2013高中数学精讲精练 三角函数B

2013高中数学精讲精练三角函数B

第5课三角函数的图像和性质(一)

【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在［0,2万］,正切函数

在(-工TT，工TT)上的性质;

22

2.了解函数y=Asin((yx+°)的实际意义，能画出y=Asin(<yx+Q)的图像;

3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

【基础练习】

1.已知简谐运动/(x)=2sin(工x+e)(|同<^)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期

37c2

T=6；初相(p=6.

71

7C，*［xX=2k7T±—,kGZ}

2.三角方程2sin(——x)=l的解集为_____________3_______.

2

TT

3.函数y=Asin(cox+(p)(co>0,|可<5,X£R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

y=-4sin(—x+—)

-84.

4.要得到函数y=sinx的图象,个单位.

【范例解析】

例1.已知函数/(x)=2sinx(sinx+cosx)•

(I)用五点法画出函数在区间「_工,2］上的图象，长度为一个周期；

_22_

(II)说明/(x)=2sinx(sinx+cosx)的图像可由y=sinx的图像经过怎样变换而得到.

分析：化为Asin(Gx+°)形式.

解(I)由/(x)=2sin2x+2sinxcosx=1—cos2x+sin2x

=1+V2(sin2x-cos--cos2xsin—)=1+V2sin(2x--)•

444

列表，取点，描图:

故函数y

TTTT

（II）解法一：把y=sinx图像上所有点向右平移J个单位，得到y=sin（x—勺）的图像，再把

44

y=sin（x—?）的图像上所有点的横坐标缩短为原来的!（纵坐标不变），得到y=sin（2x-^）的图像，

然后把y=sin（2x--）的图像上所有点纵坐标伸长到原来的血倍（横坐标不变），得到

4

y=J5sin（2x—2）的图像，再将y=JIsin（2x—工）的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

44

y-1+&sin（2x—巴）的图像.

4

解法二：把〉=5山》图像上所有点的横坐标缩短为原来的g（纵坐标不变），得到y=sin2x的图像，再

把y=sin2x图像上所有点向右平移1个单位，得至Uy=sin（2x—j的图像，然后把y=sin（2x—彳）的

图像上所有点纵坐标伸长到原来的J5倍（横坐标不变），得到y=J^sin（2x-石）的图像，再将

4

y=V2sin（2x一2）的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y=1+/sin（2x一2）的图像.

44

例2.已知正弦函数y-Asin（3x+e）（A>0,3>0）的图像如右图所示.

（1）求此函数的解析式工（x）；

（2）求与力（x）图像关于直线x=8对称的曲线的解析式力（外；

（3）作出函数y=£（x）+力（x）的图像的简图.

（2）设函数力（x）图像上任一点为V（x,y）,与它关于直线x=8对称的对称点为V'（x',y'）,

代入最

高点或最低点求（p.

【反馈演练】

1.为了得到函数y=2sin《+令,xeR的图像，只需把函数y=2sinx,xeR的图像上所有的点

①向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的』倍（纵坐标不变）：

63

②向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的,倍（纵坐标不变）；

63

③向左平移出个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；

6

④向右平移工个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.

6

其中，正确的序号有____®

2.为了得到函数y=sin（2x—三）的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移_4_个单位长度.

63

3.若函数/（x）=2sin（0x+0）,xeR（其中。>0,附<二）的最小正周期是兀，且/（0）=6，则

n2

87一；9=——一•但为

4.在（0,21）内，使sinx>cosx成立的x取值范围为4J.

5.下列函数：

®y=sin^x+^；（g）y=sin2x-5］；

（§）y=cos^4x-yj；④〉=cos（2x-5］.

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有④

6.如图，某地■天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=4sin（5+9）+/?

（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段时间的函数解析式.

