八年级数学竞赛资料(编)

目录

本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本

技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数

学水平的好资料。另外，在本次培训中，我们适当安排了函数方面的内容，给学生以学习上

的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。

本次暑假培训具体计划如下，以供参考：

第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧

第二讲实数

第三讲一次函数与反比例函数

第四讲整式的运算

第五讲因式分解

第六讲竞赛中质数合数

第七讲数学竞赛中的不定方程

第八讲竞赛中整除的基本性质

第九讲2007年希望杯全国数学竞赛试题

第十讲"希望杯''全国数学邀请赛初二第2试

第十一讲初二竞赛思维训练

第十二讲逻辑推理问题

第十三讲考试图论思想

第十四讲试卷讲评归纳与枚举

第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧

全等三角形辅助线作法与证明技巧：

基础巩固：

1.Z\ABC中,AB=5,AC=a,BC边上的中线AD=4,则a的取值范围为（）

A.3<a<5B.3<a<9C.3<a<10D.3<a<13

2.如图,在等腰4ABC中，顶角N8AC=100°,延长AB到D,

AD=BC,^iZBCD=()

A.10°B.15°C.20°

7.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）

A.30°B,30°或150°C.120°或150°

8.如图所示，六边形ABCDEF中，=NB=NC=ND=NE=NF

且AB+BC=11,E4—8=3,则+。

9.在正五边形ABCDE所在的平面内求一点P,使得VPCO与V8CO面积相等，且VABP是等腰三角形,

这样的P点有个。

奥赛之窗:

中线倍长

【例1】如图所示，已知在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC

于F,求证:AF=EF.（CASIO杯数学竞赛试题）

［例2］如图所示，各边都相等的五边形ABCDE中，ZABC=2ZDBE,求/ABC.（2009世奥赛中国区总决

赛）

截长补短

［例3］如图所示，己知四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°,求证：BC+DC=AC.（希望

杯全国联赛试题）

【例4】如图所示，AABC是边长为1的等边三角形，aBDC是顶角NBDC=120。的等腰三角形，点M、N

分别在AB、AC上，且NMDN=60。，求证:^AMN的周长/为2.（华杯赛全国联赛试题）

B

D

第二讲实数

一、课标要求

1、通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。

2、能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同.

3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。

4、学会比较两个实数的大小；

二、基础夯实

1、S3.14,^,2^-78,781-0.4-V9,4.262262226….(两个6之间依次多1个2)中、

属于有理数的有属于无理数的有

属于正实数的有属于负实数的有

2、求下列各式的值：

(1)-J)~；⑵J25+J36；(3)Jo.09t—Jo.36

(4)^3|+V0.001

(5)-V216

3、求满足下列各式的非负数x的值:

⑴169x2=100(2)X2-3=0

三、例题精讲

例1、己知0<x<l,那么在X,」,、/7,一中最大的数是最小的数是

X

例2、4-6的整数部分为a,小数部分为b,求2的值.（保留3个有效数字）

a

例3、已知为-1的平方根是±3,3〃+。-1的算术平方根是4,求。+2。的平方根.

Go9

例4、已知a,b为实数，且满足而1—S—1）AO=0,则/附一/72的值时多少?

例5、计算下列各题

-正34尸+Y卜.

199…9

⑵K99---V--J

2010个9

v2010个9

四、课堂练习

1、已知|a-2|+(1-向石=7=0,则+Y的个位数字是

__,.,j；.„~\lx2—16+V16—x~-9j,,,,

2、已知x,y满足y=----------------------,求xy的平方根.

8-2x

3、已知|2(X)8-a1+Ja-2009=a,求a—2006的值.

