2016-2017学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

2016-2017学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）已知3x=5y（yWO）,则下列比例式成立的是（）

Ax_5ox_yrx_3D.A=Z

3y53y535

2.(3分)如图,在RtaABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,则cosA的值是（)

A.3B.4C.3D.4

5543

3.（3分）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得

到的抛物线的函数表达式为（）

A.y=（x+2）2-3B.y=（x+2）2+3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

4.（3分）如图，在^ABC中，DE〃BC,AD：AB=1：3,若4ADE的面积等于3,

则aABC的面积等于（）

A.9B.15C.18D.27

5.（3分）当m<-1时，二次函数y=（m+l）x2-1的图象一定经过的象限是（）

A.一、二B.三、四

C.一、二、三D.一、二、三、四

6.（3分）已知矩形的面积为10,它的一组邻边长分别x,y,则y与x之间的函

数关系用图象表示大致是（）

7.（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经

过圆心0,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径0C=5cm,弦

DE=8cm,则直尺的宽度为（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

8.（3分）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=4cm,若以点C为圆心,

以2cm为半径作。C,则AB与。C的位置关系是（）

A.

d

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

9.（3分）如图，A,B,C是。。上三个点，ZA0B=2ZB0C,则下列说法中正确

A.ZOBA=ZOCAB.四边形OABC内接于。0

C.AB=2BCD.ZOBA+ZBOC=90°

10.（3分）二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，那么一元二次方程

ax2+bx+c=m（aWO,m为常数且mW4）的两根之和为（）

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）已知扇形的圆心角为60。，半径是2,则扇形的面积为.

12.（3分）二次函数y=2（x+2）2-1的最小值是.

13.（3分）请写出一个开口向上，且过点（0,1）的抛物线的表达式.

14.（3分）如图，四边形ABCD内接于。O,若NBAD=110。,则NC的度数是

15.（3分）已知抛物线y=x2-2x-l,点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，

2个单位长度为半径作。P.当。P与x轴相切时，点P的坐标为.

16.（3分）在数学课上，老师提出如下问题：

如图，AB是。0的直径，点C在。。外，AC,BC分别与交于点D,E,请你

作出4ABC中BC边上的高.

小文说：连结AE,则线段AE就是BC边上的高.

老师说："小文的作法正确.”

请回答：小文的作图依据是

C

D

三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第

28题7分，第29题8分，共72分）

17.(5分)计算：cos30°+tan60°-2sin45°.

18.（5分）已知：如图，矩形ABCD中，E,F分别是CD,AD上的点，且BFJ_

AE于点M.求证：AB・DE=AE・AM.

19.（5分）已知抛物线的顶点坐标为（3,-4）,且过点（0,5）,求抛物线的

表达式.

20.（5分）某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方法有

很多种，其中一种方法是：如图，他们在C点测得教学楼AB的顶部点A的仰

角为30。，然后向教学楼前进20米到达点D,在点D测得点A的仰角为60。,

且B,C,D三点在一条直线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的

高度

21.（5分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与

旋转时间x（min）之间的关系如图2所示.

（1）根据图2填表:

x(min)036812

y(m)—————

（2）变量y是x的函数吗？为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.

v/m

图1

22.（5分）已知：如图,△ABC内接于。O,ZC=45°,AB=2,求。O的半径.

如图,在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y尸皿的图象与

X

一次函数y2=kx+b的图象交于点A（-4,-1）和点B（l,n）.

（1）求这两个函数的表达式；

（2）观察图象，当yi>y2时，直接写出自变量x的取值范围;

（3）如果点C与点A关于y轴对称，求aABC的面积.

24.（5分）已知：在四边形ABCD中，ZABC=90°,NC=60,AB=返，BC=l+«,

2

CD=2

(1)求tan/ABD的值;

(2)求AD的长.

25.（5分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市

场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关

系：y=-2x+80（20WxW40）.设这种健身球每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多

少元？

（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健

身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？

26.（5分）已知：如图，在^ABC中，AC=BC,以AC为直径的交AB于点D,

过点D作。0的切线交BC于点E.

