10.5用二元一次方程组解决问题（原卷版）

10.5用二元一次方程组解决问题行程问题速度×时间=路程.顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）流速度.逆水（风）速度=静水（水）速度-水（风）流速度.同时不同地相向运动的相遇问题：路程和=速度和×时间同时不同地同向运动的追及问题：路程差=速度差×时间同时同地同向运动的环形跑道问题：路程差=n×一圈周长（n代表第n次相遇）行程问题工作总量＝工作效率×工作时间（在没有明确工作总量的前提下，通常把工作总量看做单位“1”）各部分劳动量之和＝工作总量.利润问题商品利润＝商品售价－商品进价，.实际售价=商品标价×折数数字问题通常一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为100a+10b+c,依此类推。方案选择问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如人员的分配、旅游购票等。配套问题不同部分的加工总量成一定比例。（比如螺母螺帽问题）题型1：行程问题1．小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．（1）两人的速度分别是多少？（2）相遇后小梁多少时间到达A地？【变式1-1】甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式1-2】A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．如果两车同时开出相向而行，3小时相遇；如果两车同时开出同向（沿BA方向）而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度．【变式1-3】列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？题型2：工程问题2.阅读理解：为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．（1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：x+y=()24x+16y=()，乙：x+y=()根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示；（2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【变式2-1】现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲队每天清理10米，乙队每天清理8米，两队共用时10天，则甲、乙工程队各清理了几天？题型3：利润问题3.某校八年级为了奖励在“诗词大赛”中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒．甲、乙两种盲盒原来的单价和为25元．因市场变化，甲种盲盒降价20%，乙种盲盒提价20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了4%．甲、乙两种盲盒原来的单价各是多少元？【变式3-1】直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？【变式3-2】某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？【变式3-3】某中学用1000元资金为全校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共350个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价（元/个）销售价（元/个）普通医用口罩0.82N95口罩48（1）该校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？（2）销售完这350个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？题型4：数字问题4.已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组．【变式4-1】一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多15题型5：方案选择问题5.为发展校园足球运动，我市四校决定联合购买一批足球运动装备．经市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多60元，5套队服与8个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是购买队服超过80套，则购买足球打8折．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）若这四所学校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．（3）在（2）的条件下，若a＝70，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．【变式5-1】某药店出售A、B两种N95的口罩，已知该店进货4个A种N95口罩和2个B种N95口罩共需22元，进货8个A种N95口罩所需费用比进货4个B种N95口罩所需费用多4元．（1）请分别求出A、B两种N95口罩的进价是多少元？（2）已知药店将A种N95口罩每个提价1元出售，B种N95口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种N95口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？【变式5-2】五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？【变式5-3】某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人：现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少学生？（2）请你帮学校设计出所有的租车方案．题型6：配套问题6.某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？【变式6-1】一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？【变式6-2】一套仪器由2个A部件和3个B部件构成，用2立方米钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用10立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件、B部件，恰好配成这种仪器多少套？题型7：几何问题7.如图所示，某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为228米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形．（1）小长方形的长和宽分别为多少米？（2）计划在空地上种各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价200元，经计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【变式7-1】小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．【变式7-2】“争创文明城市，建设美丽太原”．某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元．（1）小长方形的长和宽各是多少米？（2）请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？一．选择题（共6小题）1．一个学习小组共有x个学生，分为y个小组．若每组5人，则余下3人；若每组6人，则有一组少3人，则可得方程组（）A．5x+3=y6x-3=y B．5y=x+3C．5y=x+36y=x+3 D．2．把一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，所得的新两位数比原数大9，则符合条件的两位数的个数是（）A．7 B．8 C．9 D．103．一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（）A．16道 B．17道 C．18道 D．19道4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米5．一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（）A．26 B．62 C．71 D．536．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，则阴影部分图形的总面积为（）cm2A．27 B．29 C．34 D．36二．填空题（共6小题）7．关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说．相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井并有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方，如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则x﹣y＝．8．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种．9．元旦期间，綦江区新世纪超市对三种风味的酸奶（红枣味、果蔬味、菠萝味）进行A、B、C三种套餐的促销活动．已知A种套餐由2盒红枣味、4盒果蔬味、5盒菠萝味搭配而成；B种套餐由4盒红枣味、8盒果蔬味、9盒菠萝味搭配而成；C种套餐由3盒红枣味、6盒果蔬味、8盒菠萝味搭配而成，每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A种套餐需32元，那么小明同学要买2个A种套餐、1个B种套餐和2个C种套餐共需费用元．10．某销售商国庆节期间销售阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的数量之比2：1：1，阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的单价之比为1：3：4．十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中阿尔卑斯种糖果增加的营业额占总增加的营业额的715，此时，阿尔卑斯种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3：8，为使十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为3：4，则十一月份不二家糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为11．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛斛米．12．我国古代的数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有人共买物，人出七，盈二；人出六，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱：若每人出6钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”，根据问题情境可计算出购买物品的共有人．三．解答题（共6小题）13．2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？14．某校八年级为了奖励在“诗词大赛”中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒．甲、乙两种盲盒原来的单价和为25元．因市场变化，甲种盲盒降价20%，乙种盲盒提价20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了4%．甲、乙两种盲盒原来的单价各是多少元？15．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的