第三讲一次函数与反比例函数

一、知识点精讲

1、正确认识函数及其形式

2、反比例函数的图象与性质

k

3、反比例函数y=—(%。0)中的比例系数人的几何意义

x

二、一次函数例题精讲

例1：一次函数》=如-〃的图象如图，则下面结论正确的是(

A>m<0,n<0B>m<0,n>0

C>m>0,«>0D、〃2>0,〃<0

例2：如图，直线AB交为轴于A,交y轴于B,求直线AB的函数解析式。

例3：设函数y=(m—3)乂/6”+7+(5一〃°,当,"为何值时，它是一次函数？此时它的图象经过哪几

个象限？画出函数图象来。

"+s

例4：已知一次函数y=2i—Z的图象与反比例函数y=——的图象相交，其中有一个交点的纵坐标

x

为一4,求这两个函数的解析式。

例5：如图，A、C是函数>=工的图象上的任意两点，过A点作X轴的垂线，.

垂足为B；过C点作y轴的垂皮，垂足为D,记RtaAOB的面积为E,（J

为△COD的面积为S2,则（）

A>S,>S2B、S[=S211

C、S.<S2D、5与邑的大小关系不能确定

例6：函数y=-ca+a与y=』（awO）在同一坐标系中的图象可能是（）

x

三、课堂练习

1、若直线y=3x+%与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则常数k的值是

2、直线y=经过一、二、四象限，那么直线y=—bx+Z经过象限。

3、当圆柱形罐头的体积为一定值〃7（加〉0）时，那么这个圆柱的高h与圆柱的底面半径r之间的函数关系

是（）

A、正比例函数B、一次函数C、反比例函数D、其他函数

4：已知出七工0,并且竺e=2±£=£±E=〃，那么直线3/=〃氏+〃一定通过（）

cab

A、第一、二象限B、第二、三象限

C、第三、四象限D、第一、四象限

5：如图，正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上，且EB=10cm,点P在边DC上运动,

A______

/P

BC

EP与AB的交点为F,设DP=xcm,AEFB与四边形AFPD的面积和为ycm1,

那么，y与x之间的函数关系式是(()<%<10)。

6：有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量都是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进

水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示。

(1)每分钟进水多少？

(2)44x412时，x与y有何关系？

(3)若12分钟后只放水，不进水，求y的表达式。

7：A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市

10台，已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D

市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调运x台机器到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W(元)关于x(台)

的函数式，并求W的最小值和最大值。

(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总远费W

(元)，并求W的最小值和最大值。

8、在直角坐标系中，有两点P(-1,1)和Q(3,3),M是x轴上的任意点，则使PM+PQ的长度最小时,

求M点的坐标

第四讲整式的运算

一、知识点精讲

整式是多项式和单项式的总称.整式的乘除主要是多项式的乘除.下面先复习一下整式计算的常用公

式，然后进行例题分析.

正整数指数基的运算法则：

(l)aM-an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；(3)(aM)n=aMn；(4)aMvan=aM-n(a^0,m>n)；

⑸S*储0).

常用的乘法公式：

222232233

(l)(a+b)(a+b)=a-b;(2)(a±b)=a2±2ab+b；C)(a士b)Ca+ab+b)=a±bs

(4)(d±b)3=a3+3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

二、基础夯实

1.填空：

①a2+b2=(a+b)2—②(a+b产=(a-b)2+

③a3+t/=(a+b)3—3ab()@a4+b4=(a2+b2)2—

⑤a$+b5=(a+b)(a4+b4)-@a',+b5=(a2+b2)(a3+b3)—

2.填空：

①(x+y)()=x4-y4②(x—y)()=x4—y4

③(x+y)()=x5+y5④(x—y)()=x5_y5

三、例题精讲

例1.己知x+y=axy=b

求①x?+y2②x'+y'@x4+y4

例2计算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4).

分析与解

(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反

项结合.

(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2,这个结果与多项式x'-gxV+lGy"相乘时，不能直接应用公式，

但x，-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了.

例3、己知x?—5x+m能被x—2整除，求m的值。

例4、已知x+，=3,求①x2+-^②x'+I③X4+A的值

XXXX

例5、己知a+b=l,求证：a3+b3—3ab=l

四、实战演练

1.x2-y2-x-y分解因式的结果是.

2.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于()

A、3B、-5C、7D、7或-1

10000

3.利用因式分解计算:

2522-2482

4.(x+y+z)2-(x-y+z)2.