（1）求证：DE1BC；

（2）若。。的半径为5,cosB=l,求AB的长.

27.（7分）阅读下面材料：

小敏遇到这一个问题：已知a为锐角，且tana=L,求tan2a的值.

2

小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含

锐角a的直角三角形：如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=a.她通

过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2a角的几种方法:

方法1：如图2,作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD.

方法2：如图3,以直线BC为对称轴，作出aABC的轴对称图形AABC.

方法3：如图4,以直线AB为对称轴，作出aABC的轴对称图形△ABC.

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2a的

值.(一种方法即可)

备用图

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若抛物线经过点A(m,yi),B(n,丫2),其中-4VmW-3,OVnWl,

则yiy2(用或">"填空)；

(3)如图，矩形CDEF的顶点分别为C(1,2),D(1,4),E(-3,4),F(-

3,2),若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点(包括矩形的顶点)，求a

的取值范围.

29.(8分)已知：△ABC中，AC=6,BC=8,AB=1O,点D是边AB上的一点，过

C,D两点的。。分别与边CA,CB交于点E,F.

(1)若点D是AB的中点,

①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)；

②如图2,连结EF,若EF〃AB,求线段EF的长；

③请写出求线段EF长度最小值的思路.

(2)如图3,当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是

2016-2017学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）已知3x=5y（yWO）,则下列比例式成立的是（）

A.B.A=XC.三D.—=X.

3y53y535

【分析】直接利用比例的性质得出x,y之间关系进而得出答案.

【解答】解：A、二=5,可以化成：xy=15,故此选项错误；

3y

B、—=X,可以化成：3x=5y,故此选项正确；

53

C、A=l,可以化成：5x=3y,故此选项错误；

y5

D、工工，可以化成：5x=3y,故此选项错误.

35

故选:B.

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键.

2.（3分）如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,则cosA的值是（）

A.1B.1C.WD..1

5543

【分析】根据余弦的定义计算即可.

【解答】解:在RgABC中，COSA=£=_1,

AB5

故选:B.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比

叫做NA的余弦是解题的关键.

3.（3分）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得

到的抛物线的函数表达式为（）

A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,再根据点平移的规律得到点

（0,0）平移后所得对应点的坐标为（-2,-3）,然后根据顶点式写出平移

后的抛物线解析式.

【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）向左平移1个单

位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2,-3）,所以平移后

的抛物线解析式为y=（x+2）2-3.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，

故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原

抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

4.（3分）如图，在aABC中，DE〃BC,AD：AB=1：3,若AADE的面积等于3,

则4ABC的面积等于（）

R

A.9B.15C.18D.27

【分析】由条件证明△ADEs^ABC,且相似比为L再利用相似三角形的性质

3

可求得4ABC的面积.

【解答】解：

VDE/7BC,

/.△ADE^AABC,

（）包）工

•S/kADEhAD2=2=

2AABC处39

SAADE=3,

.,.△ABC的面积=27,

故选：D.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于

相似比的平方是解题的关键.

5.（3分）当m<-1时，二次函数y=（m+l）x2-1的图象一定经过的象限是（）

A.一、二B.三、四

C.一、二、三D.一、二、三、四

【分析】先根据m<-1判断出m+1的符号，再由二次函数的图象与系数的关

系即可得出结论.

【解答】解：〈mV-1,

m+l<0,

...抛物线开口向下，

；-1<0,

...抛物线与y轴相交于负半轴，

...二次函数y=（m+1）x2-l的图象一定经过第三、四象限.

故选:B.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出m+1

的符号是解答此题的关键.

6.（3分）已知矩形的面积为10,它的一组邻边长分别x,y,则y与x之间的函

数关系用图象表示大致是（）

【分析】根据题意有：xy=10；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据X、

y实际意义x、y应大于0,其图象应在第一象限.

【解答】解：:矩形的面积为10,它的一组邻边长分别x,y,

xy=10,

：.y=H（x>0,y>0）.

X

故选:B.

【点评】此题考查了反比例函数的应用及图象，现实生活中存在大量成反比例函

数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后

利用实际意义确定其所在的象限.

