2025版新高考版高考总复习数学专题十一概率与统计　随机事件及概率

2025版新高考版高考总复习数学专题十一概率与统计11.1随机事件及概率五年高考考点1随机事件的概率1.(2019课标Ⅱ文,4,5分,易)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23C.2答案B2.(2018课标Ⅲ文,5,5分,易)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B3.(2021全国甲理,10,5分,中)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.1答案C考点2古典概型1.(2022全国甲文,6,5分,易)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.1答案C2.(2020课标Ⅰ文,4,5分,易)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A.1答案A3.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.1答案D4.(2019课标Ⅰ理,6,5分,中)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.5答案A5.(2022全国乙理,13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.

答案36.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

答案6考点3事件的相互独立性1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大答案D3.(多选)(2023新课标Ⅱ,12,5分,难)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1)()A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案ABD4.(2020天津,13,5分,中)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为答案16;5.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.

答案0.186.(2019课标Ⅱ,18,12分,中)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.名师点拨由于先多得两分的一方获胜,10∶10平后,又打X球该局比赛结束,故X=2和X=4分别表示打2球和4球后有一方比对方多得2分.考点4条件概率与全概率公式1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案A2.(2023天津,13,5分,中)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为.

答案120;3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(i)证明:R=P((ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)由题中数据可知K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以有99(2)(i)证明:因为R=P(注意P(且P(所以R=P((ii)由题表中数据可知P(A|B)=40100=25,P(A|B)=10100=110,P(A|B)=60所以R=P(A|B三年模拟综合基础练1.(2024届四川眉山青神中学期中,2)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有一本政治与恰有两本政治答案D2.(2024届重庆八中适应性月考(一),3)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选6只小白鼠,随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境,另外3只分配到对照组且饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g),则指定的两只小白鼠分配到不同组的概率为()A.3答案D3.(2024届四川达州育才外国语学校月考,9)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为()A.1答案D4.(2023山东潍坊二模,5)已知事件A、B满足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,则()A.P(A∩B)=0.3B.P(B|A)=0.3C.事件A,B相互独立D.事件A,B互斥答案C5.(2024届湖南名校联合体第三次联考,5)为庆祝我国第39个教师节,某校举办教师联谊会,甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为45,乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为(A.3答案B6.(2024届湖北四市联考,5)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约30%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为()A.5答案B7.(2023河北衡水二模,5)某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团,甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选篮球”,则P(A|B)=()A.3答案A8.(2024届安徽蚌埠二中期中,7)已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.3,则P(A)=()A.3答案D9.(2024届浙江宁波一模,15)第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛,根据以往赛事分析,该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12,200米比赛未能站上领奖台的概率为310,两项比赛都未能站上领奖台的概率为110,若该运动员在100米比赛中站上领奖台,答案3综合拔高练1.(2023陕西宝鸡三模,8)已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的球是黄球或白球的概率为()A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6答案A2.(多选)(2024届江苏常州前黄中学期中,9)已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则()A.若B⊆A,则P(AB)=0.5B.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.7C.若A与B相互独立,则P(AB)=0.9D.若P(B|A)=0.2,则A与B相互独立答案BD3.(多选)(2023广东广州二模)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率为1答案BC4.(2023湖北十堰四调,16)甲、乙两位同学玩游戏:给定实数a1=3,按下列方法操作一次产生一个新的实数,由甲掷一枚骰子,若朝上的点数为1,2,3,则a2=2a1-4,若朝上的点数为4,则a2=a1,若朝上的点数为5,6,则a2=a1+2.对实数a2重复上述操作,得到新的实数a3,若a3>a1,则甲获胜,否则乙获胜,那么甲获胜的概率为.

答案55.(2023江苏南京二模,15)一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球,每次从袋子中随机摸出2个球.若摸出的两个球颜色不相同发生的概率记为p(n),则p(n)的最大值为.

答案56.(2023山东菏泽一模,18)为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校成立了生物科技小组,在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物(该试验田每次只能种植一种农作物),为了保持土壤肥度,每种农作物都不连续种植,共种植三次.在每次种植A后会有13的可能性种植B,23的可能性种植C;在每次种植B的前提下再种植A的概率为14,种植C的概率为34;在每次种植C的前提下再种植A的概率为25,(1)在第一次种植B的前提下,求第三次种植A的概率;(2)在第一次种植A的前提下,求种植A作物次数X的分布列及期望.解析设Ai,Bi,Ci表示第i次种植农作物A,B,C的事件,其中i=1,2,3.(1)在第一次种