5.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值.

6.利用因式分解计算19992+1999-20002.

五、课堂练习

1.计算：

(1)(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4；

(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc).

2.化简：

(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；

(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；

3.已知z2=x2+y2,化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z).

4.己知a2=a+1,求代数式a5—5a+2的值

第五讲因式分解

一、知识点精讲

主要介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法及配方法，换元法等.在整式的乘、

除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(l)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

二、基础夯实

因式分解

1、8/〃一Lc+6//c2、8a(x-a)+4b(a-x)-6c(x-a)

3、4X2-14、a2b2-0.01

5'>cr+8a+16；6、(a+20)2+6(Q+2Z?)+9；

7r、a3-a8、3炉—12

9、+2xy+2y2；10、-Amn—4m2—rr.

三、例题精讲

例1分解因式:

_5n-ln3.ln2_n-ln4

(1)2xy+4xOy+2xy+；(2)x-8y'-z-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7.

例2分解因式：a3+b3+ct3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).

分析我们已经知道公式(a+b)3=a、3a2b+3ab2+b，的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).本

题就借助于它来推导.

例3分解因式:X3-9X+8

例4分解因式：(X2+X+1)(X2+X+2)-12.

四、课堂练习

1.分解因式：(x4+x2-4)(*4+X2+3)+10=.

2.分解因式：(X2+X+1)(X2+X+2)-12=.

3.分解因式：-l)(x+3)(x+5)+12=.

4.若y+2孙+丫2-°原+丫)+25是完全平方式，贝Ua=.

5.将多项式--2,一3分解因式，结果正确的是().

A.(X2+3)(X2-1)B.(X2+1)(X2-3)

C.(x2+3)(x-i)(x+l)D.(x2+l)(x-3)(x+3)

6.因式分解

(l)a4+16fe4；(2)x4+x2y2+/

第六讲质数合数性质

整数的研究在数学里占有极为重要的地位，特别是整数问题的灵活性和独特性，有利于培养和考查学

生的综合素质，因此，各级各类数学竞赛，整数的问题涉及较多。

一、知识点精讲

（一）十进制整数与K进制的互化

除2取余法。

例如：87化为2进制。

87化为4进制。

如何推广至除K取余法。

（二）质数与合数

一个大于1的正整数a,若仅有1与a这两个正约数，则a叫做质数（或素数）；若还有其他的正约数,

则a叫做合数。

例1：若P为质数，尸+5仍为质数，则产+7为（）

A、质数B、可为质数也可为合数

C、合数D、既不是质数也不是合数

例2：满足90的所有是合数而不是偶数的正约数的和等于.

（三）最大公约数与最小公倍数

例3：a,，为自然数，且a=199泌，则m6的最大公约数与最小公倍数的和等于。

例4：电子钟9分钟亮一次灯，整点响铃，12点既亮灯又响铃以后，下次在几点既亮灯又响铃？

（四）奇数与偶数

整数可以分为奇数和偶数两类。

在整数中能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，通常用2k表示偶数，用2/+1（或24

-1）表示奇数，其中左为整数。

例5：99个连续自然数之和等于"cd,若小b、c、”皆为质数，则a+6+c+d的最小值等于多少？

例6：Med是一个四位的自然数，已知Med—abc-a"-a=1995,试确定这个四位数“Ocd。

例7：写出10个连续自然数，使其中每一个数都是合数

例8：是否存在整数。，力满足1998=〃。

例9：设。、b、c、d为自然数，并且出?=cd,试问a+b+c+d能否为质数?

第七讲不定方程与应用

一、知识点精讲

关于二元一次不定方程ax+〃V=c（其中。、从c是整数；力。0）的解有下面定理：

定理1若不定方程ax+/?y=c［其中（0b）=dH±l）］,而常数c却无因数d,则此不定方程无整

数解。

如5x+10y=13,不管x,y取什么整数总有5|（5x+10y）,但5不整除13,所以这个方程无整数解。

定理2如果《。为ax+Z?y=c［其中（a、b）=1］的一组整数解，那么，。%+力=。的所有解（通

x-x+ht

n（其中/为任意实数）

{y=y0-at

4-30v

如13x+30y=4（13、30）=1贝!|x=-----

13

是整数，观察得整数解方=-2,坊=1，其全部解

x=-2+38

7=1-13?