解（1）由图示，这段时间的最大温差是30-10=20℃

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(©r+夕)+/?的半个周期

12471

・・・_1.一=14一6,解得。=2

2co8

由图示，4=4(30—10)=10&=-(10+30)=20

22

7T

这时，y-10sin(—x+°)+20

8

37r

将％=6,y=10代入上式，可取夕=

TT37r

综上，所求的解析式为y=10sin(wx+q-)+20(xe[6,14])

7.如图，函数〉=235（。*+6）。€11,0文足）e］）的图象与y轴相交于点（0,、Q）,且该函数的

最小正周期为兀.

（1）求。和。的值；

第7题

解(1)将x=0,y=G代入函数y=2cos(0x+6)得cos8=等，

ITTV

因为OW窃所以9=2.

26

又因为该函数的最小正周期为兀，所以。=2,

因此y=2cos[2x+g

Q*o，＞o）是PA的中点，%=¥，

（2）因为点A[],。卜

所以点尸的坐标为

又因为点P在y=2cos2x+邻勺图象上，所以cos

因为二兀，所以—型—,

2666

口“，/5兀11兀小，57113K

从而得r4x-----=——或4%------=——・

0°6666

即为号或为=年・

第6课三角函数的图像和性质（二）

【考点导读】

1.理解三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的性质，进一步学会研究形如函数y=Asin(cyx+e)的

性质；

2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究.

【基础练习】

1.写出下列函数的定义域：

(1)y=《sin：的定义域是乃WxW64%+3;r,AeZ｝；

(2),二垩生的定义域是C上竺拦由三L

COSX--

2.函数/(x)=Isinx+COSxI的最小正周期是乃.

22

3.函数fG=(s)n«+--sinx--的最小正周期是冗.

44

冗(_Q)

4.函数片sin(2x+—)的图象关于点____3j_______对称.

3

TT7T

5.已知函在(一万，—)内是减函数，则6)的取侑范围是一1，0<0.

【范例解析】

例1.求下列函数的定义域：

(1)y=s'11”+>2sinx+l；(2)y=/2+log,x+Vtanx.

-tanxvr

XNk兀H,x。攵)+一,

22

解<tanxw0,即vxwki,

2sinx+l>0.

2k兀~—<x<2k7t+—.

、66

jr77r71

故函数的定义域为｛x2k7T--<x<2k7i+—^x^k7V,k7i+—,keZ]

2+log[x>0,p<x«4,

(2)5即《

tanx>0,k7i<x<k7c-\-

TT

故函数的定义域为(0,一)。[4,4].

2

点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第(2)问可用数轴取交集.

例2.求下列函数的单调减区间:

712cosx

(1)y=sin(y-2x)；(2)y

7TJTTTTTjTT

解(1)因为2攵乃---<----2x<2k7r+—,故原函数的单调减区间为伙乃-----,k兀+二—](kGZ).

2321212

jc

(2)由sin(工一2)±0,得{xxw2k万+,,kEZ},

42

c2cosx...x71、

又丁=-----------=4sin(—+—),

.//24

42

7tx7t37r7t54

所以该函数递减区间为2k兀H—<—I—<2k兀H---，即(4k14—,4&乃H---)(kGZ).

224222

点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制.

例3.求下列函数的最小正周期:

71

(1)y=|5tan(2x+l)|；(/一2)、y=sinx-\——sin(x+/

I3

解(1)由函数y=5tan(2x+l)的最小正周期为£得y=|5tan(2x+l)|的周期T='

(2)y=sin(x+y)sin(x+])=(sinxcosy+cosxsiny)cosx

1.V31..V31+cos2x

=­sinxcosxH-c-o-s2x=—sin2x-\-------------

22422

—+-sin(2x+-)T—71.

423

点评：求三角函数的周期一般有两种:(1)化为Asin(Gx+°)的形式特征，利用公式求解；(2)利用函

数图像特征求解.

【反馈演练】

7T

2

1.函数y=sin4％+cos?x的最小正周期为.

/qr£生］rl£生］

2.设函数/(%)=sinx+yJ(xeR),则/(x)在［0,2万］上的单调递减区间为6'36'3.

3.函数/(x)=sinx-百COSX(XE［-肛0］)的单调递增区间是6J.

