安徽省合肥滨湖寿春中学2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

九年级（下）期中评价数学学科（试题卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．2024相反数的倒数是（

）A． B． C．2024 D．2．据水利部介绍，自从南水北调东、中线建成以来，已经累计调水量超过698亿立方米，其中698亿用科学记数法表示（

）A． B．C． D．3．如图所示的几何体的左视图（

）A． B．C． D．4．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．5．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．6．如图，是的内接四边形，连接、，，则的度数是（

）A． B． C． D．7．春节期间，小明和小华分别从三部春节档影片《飞驰人生2》《热辣滚烫》和《第二十条》中随机选择两部部观看，则小明和小华选择的两部影片相同的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，的边上有D、E、F三点，若，，，根据图中标示的长度，四边形与的面积比是（

）A． B． C． D．9．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．10．如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（

）A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知a为整数，且，则；12．化简的结果为．13．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为．14．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）；（2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式，并把解在数轴上表示出来．16．某快餐店有线上和线下两种消费方式．2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是．2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与2022年相比，年收入总额增长了，其中线上收入增长了．求该快餐店2023年的线下收入的增长率．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列关于自然数的等式：，①，②，③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；(3)根据你发现的规律，可知．（直接写出结果即可）18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．(1)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，画出；(2)用无刻度直尺画图（要求：保留关键作图痕迹，无需写作法）①过点作的垂线，交于点，并标出点；②在上找一点，使得，并标出点．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．随着《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的落实，劳动课已成为各中小学不可或缺的独立课程．某学校利用空地建成劳动实践基地．已知空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地的面积（参考数据：，）．20．如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”,如图，(1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”；(2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长．六、解答题（本大题共1小题，满分12分）21．某校七、八年级各有500名学生，为了解两个年级学生对“防电信诈骗”的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行“防诈反诈”知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：：，：，：，：，：，：．并绘制了七、八各年级的统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩组的全部数据如下：85，85，86，86，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：(1)______，______；(2)八年级测试成绩的中位数是______；(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对“防电信诈骗”关注程度高，请估计该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．七、解答题（本大题共1小题，满分12分）22．如图，已知正方形，点E在边上，点在边的延长线上，且．连接并延长，交于点G．(1)如图1，①求证；；②连接，求的度数；(2)如图2，若，求的值．八、解答题（本大题共1小题，满分14分）23．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为，点是抛物线第一象限内一点，且在抛物线对称轴右侧，其横坐标为．

(1)求该抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；(2)过点作轴，交抛物线于点，分别过点、作轴的垂线，垂直分别是、，当矩形的周长最大时，求的值．

参考答案与解析1．B解析：本题考查了相反数和倒数的定义，正确理解相反数和倒数的概念是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就互为倒数．根据相反数和倒数的概念即可判断答案．的相反数是，相反数的倒数是．故选：B．2．B解析：本题考查科学记数法的表示．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据表示形式，不难表示出698亿．1亿698亿．故选：B．3．C解析：此题考查了简单几何体的三视图，能看到的线条用实线，看不到的线条用虚线表示，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．解：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上有一条竖向的虚线．故选：C．4．D解析：根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．A．，故该选项计算错误，不符合题意，B．，故该选项计算错误，不符合题意，C．，故该选项计算错误，不符合题意，D．，故该选项计算正确，符合题意，故选：D．本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．5．A解析：整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得．解：x(x+1)+ax=0，∴x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A．本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．A解析：本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．利用圆周角定理求解即可．解：，,故选：A．7．B解析：本题考查了列表法计算概率，熟练掌握列表法是解题的关键．解：把三部影片分别记为A、B、C，列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果，其中小明和小华选择的影片相同的结果有3种，∴小明和小华选择的影片相同的概率为39=13，故选：B．8．D解析：本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．解：由题意可知，，，，，，，，∴，，（负值舍去），，，同理可证，，，，,故选：D．9．B解析：本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，则，二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，故选：B．10．D解析：解：如图，以为边向右作等边，连接．

是等边三角形，，，，，，，，点在射线上运动，且，设交于点，则，当时，的长最小，此时，则，，，，，即：点为中点，，．综上，当点为中点时，的长最小，此时；故选：D．本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．11．4解析：本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．根据，即可求出的值．解：，，，又，，故答案为：412．解析：本题主要考查了异分母分式加法计算，先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案．解：，故答案为：．13．解析：本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键．解：由题意可知，，∴的外心与内心之间的距离，故答案为：．14．22解析：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题．（1）根据题意，点，都在反比例函数上，即可得出，可解得的值；（2）由的值知点的坐标，然后可求出一次函数和反比例函数的解析式，再假设点的坐标，最后表示出面积求其最大值即可，具体见解答．解：（1），都在反比例函数上解得（舍弃）；（2）如图一次函数的解析式为反比例函数的解析式为设当时，有最大值为2．15．，数轴上表示见解答解析：此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．解：去分母得：，则，解得：．解集在数轴上表示为：16．解析：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．解：设2022年线上收入万元，线下收入万元，则，解得：，则，，即：2022年线上收入20万元，线下收入30万元，设该快餐店2023年的线下收入的增长率为，则，解得：，答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为．17．(1)(2)第n个等式为：，验证见解析(3)解析：（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：，对等式右边进行整理即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，所以第四个式子右边应该是：；故答案为：；（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，再由（1）可知，第n个式子应该就是：；等式右边左边，所以猜想正确；（3），故答案为：．本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．18．(1)见解答(2)①见解答；②见解答解析：本题主要考查了旋转作图，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，画三角形的高．（1）先将绕点逆时针旋转，画出相应的线，再连接即可；（2）①如图所示，取格点K，连接交于H，点H即为所求；②如图所示，取于格线的交点P，点即为所求．（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：①如图所示，取格点K，连接交于H，点H即为所求；易证明，则点H即为所求；②如图所示，取于格线的交点P，点即为所求．易证明，即可得到。19．1680平方米解析：本题考查解直角三角形．根据题意，过点作于，把空地分成一个矩形和一个直角三角形即可．解：如图所示，过点作于，四边形是矩形在中，,,（米）在中，,,（平方米）．20．(1)见解答(2)解析：本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质．（1）根据垂径定理易得是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的知识及对顶角的性质可得；（2）连接，根据垂径定理求得,进而得出，再用勾股定理即可．（1）解：是直径，平分是等腰三角形是弧的“幸运角”；（2）如图，连接弧的“幸运角”为即的长为．21．(1)，4(2)87(3)275解析：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．（1）根据八年级组人数及其所占百分比即可得出的值，用的值分别减去其它各组的频数即可得出的值；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）用样本估计总体即可．（1）解：八年级测试成绩组：的频数为7，由扇形统计图知D组占∴进行冬奥会知识测试学生数为（人），∴，解得故答案为：，4；（2）A、B、C三组的频率之和为，A、B、C、D四组的频率之和为，∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，88，88，89∵，即：第6个数据在组则，第10与第11两个数据为86，88，∴中位数为，故答案为：87；（3）八年级E：，F：，两组占，该校七年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人七年级E：，F：两组人数为人该校八年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人∴该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有人．22．(1)①见解析；②(2)解析：（1）①根据正方形的性质，结合，利用可证明，再利用全等三角形的性质可证明，即可证明结论；②连接，可知，由①可知，，则点、、、四点共圆，结合圆周角定理即可求解；（2）由题意设，则，，，再证，得，求出即可求解．（1）解：①证明：∵四边形是正方形，∴，，则，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即：；②连接，∵，，∴，由①可知，