这些性质并做一些必要的解释，不予证明．1.9.1有界性与最值定理1.9.1有界性与最值定理1.9.1有界性与最值定理1.9.2零点定理与介值定理1.9.2零点定理与介值定理1.9.2零点定理与介值定理1.9.2零点定理与介值定理学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（上册）第2章导数与微分高等数学主要由两大部分内容组成——微分学与积分学，统称为微积分学．微积分学是现代数学及科学技术的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘的典型数学模型之一，是培养人们正确的世界观、科学方法论，以及进行文化熏陶的无与伦比的素材．恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了．”本章先介绍微积分学的相关知识．微分学内容由导数、微分及其应用组成，导数与微分是它的两个基本概念．本章主要介绍导数和微分的概念及其计算方法．导数的应用将在下一章中研究．2.1导数的概念2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.1导数产生的背景2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何意义2.1.3导数的几何意义2.1.3导数的几何意义2.1.4函数可导性与连续性的关系2.1.4函数可导性与连续性的关系2.1.4函数可导性与连续性的关系2.1.4函数可导性与连续性的关系2.2求导法则与基本初等函数导数公式我们在理论研究和实践应用中经常会遇到求函数的变化率——导数的问题．但根据定义求导数往往计算繁琐，本节介绍计算导数的基本法则，并推导出基本初等函数的导数公式，以此建立计算导数的简便方法．2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.1导数的四则运算法则2.2.2反函数的求导法则2.2.2反函数的求导法则2.2.2反函数的求导法则2.2.2反函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.4基本初等函数导数公式2.2.4基本初等函数导数公式2.2.4基本初等函数导数公式2.2.4基本初等函数导数公式2.3高阶导数2.3.1高阶导数的概念2.3.1高阶导数的概念2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.3.2高阶导数的计算2.4隐函数与参数方程确定的函数的求导法则2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.4.2由参数方程确定的函数的导数2.5函数的微分及其应用2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.1微分的定义2.5.2微分的几何意义2.5.2微分的几何意义2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.3基本初等函数的微分与函数微分的运算法则2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用2.5.4微分的应用学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用本章主要研究导数的应用．导数反映了函数在一点处的变化率，为了进一步利用导数研究函数的整体性质以及曲线的某些性态（如函数的单调性、凹凸性、极值、最值等），本章会学习微分学的几个中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理，它们是导数应用的理论基础．3.1微分中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.1罗尔中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.3柯西中值定理3.1.3柯西中值定理3.2洛必达法则3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.3泰勒公式3.4函数的单调性与凹凸性3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.1函数单调性的判别法3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.4.2函数的凹凸性与拐点3.5函数的极值与最值3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.1函数极值及求法3.5.2函数的最大值与最小值3.5.2函数的最大值与最小值3.5.2函数的最大值与最小值3.5.2函数的最大值与最小值3.5.2函数的最大值与最小值3.6函数图形的描绘3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.1曲线的渐近线3.6.2函数图形的描绘3.6.2函数图形的描绘3.6.2函数图形的描绘3.6.2函数图形的描绘3.6.2函数图形的描绘3.6.2函数图形的描绘3.7曲率本节将研究表示曲线弯曲程度的量——曲率．曲率在研究物体运动及机械运动时，有很重要的应用价值．例如，火车铁轨由直道转入圆弧形弯道之前，需要在直道线路的末端处接上一段适当的曲线铁轨，以使火车转弯时能平稳行驶．3.7.1弧微分3.7.1弧微分3.7.1弧微分3.7.1弧微分3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.2曲率的概念及计算公式3.7.3曲率圆与曲率半径3.7.3曲率圆与曲率半径学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（上册）第4章不定积分17世纪微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的图形的面积、曲面围成的物体的体积、物体的重心和引力等等．