其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解

二、例题精讲

例1：不定方程3x+5y=1306有多少组正整数解？

例2：求除以7余5,除以5余2,除以3余1的所有三位数中的最小正整数。

例3：牛吃草问题的不定方程解法探秘。

例4：江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机

抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需

要抽水机台。（1999年全国数学联赛试题）

例5：某班参加一次智力竞赛，共小庆c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题。满分20分，

题6、题c满分分别为25分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对的有1人，答对其中两道题的

有15人，答对题。的人数与答对题b的人数之和为29；答对题。的人数与答对题c的人数之和为25；答

对题b的人数与答对题c的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分？

例6：林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如

果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】

第八讲竞赛中整数性质的运用

一、知识点精讲

二、完全平方数的末位数

若。是整数，则称"为完全平方数。

定理1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9o

推论：凡末位数是2,3,7,8的自然数一定不是完全平方数。

定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。

推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。

定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。

三、连续自然数乘积的末位数

定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0,2,6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0,4,6；

4个连续自然数乘积的末位数只能是0,4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。

四、末位数的运算性质

定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于

这两个自然数末位数乘积的末位数，即

P(a+b)=P[p(a)+P{b}],

P(ab)=P[P(a)P(b)],

其中a和b都是自然数

利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。

二、例题精讲

例1：(1)求199聋5的末位数。(2)求3的x7KM2xl3m3的末位数。

例2：〃为怎样的自然数时，1"+2"+3"+4"能被10整除?

表格法的应用与直观性分析。

例3：5个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。

例4：若一个自然数的平方的十位数字是7,求这个自然数平方的末位数。

分析：一个自然数的平方的末两位数字是由这个自然数的末两位数字确定的，我们就由这里入手考虑。

（二）数的整除的判定法则

（1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。

（2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。

（3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7,11,

13整除。

（三）带余除法

两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数,

所得的商未必是整数。

一般地，h为两个整数，则存在惟一的整数对q和r,使得〃=如+八

这里0〈厂《|加，特别是当r=0,则称加4

当rw（）,则称b不整除a,4称为a被6除时所得的不完全商；r称为〃被b除时所得的余数。

（四）同余、余数的分类

由上可得a=而这里r可以取0,1,2,...r—1»

（1）如果我们把这r个数，每一个数分为一类，（即按余数相同的分为一类）则可分为匕类。

如，整数。被3除时，余数只能是0,1,2,所以整数。可以分为3",3q+l,3q+2这三类形式,

任一整数都属于这三类中的某一类，从而把整数的整体问题转化为讨论每一类问题的共性，得出整数总体

的性质。

（2）两整数a和b被c除时，余数相等，叫做a和b对模c同余，记作：

。三。（modc）

学会这方面知识可以使许多问题简单化

如：64=4（mod30）

二、例题精讲

例1：1999除以某自然数，其商为49,求除数和余数。

分析：设除数为x,余数为y,由余数公式有1999=49x+y,且0«y<x,由此可以确定x的取值范

围。

例2：甲、乙、丙三个数分别是312,270,211,用自然数A分别去除这三个数，除甲所得余数是乙

所得余数的2倍，除乙所得余数是除丙所得余数的2倍，求这个自然数A。

分析：若设丙的余数为r,商分别为a,b,c,则可得方程组，再利用整数性质即可求出A。

例3：若N=2x78是一个能被17整除的四位数，求无

例4：51999的末三位数是（）

A、025B、125C、625D、825

例5：已知一个七位自然数62肛427能被99整除，试求，95（k+24y+3

分析：•••99=9x11根据被9、11整除的数的特征便可求出x、y的值。

例6：已知两个三位数次，两和次+两1能被37整除，证明，六位数曲河也能被37整除。

例7：小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（）

A、658B、648C、686D、688

例8：今天是星期六，从今天起IO,000天后的那一天是星期几?