7.（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经

过圆心0,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径0C=5cm,弦

DE=8cm,则直尺的宽度为（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】过点。作0FJ_DE,垂足为F,由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定

理即可得出0F的长

【解答】解：过点。作OFLDE,垂足为F,

：0F过圆心，

VDE=8cm,

；.EF」DE=4cm,

2

0C=5cm,

.*.0E=5cm,

•#,OF=VoE2-EF2=V52-42=3cm,

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再

根据垂径定理及勾股定理进行解答.

8.（3分）如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=4cm,若以点C为圆心，

以2cm为半径作G）C,则AB与。C的位置关系是（）

人

d

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

【分析】过C作CDLAB于D,根据含30。角的直角三角形性质求出AC、AD,根

据勾股定理求出CD,再根据直线和圆的位置关系得出即可.

［解答］解：C三B

过C作CDLAB于D,则NADC=NBDC=90。，

•.,Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=4cm,

.*.AC=lAB=2cm,ZA=60",

2

/.ZACD=30°,

AD=—AC=lcm,

2

在RtZ\ADC中，由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,

12+CD2=22,

解得：CD=&,

•.•以点C为圆心，以2cm为半径作。C,

，此时AB与。C的位置关系是相交，

故选：C.

【点评】本题考查了含30。角的直角三角形性质，勾股定理，直线和圆的位置关

系的应用，能求出CD的长和熟记直线和圆的位置关系的内容是解此题的关

键.

9.（3分）如图，A,B,C是。。上三个点，ZAOB=2ZBOC,则下列说法中正确

的是（）

c

A.ZOBA=ZOCAB.四边形OABC内接于（DO

C.AB=2BCD.ZOBA+ZBOC=90°

【分析】过。作OD±AB于D交。。于E,由垂径定理得到靠=熊，于是得到

AE=BE=BC＞推出AE=BE=BC,根据三角形的三边关系得到2BOAB,故C错误;

根据三角形内角和得到NOBA=L(180。-ZAOB)=90°-ZBOC,ZOCA=^(180°

22

-ZAOC)=90°-IZBOC,推出/OBAWNOCA,故A错误；由点A,B,C

2

在。。上，而点。在圆心，得到四边形OABC不内接于。0,故B错误；根据

余角的性质得到NOBA+NBOC=90。，故D正确;

【解答】解：过。作0D1AB于D交。。于E,

则熊前

，AE=BE,NAOE=NBOE=//AOB,

VZAOB=2ZBOC,

/.ZAOE=ZBOE=ZBOC,

AE=BE=BC，

；.AE=BE=BC,

A2BOAB,故C错误；

VOA=OB=OC,

，/OBA」(180°-ZAOB)=90°-ZBOC,

2

ZOCA=1(180°-ZAOC)=90°-W/BOC,

22

.•.NOBAWNOCA,故A错误；

•.•点A,B,C在。。上，而点。在圆心，

四边形OABC不内接于。0,故B错误；

VZBOE=ZBOC=J-/AOB,

2

VZBOE+ZOBA=90°,

.*.ZOBA+ZBOC=90o,故D正确;

故选：D.

【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正

确的作出辅助线是解题的关键.

10.（3分）二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，那么一元二次方程

ax2+bx+c=m（aWO,m为常数且mW4）的两根之和为（）

【分析】利用函数图象得到抛物线与x轴的两交点坐标为（-3,0）,（1,0）,

根据抛物线与x轴的交点问题得到ax2+bx+c=0的两根分别为xi=-3,X2=l,

则根据根与相似的关系得到卜=2,然后求一元二次方程ax2+bx+c-m=0的两根

a

之和.

【解答】解：・・•抛物线与x轴的两交点坐标为（-3,0）,（1,0）,

・••一元二次方程ax2+bx+c=O的两根分别为xi=-3,X2=l,

・。・-3+1=-A,即旦=2,

aa

...一元二次方程ax2+bx+c-m=0的两根之和=--=-2.

a

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c

是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）已知扇形的圆心角为60。，半径是2,则扇形的面积为.

一旦一

【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可.

