空间角的计算方法-2023-2024学年高一数学期末人教A版2019必修第二册

2/2空间角的计算方法1．空间直线与平面所成的角有三类,分别为异面直线所成的角、直线与平面所成的角与二面角，通常称为“线线角”、“线面角”与“面面角”，统称为“空间角”，其中异面直线所成角的范围为（思考为什么取不到0？），直线与平面所成角的范围为，二面角的范围为，在求前两类“空间角”的余弦值时，若求得负值，应把负号舍去．2.求“空间角”的一般步骤如下：“一作、二证、三求”

第一步，在图形中根据定义作出所求的角；

第二步，(做解答题时，用规范的语言说明该角即为所求的角；

第三步，根据题目所给数据计算所求角的三角函数值（一般前两步最难）.1.异面直线【例1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A． B． C． D．思考如何通过平移等效出合适的线段？答案注意观察所给的异面直线相关的公共区域（往往是某条线段），以此为方向将异面直线进行平移，至于平移后是向外补出图形还是向内等效线段，完全看个人喜好和方便程度.（注意平移之后，线段容易形成平行四边形或梯形，可以借此特点判断自己思路是否方便后续计算）

【解析】连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．【练习1】如图，在三棱锥

A-BCD

中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N

分别为

AD,BC

的中点，则异面直线

AN与CM

所成角的余弦值是____________．【提示】平移

AN

至与CM

相交，从而作出异面直线所成的角是解决本题的关键.通常，平移直线需要一条“轨道”，即AN

要沿着另一条直线平行“滑动”至与CM相交.

【例2】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．- C．2 D．思考如何避免向外延伸（偷懒），又使得异面直线同在一个三角形？答案经典物理学相对运动的思路告诉你可以尝试“双向奔赴”【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角为异面直线与所成角．设，则，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．【练习2-1】如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（）A．B． C． D．

【练习2-2】在正方体中，和分别为，和的中点．，那么直线与所成角的余弦值是（）

A． B． C． D．2.线面角【例3】如图，在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC,PA=3,则直线AC与平面PBC所成角的正弦值为____________．思考作“线面角”的关键是找到直线

AC在平面PBC

内的射影，而找射影的关键是过点A作平面PBC的垂线，又该如何作垂线呢？答案作平面的垂线通常运用面面垂直的性质定理,即需要找到一个过点A且垂直于平面PBC

的平面，通常用平面PBC内的一条直线垂直于两条相交直线来得到这样的平面.【练习3】如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．则直线CE与平面PBC所成角的正弦值为____________．同样的练习，倘若改成如下格式，阁下又会觉得有怎样的不同？如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【提示】增强基本功的训练（刷题且总结），不仅提升了对知识点的熟练程度，还可以提高自身对立体图形的“敏感性”，也就是很多教辅资料解析中的“注意到”、“显然”、“易证”、“不妨设”、“不难看出”.【例4】如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．求直线BD与CDE所成角的正弦值.【提示】作“线面角”时，若直接作平面的垂线较为困难，可以先在容易作垂线的位置作出一条垂线，再将之平移到需要的位置.【练习4】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值.

3.面面角【例5】如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．求二面角C-BE-D的平面角的正切值.【提示】作二面角的一般方式是作出一个三角形,该三角形的两条边所在直线均与二面角的棱垂直，则其第三条边所在的直线也与二面角的棱垂直.

【练习5】如图所示，在三棱锥中，平面，，且，，是的中点.求二面角的正切值.【解析】由题可知二面角A-BE-在平面BCD内作直线DG⊥BE于G，连接∵AD⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，∴∵BE⊥DG，AD∩DG=D∵AG⊂平面ADG，∴AG⊥BE，所以，二面角在△DBE中，由余弦定理得BE=由等面积法可得S△∴DG=在Rt△ADG∴二面角A-BE-

【例6】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求二面角C-PB-D的大小.【提示】有时候根据题目中的暗示不妨大胆一些，先画后证（作EF⊥PB交PB于点F.）证明：如图，作EF⊥PB交PB于点F.因为侧棱平面，平面，所以，又，，所以平面，，由可得，又，所以平面，，因为，DE∩EF=E所以平面；由（2）知，所以为二面角的平面角，不妨设，则，，，在△DEF中，由余弦定理得，所以二面角的大小为60.

【例7】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD.若E为PD的中点,则平面EAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值为____________．【提示】延伸几何体作二面角的作出平面EAC与平面PBC的交线，是进一步作出二面角的平面角的关键.思考可否不对几何体做延伸呢？答案构造面面平行，使得二面角转化为容易计算的平面角.

反思感悟：求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.（即构造线面垂直）(2)连接垂足和斜足，进一步得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.（中间证明过程不充分容易造成扣分）(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形（结合正余弦定理），求出该角.有关概念斜线一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO二面角的平面角的作法常有三种：定义法：在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线（或者线段），即两射线夹角为所求二面角的平面角.（推理过程一定要伴随相应的证明过程！）三垂线法：三垂线法则利用三垂线定理，通过构造与射影垂直的线来找到平面角.③垂面法：垂面法直接构造一个垂直于棱的平面，通过该平面与二面角两个面的交线来确定平面角.巩固练习1(越秀区2021-2022学年高一下T22)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，O是的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面POB（2）点M在棱PC上，满足PM=λPC(0<λ>1)，且三棱锥P-ABM的体积为33，求λ的值及二面角M-AB-D的正切值．【答案】

2(广州市三校联考2021-2022学年高一下T8)如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（

）A.CD与BE是异面直线B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为【答案】C(2023邯郸市高三开学考)棱长为3的正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧.若顶点B,C到平面α的距离分别为2、3，则平面ABC与平面α所成锐二面角的余弦值为．【答案】2

4(广州市三校联考2021-2022学年高一下T21)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B（1）求证：平面A1BC⊥（2）直线A1B与底面ABC所成的角的大小θ为多少时，二面角A1（3）在（2）的条件下，求点C到平面A1【答案】（2）θ=π3；（3）

5(华南师范大学附属中学2021-2022学年高一下T21)已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.(1)求证：BP⊥平面ACD(2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P-【答案】(2)；(3).

6(越秀区2021学年高一下T22)在如图所示的圆台中，ABCD是圆台的轴截面，O1，O分别是上、下底面圆的圆心，E是下底面圆周上异于A，B的一点，设圆台的上、下底而圆的半径分别为r与RR>r，高为h，体积为（1）若M，N外别是AD与CE的中点，试判断直线MN与平面ABE的位置关系，并加以证明；（2）若∠ABE=∠BAC=30（3）在估测圆台的体积时，常用近似公式V估=S中截面⋅h来计算，其中圆台的中截面是指与上、下两个底而平行，且到两个底面距离相等的截而，试判断与V估【答案】（2）E-AC-B的正切值为23.

7(荔湾区2022-2023学年高一下T21)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，PA=PB=2（1）证明：平面POE⊥平面ABCD（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．【答案】（2）π3

8(白云区2022-2023学年高一下T21)如图，在直三棱柱ABC-A1B1（1）求证：BC⊥平面AB（2）若直线AC与平面A1BC所成角为α，二面角A1-BC-A的大小为β，试判断α

9(番禺区2022-2023学年高一下T12)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1A.EF//平面B.直线PM与EF所成的角是πC.点E到平面PMN距离是23D.存在过点E,F且与平面PMN平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为31