例9：试找出由0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的没有重复的七位数中，能被165整除的最大

数和最小数。

例10：试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。

第九讲第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初二第1试

2006年3月19日上午8：30至10：00

学校班学号姓名辅导教师成绩

一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的

英文字母写在下面的表格内.

1.实数机=20053-2005,下列各数中不能整除根的是()

(A)2006(B)2005(C)2004(D)2003

2.a,b,c,"是互不相等的正整数，且HM=441,那么a+Z>+c+d的值是()

(A)30(B)32(C)34(D)36

3.三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10,这样的三角形有()

(A)55种(B)45种(C)40种(D)30种

4.已知"2,〃是实数，且满足加2+2〃2+m——??+—=0,则一根〃2的平方根是()

336

(A)—(B)±—(C)-(D)±1

6666

5.某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的£.已知初一年级

5

的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的那么三个年级

4

女生人数占三个年级学生人数的()

6.如图1,点E、F、G、H、M、N分别在△A8C的BC.AC.AB边上,且NH//MG//BC,

ME//NF//AC,GF//EH//AB.有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从尸点出发,

黑蚁沿路线F—NTHTET/TGTF爬行，白蚁沿路线FTBTATC—F爬行,

那么()

图1

(A)黑蚁先回到尸点(B)白蚁先回到F点

(C)两只蚂蚁同时回到尸点(D)哪只蚂蚁先回到尸点视各点的位置而定

7.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520。，则原多边形的边数是()

(A)14(B)15(C)15或16(D)15或16或17

8.Letabeintegralpariof41andbbeitsdecimalpart.Letcbetheintegralpartofnanddbethedecimal

part..ifad—bc=m,then()

(A)-2</n<-l(B)-1</M<0(C)0</n<l(D)\<m<2

(英汉词典：integralpart整数部分；decimalpart小数部分)

9.对a,b,定义运算“*"如下：a*6=卜？当拦型'已知3*机=36,则实数相等于()

\ab2,当时.

(A)26(B)4(C)±26(D)4或±2有

10.将连续自然数1,2,3,…，”(n>3)的排列顺序打乱，重新排列成“2,的，…，斯.若(m一1)(生

—2)(的-3)…(斯一〃)恰为奇数,则n()

(A)一定是偶数(B)一定是奇数

(C)可能是奇数，也可能是偶数(D)一定是2"'—1(〃?是奇数)

二、A组填空题(每小题4分，共40分)

11.已知〃、b都是实数，且。=三坦，〃=生土1,b<-<2a,那么实数x的取值范围是________

433

12.计算J2005X2006X2007X2008H-20062的结果是

13.已知x=2拒+1,则分式./士f的值等于________

x3-llx-15

14.一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍，这样的矩形有

__________个.

15.SupposethatinFig.2.thelengthofsideofsquareABCDis1,EandFaremid-pointsof

CDandADrespectively,BEandCFintersectatapointP.Thenthelengthofline

segmentCPis.

(英汉词典：figure(缩写Fig.)图;length长度；square正方形；mid—point中点；图2

intersect相交；linesegment线段)

16.要使代数式有意义,实数x的取值范围是

17.图3的梯形ABC。中，尸是C。的中点，AFLAB,E是BC边上的一点,

且AE=8£若为常数)，则EF的长为.

18.A,w都是自然数，且4=川+15〃+26是一个完全平方数，则"等于

19.一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cn?,现将它的表面积涂上红色后，再切割成

边长为1cm的小正方体，如果三面为红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有

________个.

20.一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送，例如到达点C2的信息可经过8

或星送达，共有两条途径传送，则信息由A点传送到巴、及、区、品、房的不同途径共有

第十讲第十七届“希望杯''全国数学邀请赛

初二第2试

2006年4月16日上午8：30至I0：30得分

一、选择题(每小题4分，共40分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英

文字母填在每题后面的圆括号内.

