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文档简介
广东省汕头市名校2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知、是平面上两个不共线的向量,则下列关系式:①;②;③;④.正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.12.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上的所有的点()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位3.若,且,,则()A. B. C. D.4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.5.如图,直角的斜边长为2,,且点分别在轴,轴正半轴上滑动,点在线段的右上方.设,(),记,,分别考察的所有运算结果,则()A.有最小值,有最大值 B.有最大值,有最小值C.有最大值,有最大值 D.有最小值,有最小值6.已知函数向左平移个单位长度后,其图象关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.7.设集合,,则()A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中,,分别是轴和轴上的动点,若直线恰好与以为直径的圆相切,则圆面积的最小值为()A. B. C. D.9.在正四棱柱,,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.10.点直线与线段相交,则实数的取值范围是()A. B.或C. D.或二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.设数列满足,,,,______.12.数列满足,则等于______.13.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表所示(单位:人).参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学,则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.14.方程的解集是__________.15.函数的定义域________.16.在中,,,,则的面积是__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.2015年我国将加快阶梯水价推行,原则是“保基本、建机制、促节约”,其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变.为响应国家政策,制定合理的阶梯用水价格,某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研,抽取的数据的茎叶图如下(单位:吨):(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户,求其年人均用水量都不超过30吨的概率;(2)设该城市郊区和城区的居民户数比为,现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户,并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变.试根据样本估计总体的思想,分析此方案是否符合国家“保基本”政策.18.已知分别是数列的前项和,且.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和.19.请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍,如图,在学校的东北力有一块地,其中两面是不能动的围墙,在边界内是不能动的一些体育设施.现准备在此建一栋教学楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的空地,问如何设计,才能使教学楼的面积最大?20.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求内角B的大小;(2)设,,的最大值为5,求k的值.21.已知数列满足若数列满足:(1)求数列的通项公式;(2)求证:是等差数列.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】
根据数量积的运算性质对选项进行逐一判断,即可得到答案.【详解】①.,满足交换律,正确.②.,满足分配律,正确.③.,所以不正确.④.,
,可正可负可为0,所以④不正确.故选:C【点睛】本题考查向量数量积的运算性质,属于中档题2、D【解析】
把系数2提取出来,即即可得结论.【详解】,因此要把图象向右平移个单位.故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换.要注意平移变换是加减平移单位,即向右平移个单位得图象的解析式为而不是.3、B【解析】
利用两角和差的正弦公式将β=α-(α﹣β)进行转化求解即可.【详解】β=α-(α﹣β),∵<α,<β,β<,∴α,∵sin()0,∴<0,则cos(),∵sinα,∴cosα,则sinβ=sin[α-(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)-cosαsin(α﹣β)(),故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系,将β=α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键,是基础题4、C【解析】
根据三视图还原直观图,根据长度关系计算表面积得到答案.【详解】根据三视图还原直观图,如图所示:几何体的表面积为:故答案选C【点睛】本题考查了三视图,将三视图转化为直观图是解题的关键.5、B【解析】
设,用表示出,根据的取值范围,利用三角函数恒等变换化简,进而求得最值的情况.【详解】依题意,所以.设,则,所以,,所以,当时,取得最大值为.,所以,所以,当时,有最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算,考查三角函数化简求值,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.6、A【解析】