2%

4.设函数/(x)=sin3x+lsin3xl,则fG)的最小正周期为《一.

Y\—

5.函数/(x)=cos2X-2cos2-在［0,上的单调递增区间是3'.

1+V5cos(2工一巴)

6.已知函数/(X)=------/'J.

g+方

(I)求/(x)的定义域；

3

(II)若角a在第一象限且cosa,求/(a).

解(I)由sin[x+]jw0得无w—]+女兀，即xw攵兀一T(女£Z).

故/‘(X)的定义域为R欣-曰，

(II)由已知条件得sina=，1一cos2a=J1一=1.

1+V2COS

从而/(a)=---------1

.(兀

sina+一

I2

1+V2cos2acos一4sin2asin—

I44

cosa

1+cos2a+sin2a_2cos2a+2sinacosa

cosacosa

=2(cosa+sina)=?

TT

7.设函数/(x)=sin(2x+<p)(-兀<(p<0\y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=—,

8

(I)求*;

(II)求函数y=/(x)的单调增区间；

(1H)画出函数y=/(x)在区间［0,7］上的图像.

-TTjr

解：(I),・,x=—是函数y=/的)的图像的对称轴，sin(2x-+0)=±1,

88

JI兀3冗

—\-(P—k/rH—,keZ.*.*—兀<0<0,0=------.

424

37737r

(II)由(I)知e=-乙，因此y=sin(2x——).

44

7T3/71

由题意得2%万一乙428一二42左万+—«eZ.

242

所以函数y=sin(2x—至)的单调增区间为内乃+工，攵乃+包］，4eZ.

488

37r

(III)由y=sin(2x-q-)知

713兀5万7乃

X071

ITT~8~

_V2

y_也-1010

2

故函数y=/(x)在区间［0,加上图像是

第7课三角函数的值域与最值

【考点导读】

1.掌握一:角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；

2.求三角函数值域与最值的常用方法：(1)化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性

求解；(2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；(3)借助直线的斜

率的关系用数形结合求解；(4)换元法.

【基础练习】

1.函数y=sinx+Gcosx在区间［0,工］上的最小值为_____1_____.

23

］一

2.函数/(x)=cosx--cos2x(xeR)的最大值等于4.

3.函数y=tan(y—x)(—(wxA?且XHO)的值域是.

2

w八兀心十皿、l+cos2x+8sinx^江

4,当0cxe一时，函数/(X)=---------;-------------的最小值为4.

2sin2x

【范例解析】

例L(1)已知sinx+siny=；,求siny-cos?x的最大值与最小值.

(2)求函数y=sinx・cosx+sinx+cosx的最大值.

分析：可化为二次函数求最值问题.

12

解(1)由已知得：siny=--sinx,vsinyG[-1,1]，贝Usinx.

siny-cos2x=(sinx--)2--,当sinx='时，siny-cos2x有最小值一U；当sinx=--时,

2122123

4

siny-cos2x有最小值一.

(2)设sinx+cosx=f(—行<，<也)，则sin%•cos叶=则y=—广+f—i当『=5/2时，y

’2"22J

有最大值为

2

点评：第(1)小题利用消元法，第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变

量的取值范围.

例2.求函数y=2-COS-(0<X<7T)的最小值.

sinx

分析：利用函数的有界性求解.

____c

解法一：原式可化为ysinx+cosx=2(0<x<?r),得Jl+丁sin(x+/)=2,即sin(x+(p)=——=

J1+V

故-2一4］,解得)，2月或yW—6(舍)，所以y的最小值为6.

71+/

解法二：y--~竺土(0<x<乃)表示的是点A(0,2)与B(-sinx,cosx)连线的斜率，其中点B在左半圆

sinx

/+户=1(。<0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时心8=百，所以y的最小值为6.

点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解.

例3.已知函数/(x)=2sin2(E+xj-JJcos2x,xe.

(I)求/(x)的最大值和最小值；

(II)若不等式|/(x)-同<2在xw氏万上恒成立，求实数机的取值范围.