2

【解答】解：由扇形面积公式得：S=60兀X2=2兀

3603

故答案为：2儿

3

【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n。，半径为r的扇形

2

的面积为s=a2LR_.

360

12.（3分）二次函数y=2（x+2）2-1的最小值是-1.

【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值.

【解答】解：由于（x+2）2对，

所以当x=-2时，（x+2）2取得最小值，

则二次函数y=2（x+2）2-1最小值为-1.

故答案为：-L

【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的

最小值即为函数的最小值.

13.（3分）请写出一个开口向上，且过点（0,1）的抛物线的表达式v=x2+l

等.答案不唯一.

【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0,1）,说明常数项

c=l.

【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为

y=x2+l等，答案不唯一.

故本题答案为：y=x2+l等.答案不唯一.

【点评】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系.关键是明确对称轴

的值与顶点横坐标相同.

14.（3分）如图，四边形ABCD内接于。O,若NBAD=110。，则NC的度数是70。.

D

4

7

【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可.

【解答】解：•••四边形ABCD内接于。0,

/.ZBAD+ZC=180°,

VZBAD=110°,

：.ZC=70°,

故答案为:70°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解

题的关键.

15.（3分）已知抛物线y=x2-2x-l,点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，

2个单位长度为半径作。P.当。P与x轴相切时，点P的坐标为（1,-2）,

（-1,2）,（3,2）.

【分析】。P的半径是2,OP与x轴相切，则P的纵坐标是2或-2,代入函数

解析式即可求得横坐标.

【解答］解:当y=2时，得:x2-2x-1=2,

解得：x=-1或3,

则P的坐标是（-1,2）或（3,2）；

当y=-2时，x2-2x-1=-2,

：.x=l,

则P的坐标是（1,-2）

则P的坐标是：（1,-2）,（-1,2）,（3,2）,

故答案是（1,-2）,（-1,2）,（3,2）.

【点评】本题考查了切线的性质，抛物线的性质，解一元二次方程，理解当OP

的半径是2,OP与x轴相切，则P的纵坐标是2或-2是解本题的关键，是

一道基础题目.

16.（3分）在数学课上，老师提出如下问题:

如图，AB是。0的直径，点C在。。外，AC,BC分别与。0交于点D,E,请你

作出4ABC中BC边上的高.

小文说：连结AE,则线段AE就是BC边上的高.

老师说："小文的作法正确."

请回答：小文的作图依据是直径所对的圆周角是直角或三角形的高的定义

【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论.

【解答】解：•••直径所对的圆周角是直角，

•••连结AE,则线段AE就是BC边上的高.

故答案为：直径所对的圆周角是直角或三角形高的定义.

【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知圆周角定理是解答此题的关键.

三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第

28题7分，第29题8分，共72分）

17.（5分）计算：cos30°+tan60°-2sin45".

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【解答】解：原式=返+«-2*返

_22

=2^1-72-

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

18.（5分）已知：如图，矩形ABCD中，E,F分别是CD,AD上的点，且BF_L

AE于点M.求证：AB«DE=AE«AM.

【分析】根据四边形ABCD是矩形可得出/BAD=ND=90。，再根据相似三角形的

判定定理可得出△ADEs^BMA,由相似三角形的对应边成比例即可得出结

论.

【解答】证明：•..四边形ABCD是矩形，

/.ZBAD=ZD=90°,

/.ZBAE+ZEAD=90°.

VBF±AE,

，NAMB=90°.

，NBAE+NABM=90°

AZEAD=ZABM,

VZD=ZAMB=90°,

/.△ADE^ABMA,

•••,AE.一D,E一一,

ABAM

；.AB・DE=AE・AM.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意得出AADES4

BMA是解答此题的关键.

19.(5分)已知抛物线的顶点坐标为(3,-4),且过点(0,5),求抛物线的

表达式.

【分析】设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(aWO),把h=3,k=-4以及

点(0,5),代入解析式即可得出答案.

【解答】解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(aWO),

•.•抛物线的顶点坐标是(3,-4),

.".y=a(x-3)2-4,

又「抛物线经过点(0,5).\5=a(0-3)2-4,

••3-1,

二次函数的表达式为y=(x-3)2-4,

化为一般式y=x2-6x+5.

