内蒙古师大锦山实验中学2024届高一下数学期末联考模拟试题含解析

内蒙古师大锦山实验中学2024届高一下数学期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]2．在中，已知是边上一点，，，则等于（）A． B． C． D．3．两数与的等比中项是（）A．1 B．－1 C．±1 D．4．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．5．设,,,则（）A． B． C． D．6．函数的周期为（）A． B． C． D．7．设等比数列的前项和为，且，则（）A． B． C． D．8．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．10．中，则A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在正方体中，是的中点，连接、，则异面直线、所成角的正弦值为_______.12．_________________．13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.14．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.15．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积．16．如图所示，梯形中，，于，，分别是，的中点，将四边形沿折起（不与平面重合），以下结论①面；②；③．则不论折至何位置都有_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设，将表示成的函数；（ii）设，将表示成的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.18．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点，点.（1）若点，求的值：（2）若，求.19．在中，角对应的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的取值范围.20．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.21．已知直线与直线的交点为P，点Q是圆上的动点.（1）求点P的坐标；（2）求直线的斜率的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：利用对数函数的性质求解．解：函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域满足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域是（﹣∞，1）．故选C．考点：对数函数的定义域．2、A【解析】

利用向量的减法将3，进行分解，然后根据条件，进行对比即可得到结论【详解】∵3，∴33，即43，则，∵λ，∴λ，故选A．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键．3、C【解析】试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1考点：等比中项4、C【解析】

根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.【详解】在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;根据向量的三角形法,,故C错误;故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.5、B【解析】

根据与特殊点的比较可得因为,,,从而得到,得出答案.【详解】解:因为,,,所以.故选:B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如,,.6、D【解析】

利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的周期公式即可求解.【详解】，函数的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.7、C【解析】

由，，联立方程组，求出等比数列的首项和公比，然后求．【详解】解：若，则，显然不成立，所以．由，，得，，所以，所以公比．所以．或者利用，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式的应用，要求熟练掌握，特别要注意对公比是否等于1要进行讨论，属于基础题．8、A【解析】因为，，且，即，所以.故选A.9、D【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性10、B【解析】试题分析：由余弦定理，故选择B考点：余弦定理二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

作出图形，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，推导出，并证明出，可得出异面直线、所成的角为，并计算出、，可得出，进而得解.【详解】如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，为的中点，则，，且，为的中点，，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，所以，异面直线、所成的角为，在中，，，.因此，异面直线、所成角的正弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.12、3【解析】

分式上下为的二次多项式,故上下同除以进行分析.【详解】由题,,又,故.

故答案为：3.【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当时,13、【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．14、14【解析】

直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.【详解】平均数，方差.故答案为：14【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.15、【解析】试题分析：由题可知，；考点：扇形面积公式16、①②【解析】

根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假．【详解】作出折起后的几何图形，如图所示：．因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以．而面，所以面，①正确；无论怎样折起，始终有，所以面，即有，而，所以，②正确；折起后，面，面，且，故与是异面直线，③错误．故答案为：①②．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水厂设在与直线距离处【解析】

（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；（2）设，，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：（1）（i）设中点，则，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）设，，则，，当，即时，取最小值，∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．18、(1)(2)【解析】

（1）根据计算，，代入公式得到答案.（2）根据,得到，根据计算得到答案.【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上，所以，，，∴（2）因为，所以，且，所以，，可得：，且，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.19、（1）；（2）.【解析】

（1）依照条件形式，使用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出，从而得出角的值；（2）先利用余弦定理找出的关系，再利用基本不等式放缩，求出的取值范围．【详解】（1）由及正弦定理得，，由余弦定理得，又，所以（2）由及，得，即所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式条件下的取值范围问题，第二问也可以采用正弦定理化边为角，利用“同一法”求出的取值范围．20、（1）（2）见解析【解析】

（1）先利用时，由求出的值，再令，由，得出，将两式相减得出数列为等比数列，得出该数列的公比，可求出；（2）利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式得出，并将裂项为，利用裂项法求出，于此可证明出所证不等式成立.【详解】（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2），则，所以因为，所以，即证.【点睛】本题考查利用求通项，以及裂项法求和，利用求通项的原则是，另外在利用裂项法求和时要注意裂项法求和法所适用数列通项的基本类型，熟悉裂项法求和的基本步骤，都是常考题型，属于中等题．