分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinx+/?cosx形式.

解⑴.."叫…'明岳。s2E+sg一任皿

=l+2sin(2x-；).

又竺一］,.,，嘤算———,即2WW2sin(2x—色］3,

|_42」633I3)

，/(X)max=3,/(X)min=2.

(II)V|/(x)-m|<2<=>/(x)-2<m<f(x)+2,xe,

.,.机>/L-2且加<f(x)min+2,

1<m<4,即加的取值范围是(1,4).

点评：第(II)问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题.本小题主要考查

三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.

【反馈演练】

TT7T

1.函数y=2sin(——x)-cos(—+x)(xe/?)的最小值等于一1

36

jrCOS"X

2.当0<X<2时，函数-----.一的最小侑是.4.

4cosxsinx-sinx

V3_V［

3.函数v=si"'的最大值为丁，最小值为3.

cosx+2

4.函数y=cosrtan尤的值域为(一】」).

3

TTTT

5.已知函数/(工)=25泣8(0>0)在区间一上的最小值是一2,则0的最小值等于2

6.已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR.

(I)求函数/(x)的最小正周期；

7T37r

(H)求函数/(X)在区间_,y上的最小值和最大值.

解(I)/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l=sin2x-cos2x=0sin2x--.

\4J

因此，函数/(x)的最小正周期为兀.

(II)因为/(幻=岳山国-0在区间［型一］上为增函数，在区间—■?—上为减函数，又

故函数/(x)在区间上的最大值为行，最小值为-1.

第8课解三角形

【考点导读】

1.掌握正弦定理，余弦定理，井能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形;

2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实

施边和角互化.

【基础练习】

1.在△ABC中，已知BC=12,4=60°,B=45°,则AC=4娓.

n

2.在A46C中，若sinA:sin6:sinC=5:7:8,则N8的大小是—3

V10

3.在△A8C中，若tanA=1，C=150°,BC=\,则A8=~F

3

【范例解析】

3

例1.在^ABC中，a,b,C分别为/A,ZB,NC的对边，已知a+c=20,C=2A,cosA=-.

4

(1)求上的值；(2)求人的值.

a

分析：利用C=2A转化为边的关系.

“/、人csinCsin2A八43

解(1)由-=-----=------=2cosA=-.

asinAsinA2

a+c=20,<

(2)由3得<“’.由余弦定理/=/+<?2-28ccosA

一==.c=12.

[a2i

得：Z?2-18/>+80=0,解得：〃=8或b=10,

若。=8,则A=B,得4=工，即COSA=EH3矛盾，故匕=10.

424

点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论.

例2.在三角形ABC中，已知(42+/?2/皿4-8)=32—/?2)411(4+6),试判断该三角形的形状.

解法一：(边化角)由已知得:a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=Z>2[-sin(A-B)-sin(A+B)],

化简得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,

由正弦定理得：sin2AcosAsinB-sin25cosBsinA,即sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)-0,

又A,8£(0,兀),sin4•sin8w0,sin2A=sin2B.

又2A,25£(0,2»),.・.2A=28或2A=TF-2B,即该三角形为等腰三角形或直角三角形.

解法二：(角化边)同解法一得：2/cosAsinB=2h2cosBsinA,

..入在—工”曰27b2+c2_&2a2+c2-b2

由正余弦定理得：cTb--------------=b“a--------------,

2bc2ac

整理得:(,a2-b2)(c2-a2-b2)=O,即a=b或c?=/+/,

即该三角形为等腰三角形或直角三角形.

点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状.

例3.如图，D是直角△ABC斜边8C上一点，AB=AD,记/CAD=a,ZABC=/3.

(1)证明：sina+cos22=0；

(2)若AC=6DC,求夕.

分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.

TTTT

(1)证明：♦:B=a+C,C=--B,=-+

sina+cos2尸=0

(2)解：•・•AC=6DC,sin/?=V3sina=-y/3cos2J3=273sin2-V3.