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式即可，掌握二次函数的解

析式的三种形式是解题的关键.

20.(5分)某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方法有

很多种，其中一种方法是：如图，他们在C点测得教学楼AB的顶部点A的仰

角为30。，然后向教学楼前进20米到达点D,在点D测得点A的仰角为60。,

且B,C,D三点在一条直线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的

CDR

【分析】根据三角形的外角的性质求出NCAD=30。，根据正弦的定义计算即可.

【解答】解：如图，由已知，可得，

VZADB=60°,ZACB=30°,

/.ZCAD=30°,

/.ZCAD=ZACD,

/.CD=AD.

VCD=20,

.*.AD=20,

VZADB=60°,ZABD=90°

.•.sinNADB3=2Zl,

AD2

/.AB=10V3.

答：教学楼的高度为10«米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概

念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.(5分)图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与

旋转时间x(min)之间的关系如图2所示.

(1)根据图2填表：

x(min)036812

y(m)5705545

(2)变量y是x的函数吗？为什么？

(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.

图1

【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；

（2）利用函数的定义直接判断即可.

（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径.

【解答】解：（1）填表如下:

x(min)036812

y(m)5705545

（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，

所以y是x的函数；

（3）•••最高点为70米，最低点为5米，

...摩天轮的直径为65米.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模

型，难度不大.

22.（5分）已知：如图，Z^ABC内接于。。，ZC=45°,AB=2,求。。的半径.

【分析】连结OB,OA,根据圆周角定理得出NBOA=90。，再由勾股定理得出。0

的半径即可.

【解答】解：连结OB,OA,

VZBCA=45°,

，NBOA=90°,

VOB=OA,

/.ZOBA=ZOAB=45°,

VAB=2,

/.0B=0A=V2.

【点评】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半

是解题的关键.

23.(5分)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数yi=皿的图象与

X

一次函数y2=kx+b的图象交于点A(-4,-1)和点B(l,n).

(1)求这两个函数的表达式；

(2)观察图象，当yi>y2时，直接写出自变量x的取值范围；

(3)如果点C与点A关于y轴对称，求aABC的面积.

【分析】(1)把点A(-4,-1)代入反比例函数求出k的值，即可得出反比例

函数解析式；求出点B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数解析式；

(2)由题意得出函数yi的图象总在函数丫2的图象上方，即可得出结果；

(3)作BD1AC于点D,AABC的面积SAABC=1AC»BD,即可得出结果.

2

【解答】解：(1)•••函数yi=典的图象过点A(-4,-1),

X

••m=4，

...反比例函数解析式为：yi=a,

X

又•.•点B(1,n)在yi=&上，

x

，n=4,AB(1,4)

又：一次函数y2=kx+b过A,B两点，

・f-4k+b--l

,lk+b=4

解得:(k=1.

lb=3

...一次函数解析式为：y2=x+3.

(2)若yi>y2,则函数yi的图象总在函数yz的图象上方,

/.x<-4或0<xVl.

(3)作BD_LAC于点D,如图所示：

•••点C与点A关于y轴对称

，AC=8,BD=5,

.'.△ABC的面积SAABC=1AC*BD=1X8X5=20.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函

数与一次函数的解析式以及三角形面积的计算，也考查了观察函数图象的能

力.

24.(5分)已知：在四边形ABCD中，ZABC=90°,ZC=60,AB=返，BC=l+«,

2

CD=2

(1)求tan/ABD的值;

(2)求AD的长.

【分析】（1）作DE1BC,由NC=60。、CD=2知CE=1,DE=«,结合BC的长知

BE=DE,即NEDB=NEBD=45。，根据NABC=90。得NABD=45。，从而得出答案；

（2）作AF±BD,先求出BF=AF=1,根据BE=DE=«求得BD=&、DF=3^,

44

最后根据勾股定理可得答案.

【解答】解：（1）如图，作DE_LBC于点E.