根据函数的图象变换规律,三角函数的图象关于轴对称,即为偶函数.,求得的最小值.【详解】把函数向左平移个单位长度后.可得的图象.再根据所得图象关于轴对称,即为偶函数.所以即,当时,的值最小.所以的最小值为:故选:A【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,属于基础题.7、C【解析】分析:利用一元二次不等式的解法化简集合,由子集的定义可得结果.详解:,,,故选C.点睛:本题主要考查解一元二次不等式,集合的子集的定义,属于容易题,在解题过程中要注意考虑端点是否可以取到,这是一个易错点,同时将不等式与集合融合,体现了知识点之间的交汇.8、A【解析】
根据题意画出图像,数形结合,根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离,再求解圆面积即可.【详解】根据题意画出图像如图所示,圆心为线段中点,为直角三角形,所以,作直线且交于点,直线与圆相切,所以,要使圆面积的最小,即使半径最小,由图知,当点、、共线时,圆的半径最小,此时原点到直线的距离为,由点到直线的距离公式:,解得,所以圆面积的最小值.故选:A【点睛】本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用,考查学生分析转化能力和数形结合的思想,属于中档题.9、A【解析】
作出两异面直线所成的角,然后由余弦定理求解.【详解】在正四棱柱中,则异面直线与所成角为或其补角,在中,,,.故选A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形求之.10、C【解析】
直线经过定点,斜率为,数形结合利用直线的斜率公式,求得实数的取值范围,得到答案.【详解】如图所示,直线经过定点,斜率为,当直线经过点时,则,当直线经过点时,则,所以实数的取值范围,故选C.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题,以及直线的斜率公式的应用,着重考查了数形结合法,以及推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、8073【解析】
对分奇偶讨论求解即可【详解】当为偶数时,当为奇数时,故当为奇数时,故故答案为8073【点睛】本题考查数列递推关系,考查分析推理能力,对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键,是难题12、15【解析】
先由,可求出,然后由,代入已知递推公式即可求解。【详解】故答案为15.【点睛】本题考查是递推公式的应用,是一道基础题。13、【解析】
直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【点睛】本题考查了概率的计算,属于简单题.14、【解析】
令,,将原方程化为关于的一元二次方程,解出得到,进而得出方程的解集.【详解】令,,故原方程可化为,解得或,故而或,即方程的解集是,故答案为.【点睛】本题主要考查了指数方程的解法,转化为一元二次方程是解题的关键,属于基础题.15、.【解析】
根据反正弦函数的定义得出,解出可得出所求函数的定义域.【详解】由反正弦的定义可得,解得,因此,函数的定义域为,故答案为:.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域,解题的关键就是正弦值域的应用,考查运算求解能力,属于基础题.16、【解析】
计算,等腰三角形计算面积,作底边上的高,计算得到答案.【详解】,过C作于D,则故答案为【点睛】本题考查了三角形面积计算,属于简单题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)符合【解析】
:(1)先列举出从5户郊区居民用户中随机抽取2户,其年人均用水量构成的所有基本事件,再列举其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件,最后计算即可.(2)设该城市郊区的居民用户数为,则其城区的居民用户数为5a.依题意计算该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率.【详解】解:(1)从5户郊区居民用户中随机抽取2户,其年人均用水量构成的所有基本事件是:(19,25),(19,28),(19,32),(19,34),(25,28),(25,32),(25,34),(28,32),(28,34),(32,34)共10个.其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:(19,25),(19,28),(25,28)共3个.设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户,其年人均用水量都不超过30吨”的事件为,则所求的概率为.(2)设该城市郊区的居民用户数为,则其城区的居民用户数为5a.依题意,该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为:.故此方案符合国家“保基本”政策.【点睛】本题考查了古典概型在实际生活中的应用,要紧扣题意从题目中抽象出数学计算的模型.18、(1),,(2)【解析】
(1)分别求出和时的,,再检验即可.(2)利用错位相减法即可求出数列的前项和【详解】(1)当时,,当时,.检验:当时,,所以.因为,所以.当时,,即,当时,整理得到:.所以数列是以首项为,公差为的等差数列.所以,即.(2)…………①,……②,①②得:……,,.【点睛】本题第一问考查由数列前项和求数列的通项公式,第二问考查数列求和中的错位相减法,属于难题.19、在线段上取点,过点分别作墙的平行线,建一个长、宽都为17米的正方形,教学楼的面积最大【解析】
可建立如图所示的平面直角坐标系,根据截距式写出AB所在直线方程,然后可设G点的坐标为,再根据题目中的要求可列出教学楼的面积的表达式,,然后利用一元二次函数求最值即可.【详解】解:如图建立坐标系,可知所在直线方程为,即.设,由可知.∴.由此可知,当时,有最大值289平方米.故在线段上取点,过点分别作墙的平行线,建一个长、宽都为17米的正方形,教学楼的面积最大.【点睛】本题考查一元二次函数求最值解决实际问题,属于中档题20、(1),(2)【解析】
解:(1)(3分)又在中,,所以,则………(5分)(2),.………………(
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