此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和物体的体积；我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和物体的体积．由求运动瞬时速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，它们构成了微积分学的微分学部分；由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，它们构成了微积分学的积分学部分．4.1不定积分的概念与性质前面已经介绍了已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数．这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分．本章将介绍不定积分的概念及其计算方法．4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.2不定积分的几何意义4.1.2不定积分的几何意义4.1.2不定积分的几何意义4.1.3基本积分公式4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.1.4不定积分的基本性质4.2换元积分法上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质计算不定积分的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的求法．本节将介绍计算不定积分的最基本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其基本思想是利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式的形式，从而计算不定积分．换元法通常分为两类，分别为第一类换元法和第二类换元法．4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.1第一类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.2.2第二类换元法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.3分部积分法4.4几种特殊类型函数的积分4.4.1有理函数的积分4.4.1有理函数的积分4.4.1有理函数的积分4.4.1有理函数的积分4.4.1有理函数的积分4.4.2三角函数有理式的积分4.4.2三角函数有理式的积分4.4.2三角函数有理式的积分学海无涯学海无涯高等数学（上册）第5章常微分方程微分方程是用来描述客观事物数量关系的一种重要的数学模型，它在几何学、物理学、工程技术和经济学等许多领域都被广泛应用．建立微分方程后，对它进行分析研究，找出未知函数，就是解微分方程．“微分方程”一词是在1676年詹姆士·伯努利致牛顿的信中第一次提出的，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科．微分方程建立后，便成为研究、了解现实世界的重要工具之一．1846年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子的消失程度，通过微分方程求解，推断出这个冰人大约遇难于五千年前．5.1常微分方程的基本概念本章主要介绍常微分方程的基本概念和一些简单常微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程、常系数线性微分方程等．5.1常微分方程的基本概念5.1.1引例5.1.1引例5.1.1引例5.1.1引例5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.1.2基本概念5.2一阶微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.1可分离变量微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.2齐次型微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.3一阶线性微分方程*5.2.4伯努利方程*5.2.4伯努利方程*5.2.4伯努利方程*5.2.4伯努利方程5.3可降阶的微分方程5.4二阶线性微分方程解的结构5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2二阶非齐次线性微分方程解的结构5.5二阶常系数线性微分方程5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例5.6微分方程的应用举例学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（上册）第6章定积分第4章定义了不定积分，揭示了导数与不定积分为互逆运算的关系．本章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分．它是微分逆运算的另一个侧面，适用于非均匀变化同时具有可加性的量求总和的所有实际问题，即所谓的“积分求和”问题．本章将先从实际问题出发引入定积分的定义，然后研究定积分与微分以及不定积分的关系，并将定积分的计算转化为计算原函数在积分区间上的增量，从而解决定积分的计算问题．微分研究的是函数在某一点的局部变化规律，而定积分研究的是函数在某一区间上的整体变化规律．