V^ERtACDE中，ZC=60°,CD=2,

/.CE=1,DE=«,

BC=1+V3，

BE=V3.

:.BE=DE

VZDEB=90°,

/.ZEDB=ZEBD=45".

VAB±BC,ZABC=90°,

/.ZABD=ZABC-ZEBD=45°.

tanZABD=l.

(2)如图，作AFLBD于点F.

在RtAABF中，ZABF=45°,AB=返,

2

BF=AF=®

4

V^ERtABDE中，BE=DE=«,

BD=^/g.

...DF=35/6

4_

...在RtZ\AFD中，由勾股定理得：AD=1i.

2

【点评】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形要用到的关系①锐角

直角的关系：ZA+ZB=90°；②三边之间的关系：a?+b2=c2；③边角之间的

关系是解题的关键.

25.(5分)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市

场调查发现，该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关

系：y=-2x+80(20WxW40).设这种健身球每天的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多

少元？

(3)如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健

身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？

【分析】(1)用每件的利润(x-20)乘以销售量即可得到每天的销售利润，即

w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80),然后化为一般式即可；

(2)把(1)中的解析式进行配方得到顶点式y=-2(x-30)2+200,然后根据

二次函数的最值问题求解；

(3)求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程-2(x-30)2+200=150,

然后利用销售价不高于每件28元确定x的值.

【解答】解：(1)根据题意可得：w=(x-20)-y

=(x-20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600,

w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；

(2)根据题意可得：w=-2X2+120X-1600=-2(x-30)2+200,

。-2V0,.•.当x=30时,w有最大值.w最大值为200.

答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

(3)当w=150时，可得方程-2(x-30)2+200=150.

解得xi=25,X2=35.

•.•35>28,，X2=35不符合题意，应舍去.

答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25

元.

【点评】本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品

经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是

通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变

量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意

自变量x的取值范围.

26.(5分)已知：如图，在^ABC中，AC=BC,以AC为直径的。。交AB于点D,

过点D作◎。的切线交BC于点E.

(1)求证：DE1BC；

(2)若。。的半径为5,cosB=W,求AB的长.

5

【分析】(1)连接OD,由AC是。。的直径，得至UCDLAB,根据等腰三角形的

性质得到AD=BD,根据切线的性质即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到NA=NB,解直角三角形得到AC=10,于是得到

结论.

【解答】解：(1)连接OD,

「AC是。0的直径，

.\CD1AB,

VAC=BC,

；.AD=BD,

VAO=CO,

，OD〃BC,

VDE是。0的切线,

/.OD±DE,

ADElBC；

(2)VAC=BC,

；.NA=NB,

cosB=—,

5

••cosA="^",

5

VOO的半径为5,

/.AC=10,

；.AD=6,

/.AB=2AD=12.

【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练

掌握性质及定理是解本题的关键.

27.（7分）阅读下面材料：

小敏遇到这一个问题：已知a为锐角，且tana=L,求tan2a的值.

2

小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含

锐角a的直角三角形：如图1,在RtAABC中，ZC=90°,ZB=a.她通

过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2a角的几种方法：

方法：L：如图2,作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD.

方法2：如图3,以直线BC为对称轴，作出aABC的轴对称图形aABC.

方法3：如图4,以直线AB为对称轴，作出aABC的轴对称图形△ABC.

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2a的

值.（一种方法即可）

【分析】根据勾股定理和解直角三角形的解法解答即可.

•••线段AB的垂直平分线BC交于点D,

AD=BD,

.'.Z1=ZB,

*.*Z'B=a,

N2=N1+NB=2a,

在RQABC中，ZC=90°,tana」，

2

•AC1

•-z:-，

BC2

设AC=k,DC=x,贝ljAD=BD=2k-x,

在RgADC中，NC=90。，由勾股定理得，k2+x2=(2k-x)2,

解得：

4

.“ACk4

.•tan2a=cc=c,­

DC3k3

V

【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据勾股定理解答.

28.(7分)已知：抛物线y=ax?+4ax+4a(a>0)

备用图

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若抛物线经过点A(m,yi),B(n,72))其中-4VmW-3,OVnWl,