Pe(0,,/.sin/?=

点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出，的值.

【反馈演练】

1.在A48c中，43=当,4=45°,。=75°,则虱=—3一8.3

2.AA6C的内角NA,NB,NC的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,贝Ucos6=_L.

3.在A45c中，若2q=b+c,sin2A=sinBsinC,则AA3C的形状是一等边三角形.

2

4.若A48C的内角A满足sin2A=—,则sinA+cosA=.

3

4

5.在AA6C中，已知AC=2,BC=3,cosA=——.

5

(I)求sin5的值;

II)求sin|2B+g)的值.

解(I)在AABC中，sin由正弦定理,

匹~所以sin8

sinAsinBBC355

4

(II)因为cosA=-一，所以角A为钝角，从而角5为锐角，于是

5

cosB=V1-sin2B-

cos25=2cos2B-l=2x(^^-)2-1=—

525

c2匹4721

sin2B=2sinBcosB2x-x-----=-------.

5525

sin(25+未sin268sMc°s28sin以酒4+

t6)6625225250

6.在A48c中，已知内角4=三，边BC=2百.设内角6=x,周长为y.

3

(1)求函数y=/(x)的解析式和定义域;(2)求y的最大值.

IT271

解(1)A48C的内角和A+B+C=TT,由4=一，B〉0C〉0得0<B<—.

33

273...

应用正弦定理，知AC=-^sin8;------sinx=4sinx，

.71

sinAsin—

3

AB=-^-sinC=4sin|--x因为y=AB+BC+AC,

sinAI3J

(百]

(2)因为y=4sinx+cosx4--sinx+2V3

所以，当x+£=C,即x=2时，y取得最大值6j§.

623

13

7.在AABC中，tanA=—,tan8=—

45

(I)求角。的大小；(H)若AA8C最大边的边长为JF7,求最小边的边长.

13

+

45

解：(I)C=7i^-A+)8,/.tanC=-tan(A+B)=--

13

1—x—

45

3

又，•OTKC<,:.C=—7i.

4

(IDVC=-K,.・・48边最大，即A8=JT7.

4

又,/tanA<tanB,・•・角A最小，6。边为最小边.

sinA1z

tanA=-------=一，(JI

由<cosA4且A£0,—

sin2A+cos24=1,

得sinA=晅.由*-="-得：BC=AB^^-=V2.

17sinCsinAsinC

所以，最小边BC=6.

第9课解三角形的应用

【考点导读】

1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和儿何计算有关的实际问题.

2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角

变换的能力.

【基础练习】400

1.在200加高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。，60°,则塔高为__32—机.

2.某人朝正东方向走xhn后，向右转150。，然后朝新方向走3公〃，结果他离出发点恰好ghn,那么x

的侑为2一或上km.

3.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4〃后，船到达C

处，看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为300km.

4.如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于8,D,已知AA8O为边长等于。的正三角形，当目标

出现于C时，测得N8OC=45°,ZCBD=75°,求炮击目标的距离ACC

一

解：在中，由正弦定理得：'一=一^-

sin60°sin45°

BC^—a

3

在AA8C中，由余弦定理得：AC2^AB2+BC2-2ABBC-cosZABC\/

A

第4题

答：线段AC的长为竹笋。.

【范例解析】

例.如图，甲船以每小时30底海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4

处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的4处,此时两船相距20海里，当甲船航行^匕

此时两船相距'/122>A2

20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,

一

10后海里，问乙船每小时航行多少海里？2/105°4

分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解.

/甲

乙

例1⑴

解法一：如图(2),连结4当，由已知为4=ioJ5,

44=30eX型=10后，

/.=AB,,

60229

:人

又/44当=180°—120°=60°,.•.△44线是等边三角形,

r.A}B-,=4A,=I0V2,

由已知,4耳=20,/44线=105°-60°=45°,

在中，由余弦定理,

*200.

用医=4月+4医-2444与cos450=202+(10V2)2-2X20X1072x

:.B、B,=10亚.因此，乙船的速度的大小为