6.1定积分的概念与性质6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.1定积分问题举例6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.2定积分的定义6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.1.3定积分的性质6.2微积分基本公式在6.1节中给出了定积分的定义，但通过定义来计算定积分十分困难．本节将探讨原函数与定积分的内在联系，进而揭示微分与积分的关系，给出计算定积分的简便而有效的方法：牛顿—莱布尼茨公式，或称微积分的基本公式．6.2.1引例6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.2积分上限函数及其导数6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.2.3牛顿—莱布尼茨公式6.3定积分的换元积分法和分部积分法牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计算转化为求原函数在积分区间上的增量，由第4章内容可知，求原函数常使用换元积分法和分部积分法，故定积分的计算也相应的有换元法和分部积分法．6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.1换元积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.3.2分部积分法6.4反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.1无穷限的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分6.4.2无界函数的反常积分学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（上册）第7章定积分的应用7.1定积分的微元法7.1定积分的微元法7.1定积分的微元法7.2定积分的几何应用7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.1平面图形的面积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.2立体的体积7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.2.3平面曲线的弧长7.3定积分在物理学上的应用7.3.1变力沿直线所做的功7.3.1变力沿直线所做的功7.3.1变力沿直线所做的功7.3.2水压力7.3.2水压力7.3.3引力7.3.3引力7.4定积分在经济分析中的应用7.4定积分在经济分析中的应用7.4定积分在经济分析中的应用7.4定积分在经济分析中的应用7.4定积分在经济分析中的应用7.4定积分在经济分析中的应用学海无涯学海无涯高等数学（下册）第8章无穷级数8.1

常数项级数的概念和性质无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．本章在极限理论的基础上，首先介绍常数项级数及其基本性质，然后介绍幂级数的概念、性质、运算以及幂级数展开式的应用，最后简要介绍傅里叶级数．8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.1常数项级数的概念8.1.2收敛级数的基本性质8.1.2收敛级数的基本性质8.1.2收敛级数的基本性质8.1.2收敛级数的基本性质8.1.2收敛级数的基本性质8.2常数项级数的审敛法对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那么第二个问题就不存在了．一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数．8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.3绝对收敛与条件收敛8.2.3绝对收敛与条件收敛8.2.3绝对收敛与条件收敛8.3幂级数在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到的不是常数项的级数，而是函数项的级数．以下各节我们将研究函数项级数，主要研究工程技术上十分有用的幂级数和三角级数．8.3.1函数项级数的概念8.3.1函数项级数的概念8.3.1函数项级数的概念8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性8.3.2幂级数及其收敛性*8.3.3幂级数的运算*8.3.3幂级数的运算*8.3.3幂级数的运算*8.3.3幂级数的运算*8.3.3幂级数的运算8.4初等函数的幂级数展开8.4.1泰勒级数8.4.1泰勒级数8.4.1泰勒级数8.4.1泰勒级数8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.4.2函数展开成幂级数的方法8.5函数幂级数展开式的应用8.5.1函数值的近似计算8.5.1函数值的近似计算8.5.1函数值的近似计算8.5.1函数值的近似计算8.5.1函数值的近似计算8.5.1函数值的近似计算8.5.2定积分的近似计算8.5.3欧拉公式8.5.3欧拉公式8.5.3欧拉公式8.5.3欧拉公式*8.6傅里叶级数由三角函数列组成的级数称为三角级数，它在声学、光学、热力学、电学等领域有着广泛的应用．本节在讨论这类级数敛散性的基础上，主要研究了如何将函数展开成三角级数．