1.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是()

(A)，2・5和2,5.(B)3a-/a和3b^/h.

(C)和.(D),必J和

，Ih-3|-2

2.要使代数式统一4H+3有意义,那么实数x的取值范围是()

(A)1<x<5.(B)zVl或工25.(C)z&l或(口)工<1或工>5.

3.以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形，其中a,c为梯形的两底，这样的梯形()

(A)能作一个.(B)能作两个.(C)能作无数个.(D)一个也不能作.

4.InFig.1,ABCDisaquadrilateral,EisapointonthediagonalBD,EF

EFEM.

//ADEM//BC9thenthevalueofDA+BC)

(A)greaterthan1.(B)equalto1.

(C)lessthan1.(D)variabledependingonthepositionofE.Figure1

(英汉词典：Fig.figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线;value数值;variable变量;

todependon取决于;position位置)

5.若加=20062+20062X2OO72+20072，则)

(A)是完全平方数，还是奇数.(B)是完全平方数，还是偶数.

(C)不是完全平方数，但是奇数.(D)不是完全平方数，但是偶数.

6.将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开

纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是()

(A)正方形.(B)长方形.(C)菱形.(D)等腰梯形.

7.若a,b,c都是大于1的自然数，且相=252b,则n的最小值是()

(A)42.(B)24.(C)21(D)15

8.Thereisatwo—placednumberal)=10a+6satisfyingthatah+baisacompletesquare

number,thentotalnumberofthoselikeabis()

(A)4.(B)6.(C)8.(D)10.

(英汉词典：two-placednumber两位数；number数，个数；tosatisfy满足；completesquare完全平方(数):

total总的，总数)

9.下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头寸”或飞”分别表示该歌曲

相对于上星期名次的变化情况，“广表示上升，表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌

10.设n(色2)个正整数q,4...a,,任意改变它们的顺序后，记作，，b2.....bn,若

P=()(a2-b2)(a3-b3)...(an—bn),则()

(A)P一定是奇数.(B)P一定是偶数.

(C)当n是奇数时，P是偶数.(D)当”是偶数时，P是奇数.

二、填空题(每小题4分，共40分.)

11.消防云梯的长度是34米，在，次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼

的高度是米.

12.分式方程工―一+7+6++的解是工=_

^+5

13.设m>0,-/7+3-7X-1=工，则代数式，z+3+〃工-1的值是(用"，灰示).

一____

14计算----遮土县----，最后得到

・计舁2+方+展+四2—不)一•/8+，12

15.从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n

4

边形对角线条数的一，那么此n边形的内角和为____.

9

16.某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这

种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么

人从感染第一个病毒后，经过分钟，就会感到不适.(1米=1()9纳米)

17・方程§有——组正整数解.

18.设a=3s0,6=4'°,c=5*,则a,b,c中最大的是，最小的是•

19.如图2,等腰4ABC中，AB=AC,P点在BC边上的高AD上，且一二

PD

BP的延长线交AC于E,若SMj5c=10,则，SADEC=.

图2

20.一个圆周上依次放有1,2,3,…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8),从它开始，先把

它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时

停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是或.

第十一讲初二数学竞赛训练

一、第十七届希望杯初二第一试B组填空题(每小题8分，共40分.每小题两个空，每空4分.)

21.某学校有小学六个年级，每个年级8个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年

级12个班.现要从中抽取27个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么小学每个

年级抽取个班，初中每个年级抽取个班.

22.矩形ABCD中，AB=2,AB/BC,其面积为S,则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为

或.

23.已知m,n,1都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385,则m+n+1的最大值是

,最小值是.

24.某工程的施工费用不得超过190万元.该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；若由

乙公司承担，需用30天，每天付费6万元.为缩短工期，决定由甲公司先工作m天，余下的工作由

乙公司完成，那么m=,完工共需要天.

25.将2006写成n(n>3)个连续自然数的和，请你写出两个表达式：

(1)；(2).

二、第十七届希望杯初二第二试

解答题(本大题共3小题，共40分.)要求：写出推算过程.

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