8.6.1三角级数及三角函数系的正交性8.6.1三角级数及三角函数系的正交性8.6.1三角级数及三角函数系的正交性8.6.1三角级数及三角函数系的正交性8.6.1三角级数及三角函数系的正交性8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数8.6.3周期为2l的函数展开成傅里叶级数学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（下册）第9章向量代数与空间解析几何9.1预备知识向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，它是沟通代数、几何与三角函数的有力工具，同时也是其他一些学科（如力学、物理学和工程技术）解决问题的有力工具．解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题．空间解析几何类似于平面解析几何，通过建立空间直角坐标系，把空间上的点与三维的有序实数组一一对应起来，把空间的图形与方程对应起来，从而用代数方法来研究几何问题．空间解析几何的内容对学习多元函数微积分也是必要的．本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．9.1.1向量的概念9.1.1向量的概念9.1.1向量的概念9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.2向量的线性运算9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.1.3二阶与三阶行列式9.2空间直角坐标系及向量坐标9.2.1空间直角坐标系9.2.1空间直角坐标系9.2.2向量的坐标表示9.2.2向量的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.2.4向量的模、方向余弦、投影9.3数量积向量积*混合积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.1两向量的数量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积9.3.2两向量的向量积*9.3.3向量的混合积*9.3.3向量的混合积9.4平面及其方程前面三节给出了向量的相关知识，从本节开始将利用向量把空间中的一些图形（如曲线、直线、曲面、平面等）代数化，即用代数方法来研究几何图形．我们将按照由简单到复杂的思路探讨平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程．因为平面和空间直线分别是曲面和空间曲线的特例，所以我们先给出有关曲面方程和空间曲线方程的概念．9.4平面及其方程9.4平面及其方程9.4.1平面的点法式方程9.4.1平面的点法式方程9.4.1平面的点法式方程9.4.1平面的点法式方程9.4.1平面的点法式方程9.4.2平面的一般方程9.4.2平面的一般方程9.4.2平面的一般方程9.4.2平面的一般方程9.4.2平面的一般方程9.4.2平面的一般方程9.4.3平面的截距式方程9.4.3平面的截距式方程9.4.3平面的截距式方程9.4.3平面的截距式方程9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.4.4两平面的夹角9.5空间直线及其方程9.5.1空间直线的一般方程9.5.1空间直线的一般方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程9.5.3两直线的夹角9.5.3两直线的夹角9.5.4直线与平面的夹角*9.5.5平面束*9.5.5平面束*9.5.5平面束*9.5.5平面束9.6曲面及其方程9.6.1球面9.6.1球面9.6.1球面9.6.2柱面9.6.2柱面9.6.2柱面9.6.3旋转曲面9.6.3旋转曲面9.6.3旋转曲面9.6.3旋转曲面9.6.3旋转曲面9.6.3旋转曲面9.6.4椭圆锥面9.6.4椭圆锥面9.6.5椭球面9.6.6双曲面9.6.6双曲面9.6.7抛物面9.6.7抛物面9.7空间曲线及其方程9.7.1空间曲线的一般方程9.7.1空间曲线的一般方程9.7.1空间曲线的一般方程9.7.2空间曲线的参数方程9.7.2空间曲线的参数方程9.7.2空间曲线的参数方程9.7.2空间曲线的参数方程*9.7.3曲面的参数方程*9.7.3曲面的参数方程*9.7.3曲面的参数方程9.7.4空间曲线在坐标面上的投影9.7.4空间曲线在坐标面上的投影9.7.4空间曲线在坐标面上的投影9.7.4空间曲线在坐标面上的投影学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（下册）第10章多元函数微分法及其应用10.1预备知识在前面章节中，我们介绍了一元函数的性质、极限、连续性、导数、微分、不定积分、定积分，以及微积分在几何、物理等领域的一些应用．这些内容是高等数学的基础知识，所涉及的函数运算都是一元函数的运算，但在实际应用中，常常要考虑多个变量之间的关系．例如，工厂生产一件产品，产品的成本包括原材料的成本，也包括工人的工资成本．因此，我们将在前面章节的基础上，研究一个变量（因变量）与多个变量（自变量）的关系．10.1.1平面及其表示10.1.2平面点集10.1.3邻域10.1.4内点、外点、边界点10.1.5聚点、导集10.1.6开集、闭集、连通集10.1.7开区域、闭区域10.1.8有界集、无界集10.1.9两点间距离公式10.2多元函数的概念、极限与连续性10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.1多元函数的基本概念10.2.2多元函数的极限10.2.2多元函数的极限10.2.2多元函数的极限10.2.2多元函数的极限10.2.2多元函数的极限10.2.3多元函数的连续性10.2.3多元函数的连续性10.2.3多元函数的连续性10.2.3多元函数的连续性10.2.3多元函数的连续性10.2.3多元函数的连续性10.3偏导数第2章介绍了函数的导数，导数是用函数的增量与自变量增量比值的极限来定义的．对多元函数，是否也可进行类似的处理呢？与一元函数相比，多元函数的求导有什么不同呢？本节将要介绍这些内容．10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.1偏导数的基础知识10.3.2高阶偏导数10.3.2高阶偏导数10.3.2高阶偏导数10.3.2高阶偏导数10.3.2高阶偏导数10.3.2高阶偏导数10.4全微分及其应用10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分10.4.1全微分*10.4.2利用全微分进行近似计算*10.4.2利用全微分进行近似计算*10.4.2利用全微分进行近似计算10.5多元复合函数及其求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则10.5.2多元复合函数的全微分10.5.2多元复合函数的全微分10.5.2多元复合函数的全微分10.5.2多元复合函数的全微分10.6隐函数的求导法则在实际的工程应用中，由于现实条件复杂多变，因此引入的变量也很多，并且很多变量之间有可能是以一个方程或方程组的形式表现出来的，即在一定条件下，由方程或方程组决定了变量之间的函数关系，这种函数关系即为隐函数．如果能从方程或方程组解出函数关系，则隐函数求导问题就成了前面学习过的（显）函数求导问题．然而，在很多情形下，要解出（显）函数是很难的，有时甚至根本无法解出．那么，在这种情况下应如何求隐函数的导数呢？本节将要介绍这些内容．10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数*10.7多元函数微分学的几何应用曲线和曲面是空间中常见的几何图形，在第9章，我们用代数方法对空间曲线和曲面的性质、形状进行了研究．我们已介绍过多元函数的微分学，那么是否能运用多元函数的微分学来揭示空间曲线和曲面在一点邻近的性态呢？本节将要介绍这些内容．10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.1空间曲线的切线与法平面10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线10.7.2曲面的切平面与法线*10.8方向导数与梯度10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.1方向导数10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.8.2梯度与场10.9多元函数的极值及其求法在科学研究、生产实践和社会生活中，我们往往会遇到多元函数求极值、最值及其应用的问题。实际中碰到的求解多元函数的最值问题、最优化方案，实质就是求解多元函数极值的问题。本节将要介绍求解多元函数极值的问题．10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.1多元函数的极值与最值10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法*10.9.3最小二乘法举例*10.9.3最小二乘法举例*10.9.3最小二乘法举例*10.9.3最小二乘法举例*10.9.3最小二乘法举例学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（下册）第11章重积分11.1二重积分的概念与性质前面我们讨论过定积分，定积分的被积函数是一元函数，解决的是求不规则二维图形面积的问题，本章我们将讨论多元函数的积分，以及不规则几何体体积的求解问题．11.1.1二重积分的概念11.1.1二重积分的概念11.1.1二重积分的概念11.1.1二重积分的概念11.1.1二重积分的概念11.1.1二重积分的概念11.1.2二重积分的几何意义11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.1.3二重积分的性质11.2直角坐标系下二重积分的计算11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.1先对y、后对x的二次积分11.2.2先对x、后对y的二次积分11.2.2先对x、后对y的二次积分11.2.2先对x、后对y的二次积分11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.2.3特殊情形11.3极坐标系下二重积分的计算11.3极坐标系下二重积分的计算11.3极坐标系下二重积分的计算11.3极坐标系下二重积分的计算11.3.1极点在区域D的边界11.3.1极点在区域D的边界11.3.2极点在区域D的外部11.3.2极点在区域D的外部11.3.2极点在区域D的外部11.3.3极点在区域D的内部11.3.3极点在区域D的内部11.3.3极点在区域D的内部11.3.3极点在区域D的内部11.3.3极点在区域D的内部*11.4三重积分*11.4三重积分11.4.1三重积分的概念及性质11.4.1三重积分的概念及性质11.4.1三重积分的概念及性质11.4.1三重积分的概念及性质11.4.1三重积分的概念及性质11.4.1三重积分的概念及性质11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算11.4.2三重积分的计算学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯学海无涯高等数学（下册）第12章曲线积分与曲面积分12.1对弧长的曲线积分在前面章节中讨论的定积分变量取值为区间（即直线段），二重积分积分范围是定义在平面内的闭区域，三重积分积分范围则为空间内的闭区域．可见，前面的章节已经对积分域进行了推广，但是在物理学中仍会出现无法用重积分描述的情况，如曲线